例談圓模型在幾何最值問題中的妙用

張淑波

最值問題一直是初中數(shù)學(xué)問題中的一大難點(diǎn)，這類問題出現(xiàn)的題型內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣.其中幾何中的最值問題是重中之重，常見方法有利用軸對(duì)稱性得到三點(diǎn)共線；利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)變成垂線段最短；利用函數(shù)思想等，本文主要探究看似無(wú)圓的幾何最值問題中如何巧妙地找到圓模型，使復(fù)雜的最值問題得以圓滿解決.

模型呈現(xiàn)：如圖1，圓外一點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)聯(lián)結(jié)所成的線段中PA最長(zhǎng)，PB最短（其中PA、PB所在的直線經(jīng)過圓心O）.有了這種方法能使很多最值問題中的較難問題得到圓滿解決.

案例1：如圖2，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH的最小值是多少？

分析：由AH⊥BH可知，∠AHB始終為90°，因此點(diǎn)H在以AB為直徑的⊙F上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D為⊙F外一點(diǎn)，所以可利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型（圖1），聯(lián)結(jié)DF交⊙F于點(diǎn)H（如圖3），此時(shí)DH最小.

思考：本題學(xué)生的解答正確率其實(shí)并不高，關(guān)鍵在于學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑是以AB為直徑的圓.那么如何才能在看似無(wú)圓的題設(shè)中準(zhǔn)確找到圓模型呢？本題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，直角三角形的直角頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的圓上，故看到直角，容易找到圓模型.

經(jīng)驗(yàn)利用1：在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng).

（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖5，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖6，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；

（4）如圖7，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AE⊥DF（證明略）.（4）根據(jù)已知條件得AE⊥DF，∠APD始終為90°.因此根據(jù)案例1的經(jīng)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，記圓心為點(diǎn)O，連接OC與圓交于點(diǎn)P，利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離這一結(jié)論，得到此時(shí)CP為最小.

經(jīng)驗(yàn)利用2：設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知直線l：y=ax-a-2，過點(diǎn)P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M.點(diǎn)O（0，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OM長(zhǎng)度的最小值？

分析：本題共有兩大難點(diǎn)：第一難點(diǎn)是這條直線無(wú)法確定，但可以肯定的是必經(jīng)過A（1，-2），第二難點(diǎn)是怎么發(fā)現(xiàn)圓模型.我們發(fā)現(xiàn)直線無(wú)論怎么變，∠PMA始終為直角，這樣根據(jù)案例1的經(jīng)驗(yàn)，以AP為直徑的圓就形成，點(diǎn)M始終在以AP為直徑的圓上，利用圓內(nèi)一點(diǎn)與圓的最近距離和最遠(yuǎn)距離這一結(jié)論確定了OM的最小值.

經(jīng)驗(yàn)拓展：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），點(diǎn)D是第一象限的一點(diǎn)，滿足∠ADB=30°，則線段CD的最小值？

分析：本題中沒有明顯的圓模型，也沒有同案例1一樣的隱含圓模型的直角，但∠ADB恒為30°，可以看成一個(gè)30°圓周角，同樣可以找到圓模型.由于圓周角∠ADB=30°，故對(duì)應(yīng)的圓心角∠AMB=60°，⊙M就是以AB的長(zhǎng)為半徑，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓，同樣可以利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型（圖1），最終確定CD的最小值.

推廣：當(dāng)某個(gè)角的大小為恒值時(shí)，該角頂點(diǎn)必在以該角為圓周角的圓上.特殊的，當(dāng)該角為直角時(shí)，則該直角頂點(diǎn)在以該直角所對(duì)斜邊為直徑的圓上.

案例2：如圖11，已知拋物線y=- （x-1）（x-7）與軸交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值？

分析：這一問題已經(jīng)明確有圓了，但怎樣利用圓的模型解決？很明顯，所求的線段PD沒有任何一個(gè)點(diǎn)在圓上，沒法直接利用本模型.不難發(fā)現(xiàn)D為線段AB的中點(diǎn)，結(jié)合條件“P為AG中點(diǎn)”，我們可以聯(lián)結(jié)BG，則PD構(gòu)成△ABG的中位線，利用中位線的性質(zhì)PD= BG可將PD最長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為BG最長(zhǎng).B為圓外定點(diǎn)，G為圓上動(dòng)點(diǎn)，利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型可將這個(gè)問題完滿解決.

經(jīng)驗(yàn)利用：如圖12，二次函數(shù)y=a2x+bx+c（a≠0）的圖像交x軸于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2），過B，C畫線直線，并聯(lián)結(jié)AC.

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)F是線段BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F作△ABC的內(nèi)接正方形DEFG，使得邊DE落在x軸上，點(diǎn)G在AC上，GF交y軸于點(diǎn)M.

①求該正方形的邊長(zhǎng)；

②將線段EF延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)H，那么點(diǎn)F是EH的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.

（3）在（2）的條件下，將線段BF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P始終為CF為中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）問沒有明顯的圓模型，看似與圓無(wú)關(guān)，很多學(xué)生面對(duì)這個(gè)問題無(wú)從下手，其實(shí)將線段BF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，可以根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)一個(gè)以B為圓心，BF為半徑的圓，F(xiàn)始終在這個(gè)圓上，圓模型出現(xiàn)了，但同案例2一樣，點(diǎn)O、點(diǎn)P均不是圓上的動(dòng)點(diǎn).從條件“點(diǎn)P始終為CF為中點(diǎn)”出發(fā)，根據(jù)案例2中利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn)，不妨作C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接OP，C′F（如圖13），發(fā)現(xiàn)OP是三角形CC′F的中位線，因此把OP的最小值轉(zhuǎn)化成了C′F的最小值，利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離這個(gè)結(jié)論，這個(gè)問題迎刃而解.

綜合應(yīng)用：如圖14在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C.則A′C長(zhǎng)度的最小值？

分析：本題沒有明顯的圓模型，也沒有像上文案例一樣隱含圓模型的條件.但根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，不妨聯(lián)結(jié)AA′，交MN與點(diǎn)H（如圖15），則MN垂直平分AA′，結(jié)合M為AD的中點(diǎn)，可模仿案例2聯(lián)結(jié)A′D構(gòu)造中位線，易證AA′⊥DA′，即∠AA′D使終為90°，根據(jù)案例1的經(jīng)驗(yàn)可得點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為點(diǎn)M，利用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型，連接MC與圓交于點(diǎn)A′，此時(shí)CA′為最小.

在很多看似無(wú)圓的幾何最值問題中，我們可以利用直角、固定的圓周角、圓的定義等找到隱藏的圓模型，利用構(gòu)造法、轉(zhuǎn)換思想等建立圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離模型解決問題.但是很顯然上述案例的探究只是利用圓模型解決幾何最值問題中的一小部分，更是紛繁復(fù)雜的幾何最值問題的冰山一角.