高中數學概念教學前置作業設計及思考

劉偉

摘 要在高中數學概念新授課中，“一個概念，幾項注意”式的教學模式正在向學生主動參與，充分經歷概念的形成過程，實現課堂教學多維度、多方向、多形式的對話過渡。前置作業是為了促使學生以一種“我是來進行交流”的心態進入課堂，在課堂教學中更有效地進行師生之間、生生之間的“對話”而設計的。

高中數學概念教學 前置作業 設計

隨著高中新課程標準的實施，教師教的方式與學生學的方式都在發生改變。在高中數學概念新授課中，“一個概念，幾項注意”式的教學模式正在向學生主動參與，充分經歷概念的形成過程，“實現課堂教學多維度、多方向、多形式的對話”[1]過渡。

在實際的教學活動中，雖然教師會要求學生課前預習，但大部分學生最多只是翻看一下課本，知道一下所學知識的“名稱”，以至于在進入課堂時，對于當節課的學習內容基本處于“無知”的狀態，“我來聽老師講課”仍然是他們的主要心態，這顯然與新課程標準的要求不符。而且受制于有限的課堂教學時間，這種“充分”與“對話”完全在一節課內實現的要求，會給教師以太大的壓力，即使勉強為之，也會使教學任務的完成與教學效果產生不好的結果。

導學案的出現，是課堂教學改革的標志，它引導課堂教學從“教中心”向“學中心”過渡。“導學案作為學生的學習依托，讓學生從課堂上接受教師的講解，始終處在被教師支配狀態下，走向教師把編寫好的導學案發給學生，讓學生按照導學案的路線圖自學，自己尋找解決問題的方法、步驟并填寫答案的狀態。在此過程中，學生思考問題、搜集信息、整合資源、查閱資料、答疑解難、積累學業基礎、理清做題思路、把握做題規律，這無疑比教師滿堂灌、一言堂，學生被動聽講前進了一大步?！盵2]可是，導學案的設計完全是“大包大攬”的樣式：學習目標—閱讀教材——填寫概念中的關鍵詞——課前練習——課中練習——課后作業。這無形中造成了學生學習中過度依賴導學案，對于學生自主能力、質疑能力、閱讀能力的提升是不利的。在實踐中還會出現課堂上部分優秀學生埋頭完成導學案中的課中、課后練習，根本不參與到課堂活動中來的現象，甚至會形成“學數學就是做題”的認識，這顯然違背了導學案的“初衷”。

雖然導學案在實踐中出現了各種各樣的問題，但是，其“以學為本，以生為本”，教師通過為學生設計一定的學習方案，實現“教”的方式與“學”的方式改變的理念，是值得肯定的。如何做到既讓學生帶著對當節課學習內容的思考進入課堂，又能“實現課堂教學多維度、多方向、多形式的對話”[1]，從而提升學生閱讀教材、解決數學問題的能力呢？筆者認為，前置作業可以從一定程度上解決這個問題。

一、前置作業的概念

前置作業不同于泛泛的課前預習和“大包大攬”式的導學案，更不是將部分課后作業前置。前置作業的設計不能讓學生形成“學數學就是做習題”的認識，不能過多地加重學生“練”的負擔。

前置作業是為了促使學生以一種“我是來進行交流”的心態進入課堂，在課堂教學中更有效地進行師生之間、生生之間的“對話”而設計的。前置作業是著力于當節課的重點、難點與關鍵點；著力于引導不同水平的學生進行思考，并形成對問題的想法（不論正確與否）；著力于幫助學生學會閱讀教材，幫助學生發掘教材文字背后的數學思想、數學語言的轉化；著力于教會學生學會學習，從而提升自主學習能力，提升對數學學習的信心以及對數學學習的掌控感。

總而言之，前置作業的目的是在教師設計的具有層次性和思考性的問題引導下，學生充分調動其本身的學習力量，以問題解決為中心，通過閱讀教材，在自己試學、思考的基礎上進入課堂，真正成為課堂的主人。

二、同一節課的兩個前置作業設計的分析

以下兩個案例是一次高一數學“同題異構”教研活動中，兩位老師的前置作業設計。教學內容是人民教育出版社高中數學1（A版）1.3.1函數單調性與最大（小）值（第一課時）。

1.案例呈現

前置作業1

一、閱讀課本中本節課至例1的內容，解決下面的問題：

1.抄寫“增函數、減函數的定義”。

2.畫出函數y=，y=-x2，y=2x-1的圖像，分別寫它們的定義域。仿照課本例1分別寫出每個函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

二、自學例2，然后解決下面的問題：證明函數f（x）=-2x+1在R上是減函數。

三、判斷正誤：

1.若函數y=f（x）在區間D上是增函數，則它在區間的子區間上也是增函數。

2.證明函數f（x）=x+1在區間[1，4]上是增函數。

∵f（4）=5，f（1）=2 ∴f（4）>f（1）

∴函數f（x）=x+1在區間[1，4]上是增函數。

3.函數y=x2+1在{x|x>0}是增函數。

四、已知函數y=f（x）在R上單調遞增，且f（2x-3）>f（5x+6），求實數x的取值范圍。

前置作業2

甲乙兩個同學對一次函數f（x）=x的圖像有如下的對話。甲同學：f（x）=x的圖像從左至右是上升的。乙同學：函數f（x）=x的定義域是R，此圖像只是其中的一部分，你如何知道它的圖像從左至右一直是上升的呢？

如果你是甲同學，請你認真閱讀教材，解決乙同學的問題。

2.案例分析

前置作業1的設計者重視引導學生閱讀教材，強調學生自學，通過練習讓學生自己檢測閱讀教材的效果。第一、二題是讓學生模仿例題后練習，第三題是從“正面”幫助學生理解函數單調性的概念，第四題則是從“反面”幫助學生理解函數單調性的概念。問題設計有層次、有梯度，注意到了不同水平學生的自學能力。

前置作業2的設計者通過設計一個對話的情境提出問題，引導學生通過閱讀教材體會“數、形”的各自優勢，即“形的直觀”與“數的入微”，更重要的是引導學生嘗試從“數”的角度表示“形”：函數f（x）=x的圖像從左至右一直是上升的。無論學生是否能夠解決這個問題，都使本節課的函數單調性概念的學習進入了“憤、悱”的狀態。

兩個前置作業的區別是，前置作業1基本涵蓋了當節課學習的所有內容，以習題為主；前置作業2則只針對當節課的重點：讓學生經歷函數單調性概念的形成過程[3]，設計了一個問題情境。

三、對高中數學新授課前置作業設計的思考

1.前置作業設計要有集中性

前置作業要集中針對當節課的重點、難點與關鍵點進行問題的設計，不應該包羅當節課所有要學習的內容。以上案例呈現的這節課，函數的單調性是函數的基本性質，也是本節課的教學重點，“教學時，要特別重視讓學生經歷這些概念的形成過程”[3]；本節課的難點是“增（減）函數形式化定義的形成，這個困難主要發生在概念形成過程中由特殊到一般的過渡，也就是對定義中‘任意的理解，建議教學時多給學生操作與思考的空間”[3]。

前置作業 1的設計沒有考慮到教學重點“讓學生經歷單調性概念的形成過程”，對于問題一、二，要求學生依葫蘆畫瓢模仿教材的例題去解決，此時學生對函數單調性概念沒有理解，即使正確解答了，也不明白其背后的道理，并且此設計內容過多，加重了學生的作業負擔。前置作業2的設計考慮到了本節課的教學重點，設計了恰當的問題情境，前置作業量控制合適。

2.前置作業設計要有針對性

前置作業的設計應充分考慮不同學生的水平，使不同層次的學生都能基于自身的水平嘗試解決問題?！敖o學生容易一點的作業，適合學生自身解決問題能力的恰如其分難度的作業。能留出這樣的作業，來自教師的教學技藝、教學智慧、教學判斷、教學創新、教學經驗和對學生的充分了解，這是教育生涯中對教師永遠的挑戰！”[4]

前置作業2沒有考慮到不同層次學生的學習能力，對于學生解決本節課難點的能力估計過高，“請你認真閱讀教材，解決乙同學的的問題?！边@個要求對于大部分學生是無法完成的。在高一起始階段，教師的“導”更加關鍵，在設計前置作業時應該針對不同水平的學生，給出不同層次的“導”。如將前置作業2設計為如下四個層次：層次1，請你用數形結合的思想，解決乙同學的問題。層次2，請你用數形結合思想，將“圖像從左至右，一直上升”用數學式子表示出來，解決乙同學的問題。層次3，用數形結合思想，你能將“圖像從左至右”用兩個點的什么坐標的大小比較表示，“圖像一直上升”可以用兩個點的什么坐標大小比較表示，從而解決乙同學的問題嗎？層次4，請你用數形結合思想思考：已知點P1（x1，y1），P2（x2，y2）分別是函數f（x）=x圖像上任意兩點，“圖像從左至右一直上升”如何用代數式子表示？從而解決乙同學的問題。這四個層次充分考慮到了不同水平學生的能力。在實際操作中，為了照顧學生的自尊心，每個學生都會拿到四個層次的前置作業，教師說明各層次問題的難度，要求學生按照從層次1到層次4的順序嘗試解決問題。不同層次問題的設計，使教師的“導”更有明確性，教會學生如何思考解決問題，并保證了不同水平的學生在課堂教學時都有可能參與到問題的討論之中來。

3.前置作業設計要有指導性

教材“反映國家對于基礎教育的基本質量要求，為基礎教育提供了一個落實課程標準的參照性標桿與尺度，是政策性很強的課程資源”?！敖滩牟皇强捎锌蔁o的課程資源，而是最基本的課程資源?！盵5]目前，學生對于教材的使用很多時候只是“定理、公式查閱本”與“課后作業題來源本”，前置作業的設計應該幫助學生學會閱讀教材，發掘教材文字背后的數學思想以及數學語言的轉化，從而學會自主學習。

前置作業1、2的設計都提到了“閱讀教材”，但沒有指導學生如何閱讀，學生的閱讀只是在“識字”而已，無法讀出文字背后的數學思想。教師應給予明確、具體的引導。就本節課而言，在前置作業時教師可以做如下設計。

閱讀教材P.27“觀察圖1.3-2，可以看到：函數的圖像是上升的”這段話體現了圖形語言與文字語言的轉化。

圖像在y軸左側‘下降，也就是，在區間（-∞，0]上，隨著x的增大，相應的f（x）反而隨著減小；圖像在y軸右側‘上升，也就是，在區間（0，+∞）上，隨著x的增大，相應的f（x）也隨著增大?！边@段文字體現了以下研究數學問題的方法：從特殊到一般，圖形語言、文字語言及符號語言的相互轉化。

那么，教材P.28“思考如何利用函數解析f（x）=x2描述‘隨著x的增大，相應的f（x）也隨著減小‘隨著x的增大，相應的f（x）也隨著增大？”是要求將文字語言轉化為哪種數學語言？

“閱讀數學課本應指導學生盡量采用精讀、讀透的方法，不放過課本所呈現的任何信息。因為課本體現了課程標準理念，課本浸潤著編者的意圖、心血，課本承載著學科的歷史、體系和文化。”[6]

參考文獻

[1] 陳立軍.以問題引領過程讓概念自主建構—以“對數概念”教學過程實錄與學習體會[J].數學通報，2014（4）.

[2] 崔其升.取消導學案[N].中國教師報，2012-10-31（06）.

[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學1（必修A版）教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2010.

[4] 顧雪林.從認知心理學看“為什么學生不喜歡上學”[N].中國教育報，2010-09-02（08）.

[5] 余文森.關注資源、學科與課堂的統整[M].上海：華東師范大學出版社，2005.

[6] 曾大洋.如何上好一堂數學課[M].上海：華東師范大學出版社，2012.

【責任編輯 郭振玲】