二叉樹從二期模型到n期模型的擴展

馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳

(西安培華學院 通識教育中心，西安 710125)

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二叉樹從二期模型到n期模型的擴展

馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳

(西安培華學院 通識教育中心，西安 710125)

介紹期權定價的離散模型—二叉樹模型。通過討論期權定價的一期模型，得到一期模型的期權定價公式及其性質。在此基礎上，討論了期權定價的二期模型,最后由期權定價的二期模型推廣到n期二叉樹模型。

期權；二叉樹模型；一期模型；二期模型；n期模型

金融數學[1-2]是應用數學的一個分支，是運用數學的方法解決實際操作中的金融問題，進行數學建模[3]、數據分析[4]、數值計算[5]等定量分析，以找到金融學的內在規律并指導實踐。數學模型對金融市場中的交易者起非常大的作用，證券組合投資模型和金融衍生工具定價模型的出現是數學模型應用于金融市場研究的標志，資本資產定價模型是由此發展起來的具有重大應用價值的金融數學模型[6]。期權[7]是主要的金融衍生產品，是金融工程的主要工具，也是構成金融工程其他金融衍生品的基礎。文獻[8]討論了期權價格及其定價模型。本文討論了期權定價的離散型模型—二叉樹模型。但由于期權定價的一期模型過于簡化，只包括一支隨機變化的股票和一種現金債券，并且在單個時間段末股價變化只有2種可能值，并且金融市場又是十分復雜的，所以本文討論期權定價的n期二叉樹模型，以適用于更復雜的金融市場。

1　預備知識

二叉樹期權定價模型：設資本市場是競爭的，且不存在交易費用、稅收，不存在無風險套利機會，股票和期權是無限可分的，那么股票在下一期的價格僅有2種可能，如圖1所示，其中，ru>1+r>d>0，r為無風險利率。

圖1　股票下一期的價格

假設以該股票為標的看漲期權的價格為C，執行價格為X，則看漲期權的價值變化如圖2所示。

圖2　看漲期權的價值變化

為解決期權定價問題，需構造一個無風險套期保值的證券組合：購買一份股票，賣掉m份期權，如圖3所示。

圖3　一個無風險套期保值的證券組合

因證券組合是無風險證券組合，故有(1+r)(S-mC)=uS-mCu，所以

(1)

將m代入式(1)得

(2)

令

2　二期模型到n期模型的擴展

為了得到n期期權價格公式，首先討論二期模型。設二期模型的無風險利率也為r，且每期復利一次，股票的初始價格為S，在二期末到期的看漲期權的執行價為X，如圖4所示。以該股票為標的二期看漲期權的價值如圖5所示。則

圖4　二期模型

圖5　二期看漲期權的價值

類似于期權定價一期模型，為了得到期權的價格，需要構造無風險套期保值證券組合，從而有

(3)

將Cu，Cd代入式(3)得

(4)

可以看出：式(4)是由兩次應用一期模型定價公式得到的，分子是(pCu+(1-p)Cd)2的二項式，且CuCu，CuCd，CdCu，CdCd分別用Cuu，Cud，Cdd代替，則有

設股票的初始價格為S，期限為n期，其變化規律與期權定價的二期模型相同，其他參數不變。股票價格的n次波動相當于試驗次數為n的二項試驗，則n期歐式看漲期權取值的分布如表1所示，所以

(5)

(6)

表1　n期歐式看漲期權取值的分布

在n期模型中，股票價格上漲的次數ξn≥a與下降次數ξn

因此，歐式看漲期權二項式定價模型可化為

3　結束語

期權定價模型從一期模型推廣到n期二叉樹模型，看漲期權的價格隨股票價格的上漲而上漲。當執行價格升高時，看漲期權價格隨之下降。當無風險利率上升時，影響執行價格的折現值，從而使看漲期權的價格上漲。期權到期期限n也使得看漲期權價格上漲，同時二項分布的方差也影響看漲期權的價值。

[1]斯塔夫里.金融數學[M].蔡明超，譯.北京：機械工業出版社，2004:1-18.

[2]王小群．金融數學介紹[J].系統工程，1999(6)：111-114．

[3]陳光亭，裘哲勇．數學建模[M].北京：高等教育出版社，2010:34-105.

[4]蔡瑞胸．金融數據分析導論[M].北京：機械工業出版社，2013:1-72．

[5]魏毅強，張建國，張洪斌，等.數值計算方法[M].北京：科學出版社，2004:112-177．

[6]夏玉森，汪壽陽，鄧小鐵.金融數學模型[J].中國管理科學，1998,6(1)：1-9.

[7]郁洪良.金融期權與實物期權[M].上海：上海財經大學出版社，2003:8-43.

[8]王樂毅，朱偉，劉偉.期權價格及定價模型分析[J].貴州工業大學學報，2006,8(2)：46-48.

[9]趙彥輝．概率論與數理統計[M].西安：西北大學出版社，2014：32-38．

(責任編輯劉舸)

Extension of Binomial Model from Two-Period Model ton-Period Model

FENG Jing-jing, FAN Ya-yun, XING Rui-fang

(Center of General Education, Xi’an Peihua University, Xi’an 710125, China)

A discrete model of option pricing, which is a Binomial model, was introduced. One-period model of option pricing was discussed, and the option pricing formula and its properties of the one-period model were given. On the basis of it, the two-period model of option pricing were discussed. Finally, the two-period model of option pricing was extended ton-period model.

option; binomial model; one-period model; two-period model;n-period model

2016-05-18

陜西省自然科學基金資助項目(2007A12)；陜西省教育廳專項科學研究資助項目(2015JK2093)；西安培華學院科研基金資助項目“多因子遠期利率期限結構模型”(PHKT16028)

馮晶晶(1984—)，女，陜西韓城人，碩士，講師，主要從事應用數學研究，E-mail:fengjingjing0105@163.com。

format：FENG Jing-jing, FAN Ya-yun, XING Rui-fang.Extension of Binomial Model from Two-Period Model ton-Period Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(10):181-184.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.10.029

O29; F224

A

1674-8425(2016)10-0181-04

引用格式：馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳.二叉樹從二期模型到n期模型的擴展[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(10):181-184.