論離散的Hilbert型不等式及其算子表示

楊必成

(廣東第二師范學院 數學系, 廣東 廣州 510303)

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論離散的Hilbert型不等式及其算子表示

楊必成

(廣東第二師范學院 數學系, 廣東 廣州 510303)

引入獨立參量及中間變量,應用權系數的方法及實分析技巧,建立離散的、具有最佳常數因子的一般齊次核Hilbert型不等式,還考慮了其等價式、逆式及算子表示式,并計算了一些特殊核算子的范數.

權系數;離散的Hilbert型不等式;等價式;離散的Hilbert型算子;范數

0　引言

(1)

(2)

這里,常數因子π仍為最佳值.

(3)

(4)

并且有下列較為精確的形式：

(5)

式(1)～式(5)是分析學的重要不等式,它們的早期推廣應用多見于文獻[4-5]中.

1934年, Hardy等把式(3)，式(4) 推廣為一般-1齊次核k(x,y)的Hardy-Hilbert型不等式(見[4],定理319). 1998年,文[6]引入獨立參量λ∈(0,1]及beta函數,推廣式(2)為如下形式:

(6)

當λ=1時,式(6)變為式(2).此后數年,不少作者討論了引入獨立參量的若干推廣不等式.2003年,文[7]綜述了這段時期的研究成果.

(7)

(8)

同時式(4)、式(5)也得到引入獨立參量及兩對共軛指數的最佳推廣(詳見[22]).

2006-2007年,文[9-10]等用線性算子刻畫Hilbert型不等式及其等價形式.此后,不少作者從不同角度探討了Hilbert型不等式的各種性態(見[11-19]).2009年,為紀念Hilbert不等式發表100周年,文[20]綜述了負數齊次核參量化Hilbert型不等式的研究成果.隨后,一些作者開始了對實齊次核及非齊次核的Hilbert型積分不等式的研究(詳見[21]). 2009-2012年,楊在專著[22-26]中論述了一般實數齊次核Hilbert不等式及其算子表示的理論,推廣了文[4]的工作.

本文引入獨立參量及中間變量,應用權系數的方法及實分析技巧,建立離散的具有最佳常數因子的一般齊次核Hilbert型不等式,考慮了其等價式、逆式及算子表示式,還計算了一些特殊核算子的范數.

1　等價不等式

(9)

(10)

(i)若p>1(q>1),有常數k>0,使

ω(λ1,m)

(11)

?(λ2,n)

(12)

則有如下不等式:

(13)

(ii)若00,使式(12)成立,且有θ1(m)∈(0,1),使

ω(λ1,m)>k(1-θ1(m)),m∈N(m≥m0),

(14)

則有如下不等式:

(15)

(iii)若p<0(00,使式(11)成立,且有θ2(n)∈(0,1),使

?(λ2,n)>k(1-θ2(n)),n∈N(n≥n0),

(16)

則有如下不等式:

(17)

證明(i) 當p>1時,配方,并由帶權的H?lder不等式[27],有

(18)

由式(12),有

(19)

再由式(11),有式(13).

(ii) 當0

[?(λ2,n)]p-1>kp-1(n∈N(n≥n0))，

有式(19)的逆式.由式(14),有式(15).

(iii)當p<0時,經同樣的配方及由逆向的H?lder不等式,有式(18),再由式(16),注意到

[?(λ2,n)]p-1

有不等式

(20)

由式(11),有式(17).證畢.

(i) 若p>1(q>1),有常數k>0,使式(11),式(12)成立,則有式(13)的如下等價不等式：

(21)

(ii)若00,使式(12)成立,且有θ1(m)∈(0,1),使式(14)成立，則有如下式(15)的等價不等式:

(22)

(iii)若p<0(00,使式(11)成立,且有θ2(n)∈(0,1),使式(16)成立，則有如下式(17)的等價不等式:

(23)

證明(i) 當p>1時,配方,并由H?lder不等式,有

(24)

再由式(13),有式(21).反之,設式(21)成立.置

(25)

故有式(13).因而式(21)與式(13)等價.

(ii)當0

(26)

故有式(15).因而式(22)與式(15)等價.

(iii)當p<0(0

(27)

再由式(16),有式(23).反之,設式(23)成立.取

(28)

故有式(16).因而式(23)與式(16)等價.證畢.

2　最佳常數因子

(29)

由L控制收斂定理[28],有

兩式相加可得式(29).證畢.

(30)

(31)

(32)

則可算得

式(32)的常數因子必為最佳值,不然,由式(24)(取k=k(λ1)),必導出式(31)的常數因子也不為最佳值的矛盾.證畢.

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

由式(29),即有k(λ1)≥K(ε→0+).故K=k(λ1)為式(34)的最佳值.

式(35)的常數因子必為最佳值,不然,由式(26)(取k=k(λ1)),必導出式(34)的常數因子也不為最佳值的矛盾.

由式(29),即有k(λ1)≥K(ε→0+).故K=k(λ1)為式(37)的最佳值.

式(38)的常數因子必為最佳值,不然,由式(27)(取k=k(λ1)),必導出式(37)的常數因子也不為最佳值的矛盾.證畢.

例1 易驗證,下列函數

vi(t)=tα(t∈(0,∞);α>0,n0=m0=1),vi(t)=(ln t)α(t∈(1,∞);α>0,n0=m0=2),

vi(t)=t-β(t∈(β,∞);0<β<1,n0=m0=1)(i=1,2),

均滿足定理3,定理4的相關條件.

評注1若用下列統一條件

(39)

(40)

取代式(11),式(12)(取k=k(λ1)),式(33)及式(36),其余不變,則可同時得到定理3,定理4的所有結果.

3　兩類遞減核的不等式

引理2若在區間I上,函數f(t),v(t),g(t)>0,滿足f′(t)<0,f″(t)>0,v′(t)>0,v″(t)≤0,及g′(t)≤0,g″(t)≥0，h(t)∶=f(v(t))g(t)，則有h′(t)<0,h″(t)>0.

證明求導數可得

h′(t)=f′(v(t))v′(t)g(t)+f(v(t))g′(t)<0，

h″(t)=f″(v(t))(v′(t))2g(t)+f′(v(t))v″(t)g(t)+f′(v(t))v′(t)g′(t)+

f′(v(t))v′(t)g′(t)+f(v(t))g″(t)>0.

證畢.

(41)

(42)

再由引理2,遞減條件及上述變換,由式(41),有

故式(30)及式(33)成立.

由遞減條件,又有

再由遞減條件及上述變換,由式(42),有

故式(36)成立.

由定理2,定理3,本定理的結論成立.證畢.

(43)

(44)

當然可求得其他逆向不等式.

(45)

(46)

嚴格遞減且嚴格凸,由Hermite-Hadamard不等式[27]，有

類似于定理5的證明,由遞減條件,上述變換及式(45),有

故式(30)及式(33)成立.

同理,由遞減及凸條件,又有

類似于定理5的證明,由遞減條件,上述變換及式(42),有

故式(36)成立.

由定理2,定理3,本定理的所有結論都成立.證畢.

(47)

(48)

當然亦可求得其他逆向不等式.

(49)

(50)

當然可求得其他逆向不等式.

4　應用定理3、定理4的例

(51)

因有

故得

可算得

(52)

(53)

(54)

其他相應的逆向不等式也可求得.

五　不含中間變量的一些特殊結果

(55)

(56)

由定理3，定理4及評注1，有

(57)

(58)

(i)若p>1，則有如下等價不等式：

(59)

(60)

(ii)若0

(61)

(62)

(iii)若p<0，則有如下等價不等式：

(63)

(64)

這里,常數因子k(λ1)都是最佳值.

注若只考慮p>1的情形,則式(57)的左邊不要求取嚴格不等號.

6　算子表示及一些特例

(65)

于是,式(60),式(61)可寫成如下等價的算子表示式：

(Ta,b)

(66)

||Ta||p,ψ1-p

(67)

定義算子范數為

(68)

因由定理7或定理8,式(67)的常數因子是最佳值,故

||T||=k(λ1).

(69)

對x>0嚴格遞減；

對y>0嚴格遞減.可算得

(70)

因有

故求導數得

(71)

當m=1時，

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On Discrete Hilbert-Type Inequalities and their Operator Expressions

YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P. R. China)

By introducing independent parameters and interval variables, applying the way of weight coefficients and technique of real analysis, a discrete Hilbert-type inequality with the general homogeneous kernel and a best possible constant factor is provided. Furthermore, the equivalent forms, the reverses, the operator expressions with the norms and some particular examples are considered.

weight coefficient; discrete Hilbert-type inequality; equivalent form; discrete Hilbert-Type operator; norm

2016-05-28

國家自然科學基金資助項目(61370186)

楊必成,男,廣東汕尾人,廣東第二師范學院數學系教授.

O178

A

2095-3798(2016)05-0001-20