不在端點處的最值一定是極值嗎？

申愛偉

1.提出問題

筆者在一次高二公開課聽課中遇到這樣的問題：如果函數的最值不在端點處取到，那么這個最值一定是函數的極值。

乍一看，好像是對的，學生也一致認為是對的，老師也宣布沒錯，就講下一題了。但筆者很快舉出了一個反例——常函數。比如：y=1，x∈R，該函數處處都能取到最值，而這個最值卻不是函數的極值。事實上，常函數沒有極值。

課后研討中，點評老師還給出了另一個反例：y=|x|，該函數x=0在處取到最小值，但這個值不是極值。理由是該函數在x=0處不可導，而函數在某點處導數為零是函數在該點處取極值的必要不充分條件。

2.回歸定義

那么，這些“反例”正確嗎？

李邦河院士說：“數學玩的是概念，而不是純粹的技巧。”讓我們回到概念上。蘇教版數學必修1第39頁：

一般地，設y=f（x）的定義域為A。如果存在x ∈A，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x ），那么稱f（x ）為y=f（x）的最大值，記為y =f（x ）；如果存在x ∈A使得對于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x ），那么稱f（x ）為y=f（x）的最小值，記為y =f（x ）。

蘇教版數學選修2-2（文）第30頁：函數圖像在點處從左側到右側由“上升”變為“下降”（函數由單調遞增變為單調遞減），這時在點P附近，點P的位置最高，亦即f（x ）比它附近點的函數值都要大。我們稱f（x ）為函數f（x）的一個極大值。

文第32頁指出：函數f（x）在x 處取得極大值，指在x 附近f（x ）比其他函數值都大，極大值是相對于函數定義域內某一局部而言的。最大值是相對于函數定義域整體而言的。

由這個描述性定義可見，函數的極值是根據單調性來的，函數先增后減，一定出現極大值，函數先減后增，一定出現極小值。極值表征的是函數局部的性質，即某點處的函數值比它附近點的函數值都大（或小）。也就是說，并不涉及函數是否可導。第二個反例不成立。y=|x|在x=0處的函數值比它附近的函數值都要小，所以在該點處取到極小值。

那為什么我們常常通過求導，令導數等于0，判斷兩側導數值正負求函數的極值呢？那是因為我們在高中接觸到的求極值的函數往往是可導的，所以引發了誤解。這里的導數為零是有前提的。事實上，《數學分析》教材（文）給出了費馬定理：設函數f在點x 的某鄰域內有定義，且在點x 可導。若點x 為f的極值點，則必有f′（x ）=0。

而第一個反例則完全符合定義。常函數處處取到最值，但處處不是極值。

3.錯因分析

究其原因，還是對極值和最值的概念認識不清。人教社章建躍博士強調：數學教師必須特別重視概念教學，學生的概念理解和應用水平是衡量教學質量的最重要標準。最值的定義借助了高等數學中“上（下）確界”的意義與形式，定義中既含有等式，又含有不等式；既含有全稱量詞（“任意”、“都有”），又含有存在量詞（“存在”），具有較強的邏輯性、抽象性和典型的形式化特征。因此，教學中，教師應當從函數最值的幾何直觀入手，利用豐富具體的材料、精心設計的問題，經歷觀察、比較、辨析、歸納、概括等思維活動，經歷從圖形表征到自然語言到形式化定義的形成過程，達到對概念的實質性理解，感悟蘊含其中的數形結合思想，切不可一帶而過。對于定義中的符號，要仔細推敲，提高學生的數學閱讀理解能力。在調查中了解到，很多學生不認為常函數處處取到最值，原因是忽略了最值定義中的等號。

最值的教學要求是“理解”。對于極值，教學目標的要求是“了解”。蘇教版教材中只給出描述性概念，如果用符號化定義，則可定義為：若函數f在點x 的某空心鄰域U （x ）內對一切x∈U （x ）有f（x ）>f（x），（f（x ）

4.實戰練習

（1）對于函數f（x），如果f（x）≤c（c為常數）對定義域中的每個自變量x均成立，那么c一定是函數y=f（x）的最大值嗎？如果f（x）≤f（x ）對于定義域中的每個自變量x均成立，那么f（x ）一定是函數的最大值嗎？

（2）如果函數f（x）有極小值f（a），極大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）嗎？試作圖說明。如果函數f（x）有最小值f（a），最大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）嗎？

答案：（1）否；是（2）否；否。

參考文獻：

[1]徐稼紅.普通高中課程標準實驗教科書：數學選修2-2.江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[2]華東師范大學數學系.數學分析.北京：高等教育出版社，2001.

[3]陸學政.應重視“函數最值”的概念教學.數學通報，2016，1.