幾何直觀教學的有效運用

吳福清（永定區湖雷中心小學，福建永定364100）

幾何直觀教學的有效運用

吳福清
（永定區湖雷中心小學，福建永定364100）

加強幾何直觀，是幾何教學改革的方向。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀還可以幫助學生直觀地理解數學，借助“幾何直觀”讓學生學會“聆聽”，讓學生懂得“靈活”，讓學生學得“簡捷”，使數學教學精彩紛呈。

幾何直觀；小學數學教學

在小學數學教學中，借助幾何直觀教學，不僅能幫助學生理解、分析及發現知識間的聯系，而且能使課堂教學活潑起來，激發學生的學習興趣，誘發對知識的進一步理解與運用。

一、借助“幾何直觀”，學生學會“聯系”

化抽象為形象，化未知為已知等是幾何直觀的強項，也是教師教學中常常涉及和滲透的。教學中，當學生學習遇到困難時，我們常常會這樣提醒：“畫個圖來看看?！边@是讓學生把“文字信息”通過畫一畫轉化為“圖形信息”，從而以直觀形象的方式進行思考與分析，借助已有的知識經驗，找到解決問題的思路。這就是學習中的“通”——打通知識之間的聯系，找到未知和已知的通道，并把新知識轉化成已經學過的知識。這樣的“聯系”就是一種合力。

以教學人教版五年級下冊《分數的加法和減法（三）》為例，“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。樂樂一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”這是學生在學習“分數的意義”和“分數的加法和減法”后，又一次在計算解決問題中加深對分數的理解和掌握。從數學信息來看，兩次中的半杯，主要是“平均分”的問題，第一次喝了半杯純牛奶，學生能用“分數的意義”，“平均分”來分析，得出第一次喝了杯純牛奶，關鍵是兌滿了熱水。他又喝了半杯，第二次喝了多少杯純牛奶？多少杯水？學生在只學習“分數的意義”和“分數的加法和減法”，而沒有學習“分數的乘法和除法”時，半杯的一半，即÷2。再用“分數的意義”和“平均分”來解決這個問題，結果又是多少呢？對于這個問題，借助幾何直觀可以簡單地完成，即可做到“把復雜數學問題變得簡單、形象”（如下圖）

杯的一半是__杯。第二次喝的純牛奶是__杯。水是__杯。

首先，正如前面所說，面對此問題，學生已具有“分數的意義”“分數與除法的關系”和“平均分”的相關知識，這是“通”的基礎。其次，數學信息的表達與1÷2的數學信息高度類似，不同的是一杯的一半可以根據“分數的意義”中分數與除法的關系，得出1÷2=（杯），而杯的一半再用“分數的意義”“平均分”，得出÷2=？（杯）。按五年級學生的知識經驗即還沒有學過分數的除法，他們暫時還不會解決。再次，思考方向上所采取的方法與“分數的意義”相同，先把一杯純牛奶平均分成2份取1份，即杯；再把杯純牛奶平均分成2份，實際上是把一杯純牛奶平均分成4份，取其中的1份，即杯。此二者，就是“通”的條件。因此學生通過畫圖，化“文字信息”為“圖形信息”，從而解決問題。

這樣，借助幾何直觀，可以使學生深刻地感受到數學知識間“變中不變”的密切聯系。這種聯系的眼光和思維將對學生學習數學產生深刻的影響，從而不孤立、靜止地看待數學問題。

二、借助“幾何直觀”，學生懂得“靈活”

模仿與理解，是學生學習的兩種不同層級。“21世紀核心素養”分為三大類，其中一類是“職業和生活技能”，包括“靈活性與適應能力”。靈活，意味著不僅要學會，而且要會活學活用，能根據實際情況變化而變化，不墨守成規。正如《易經》所說的“窮則變，變則通，通則達”。這是學生素養中很重要的東西“變通”——因勢而變、舉一反三。

如教學人教版五年級上冊《多邊形的面積》后，課本中有一題練習如下：靠墻邊圍成一個花壇，圍花壇的籬笆長46m，求這個花壇的面積。學生遭遇這個問題時，常常會感到無從下手。其困惑的地方有：條件不充分。既然要求梯形的面積，為什么沒有按常理提供充分的條件，如梯形的上底、下底和高，而沒有梯形的上底和下底這兩個條件，梯形的面積還能求嗎？不知道梯形的上底和下底這兩個條件，梯形的面積還怎么求？條件不充分，就成了解決這一問題的“攔路虎”。學生只是學會了如何模仿地運用計算公式，并沒有真正靈活地運用計算公式。簡而言之，學生只是“學會”但并不能“變通”，不懂得“活用”。這時，幾何直觀可以充分發揮效力，幫助學生直觀地理解數學。

如上圖，把它圍成一個梯形花壇。學生通過觀察可以發現，靠墻的這邊不圍，梯形的高是20m，因此可知，剩下的就是梯形的上底、下底之和。這時，學生便豁然開朗，這個梯形的面積=（46-20）×20÷2=260（平方米）。學生解答本題，并不需要“按常規”“走老路”，而是直接從“梯形的上底、下底之和與高”入手。

這樣借助幾何直觀，可以讓學生以更靈活、更獨到的角度來思考、分析、解決問題。經歷這樣的學習過程，“靈活”的學、“變通”的用，從而逐步養成“不唯書、不唯上”（陳云同志所說）的理性精神和創新意識。這樣，在面對未來社會的挑戰時，學生不會一心只在“舊書舊紙”中尋求答案。而會因時、因地、因事、因勢而變，從而更好、更有效地解決問題。

三、借助“幾何直觀”，學生學得“簡捷”

“簡捷”，即簡單、快捷。簡單，數學理性的抽象美。一個人、一個蘋果、一匹馬、一塊蛋糕、一些物體等都可以用自然數“1”來表示；加法交換律可以用“a+b= b+a”表示；乘法交換律可以用ab=ba表示；300∶500可以寫成3∶5這樣更為簡單的表達。從這些簡單的表達中可以看出，追求表達上的簡單已經成為數學存在的一種常態。當然，除了表現為有條理的特征，“簡捷”還表現為數學思維的“直接化”的直覺常態。這就是數學學習的“通”：直通數學本質的內核，產生對問題的直覺認識和把握。

人教版五年級下冊《長方體和正方體的表面積》中有這樣一例：把5個棱長為2cm的正方體拼成一個長方體，表面積減少了多少平方厘米？照一般的想法，本題常見的解法有：由已知可知，5個棱長為2cm的正方體，拼成的是一個長方體，表面積減少了多少平方厘米？所以可列式為①：2×2×6×5－［（2×5×2+2×5×2+2× 2）×2］=32（c㎡）；或②：2×2×6×5－（2×5×2×4+2×2× 2）=32（c㎡）。然而，如果采用幾何直觀的方式，學生更能探索解決問題的思路，預測結果。

如上圖，通過對圖形的觀察，我們能直接發現，表面積減少的面積=2×2×8=32（c㎡）。怎么想到的呢？因為每2個正方體拼在一起就減少2個面，5個正方體拼在一起就減少8個面，所以直接列式2×2×8=32（c㎡）。這樣的思維方式，不再局限于數學信息中呈現的長方體和正方體的表面積怎樣求，而是直接根據圖形信息，從一個面入手，少了幾個面就乘以幾。這無疑是用三年級的數學知識經驗解決了五年級的數學問題。

這樣借助幾何直觀，學生思維的“簡捷”便能得到有效的培養。正如瑞士的數學家歐拉通過畫圖完成了關于“七橋問題”（此題被人教版小學數學第十二冊義務教育教科書教科書收編）的解答一樣，“簡化”已成為數學的一種精神，“解決問題的第一步，是盡量把問題簡化，使得容易抓住問題的要點”。

總之，幾何直觀不僅是一種手段、一種方法，在日常教學中，我們不僅要經常提醒學生“畫一畫”，更應該讓學生明白其背后蘊含著的知識間的聯系。借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象。這樣才能讓幾何直觀的教學精彩紛呈。

［1］教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］數學課程研究所.2013年教育部審定義務教育教科書《數學》1—6年級［M］.北京：人民教育出版社，2014.

（責任編輯：陳志華）