靈動的思維——幾何直觀在“數(shù)學廣角”教學中的應用探析

廣東省東莞市東城第三小學　李平龍

靈動的思維——幾何直觀在“數(shù)學廣角”教學中的應用探析

廣東省東莞市東城第三小學李平龍

“數(shù)學廣角”是小學數(shù)學教學中一個非常重要的教學內(nèi)容，它把重要的數(shù)學思想方法通過學生可以理解的、有趣的、容易接受的生活問題呈現(xiàn)出來，使學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數(shù)學思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學思維的訓練，逐步形成有序地、嚴密地思考問題的意識。因此，通過在數(shù)學廣角中的教學，使學生感受數(shù)學思想方法，提高他們的數(shù)學思維能力是重要的教學目標。在教學中我發(fā)現(xiàn)一部分學生對數(shù)學廣角中的數(shù)學思想、思維過程感覺深奧難懂，任憑老師講得口干舌燥，學生仍難以理解，最后教師只能無奈地放棄過程，直奔結(jié)果。學生只能是死記硬背老師總結(jié)出來的公式或規(guī)律，生搬硬套地解決問題。有感于此，我在近兩年的教學中嘗試著利用幾何直觀的方法來突破這個難點?！皫缀沃庇^”是指利用圖形描述和分析數(shù)學問題，探索解決問題的思路、預測結(jié)果。弗賴登塔爾說：“幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進入的，當我們陷入問題、觀念、方法的困擾時，幾何可以拯救我們。”借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，促進數(shù)學的理解；通過對實物和圖形進行觀察，有利于信息提取和方法的促成；根據(jù)直觀認識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題有助于數(shù)學問題結(jié)構(gòu)的揭示。

以下就結(jié)合近兩年所上的數(shù)學廣角的“找次品”“雞兔同籠”“植樹問題”“排列與組合”等課例反思幾何直觀在數(shù)學廣角教學中的應用。

一、利用幾何直觀建立數(shù)學模型——啟迪思維，幫助理解

當一個問題需要用數(shù)學方法來思考時，有時用幾何方法能夠最快最有效地解決，這也是幾何直觀的作用。

例如，在教學五年級“找次品”時，為了讓學生理解用天平稱一次就能從3瓶口香糖中找出少了3粒的那瓶。我拿出了一個天平放在講臺上，先拿兩瓶上去稱。

師：平衡嗎？哪瓶少了3粒？

生1：不平衡。翹起來的那瓶少了3粒。

師：如果運氣差一點呢（把少了3粒的那瓶換成另外一瓶）？平衡嗎？哪瓶少了3粒？

生2：平衡，剩下沒稱的那瓶就少了3粒。因此，只要一次就能找出。

我利用天平稱給學生看，這種最直觀的方式讓學生看到平衡和不平衡兩種情況，然后在課件中用圖示直觀地呈現(xiàn)出來。在這個過程中，天平已經(jīng)從實物抽象成了簡圖，口香糖的實物也抽象成了圖片。實物稱能讓學生看到具體的數(shù)學模型，課件中的圖片直觀有利于學生思考和對比（圖1）。

圖1

從3瓶中找出較重或較輕的次品，其中滲透了排除的數(shù)學思想，這種數(shù)學思想在日常生活中有著廣泛的應用，這既是學習本課的起點，又是學生需要理解的重要知識。以往自己上課或別的老師上課時，一般沒有呈現(xiàn)用天平稱的過程，而只是讓學生通過模擬、畫圖、口頭描述等來進行解釋，在教學中我發(fā)現(xiàn)有些學生特別是學困生理解或解釋起來很費勁。而這些困難的產(chǎn)生的根源就在于學生沒有見到真正的實物模型，只是憑空想象，因此，我把天平實物引入了這節(jié)課的教學，這樣的問題就迎刃而解了。

《數(shù)學課程標準》在教材編寫建議中明確提出：“根據(jù)學生已有經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學內(nèi)容的特點，一些重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排?！比私贪鎸嶒灲滩脑诰幣拧皵?shù)學廣角”時，主要是通過一些比較簡單的事例滲透一些重要的數(shù)學思想方法，讓學生在解決問題的過程中嘗試從數(shù)學的角度尋求解決問題的策略，經(jīng)歷猜想、實驗、推理等數(shù)學探索活動的過程，體會一些重要的數(shù)學思想方法。而在教學中，利用幾何直觀幫助學生逐步實現(xiàn)從感性思維向理性思維的過渡是必不可少的。

例如，在教學“找次品”時，我設(shè)計了四個層次的幾何直觀方式，

首先，利用天平稱給學生看，這種最直觀的方式讓學生看到平衡和不平衡兩種情況，然后在課件中用圖示直觀呈現(xiàn)出來（圖2）。在這個過程中，天平已經(jīng)從實物抽象成了簡圖，口香糖的實物也抽象成了圖片。實物稱能讓學生看到具體的數(shù)學模型，課件中的圖片直觀有利于學生思考和對比。

圖2

接著，學生從5個物品中找出較輕的次品時，我讓學生用小圓片擺一擺。剛才的實物圖片被小圓片所代替，箭頭圖則直觀地呈現(xiàn)分的份數(shù)和每份的數(shù)量。

然后，在學生從9個物品中找出較重的一個次品時，手中的圓片已經(jīng)不夠用了，我把黑板上的圓片一邊取下（圖3），一邊換成數(shù)字（圖4），圖示如下：

圖3

圖4

最后，整節(jié)課的板書（圖5）如下：

圖5

在整節(jié)課的過程中，我利用不同的幾何直觀方式進行了巧妙的遞進，先利用天平直接稱口香糖（實物），然后利用圓片擺一擺（初步模型），再用數(shù)字代替圓片（數(shù)字模型），最后形成整個板書圖（數(shù)形結(jié)合），引導學生經(jīng)歷了從實物—圓片—數(shù)字—文字的過程。極大地幫助了學生理解知識，在經(jīng)歷建模過程的同時啟迪了學生的思維，提高了思維能力。

二、利用幾何直觀呈現(xiàn)思維過程——直觀有序，深刻理解

恰當?shù)膸缀沃庇^方式能有效地呈現(xiàn)思維的過程，讓學生清楚地理解思維的過程，這樣對學生的思維能力培養(yǎng)起到積極的作用。

例如，在教學二年級“排列組合”時，有這樣一個問題：用1，2，3能組成幾個兩位數(shù)。在聽我們學校一位老師上課時，她向?qū)W生滲透的方法是（圖6）：先在黑板上寫好個位、十位，然后在下面依次去寫數(shù)字，組成六個兩位數(shù)，然后讓學生說一說組數(shù)的過程和順序，大部分學生都能掌握。

圖6

但我在聽課的過程中發(fā)現(xiàn)，有部分學生會出現(xiàn)重復或遺漏的情況。在我們成人的眼里看來，這樣已經(jīng)講解得非常清楚了，為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？通過分析發(fā)現(xiàn)，雖說這位老師也是采用了幾何直觀的方式讓學生理解這部分知識，但更注重于結(jié)果的呈現(xiàn)，無法反映思維的過程。究其原因有兩點：一是二年級孩子的思維水平是比較低的，我們成人覺得十分簡單的過程在他們眼中并不簡單，因此不能用我們成人的思維來類推他們的思維，二是在孩子們的眼中這樣的圖還不夠直觀，特別是這個圖不能直觀地反映“取數(shù)”的順序和“組數(shù)”的過程。后來在教學中我采用另一種幾何直觀的圖示來嘗試解決這個問題。

結(jié)合板書，讓孩子們邊畫邊說（圖7），先取1，剩下2和3，能組成12和13；再取2，剩下1和3，能組成21和23；最后取3，剩下1和2，能組成31和32。

圖7

課后發(fā)現(xiàn)，所教二（5）班的48個孩子不僅很喜歡這種直觀畫圖的方式，而且都掌握了組數(shù)的方法，在后面的練習中極少出錯。因此，通過恰當?shù)膸缀沃庇^的方法，能直觀呈現(xiàn)思維的過程，幫助學生深刻地理解思維的過程。

三、利用幾何直觀啟迪學生思考——數(shù)形結(jié)合，提煉總結(jié)

只有做到直觀上的理解，才是真正的理解。幾何直觀能夠啟迪思考，幫助理解，因此，在日常教學中，要幫助學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，并且學會利用幾何直觀來學習和理解數(shù)學。

在“找次品”一課中，為了讓學生理解“分3份”“盡量平均分”這兩個規(guī)律，我先引導學生嘗試從9個物品中找出較重的一個次品，畫出示意圖，然后把學生的方法呈現(xiàn)成以下幾何直觀圖（圖8）：

教學實錄如下：

師：為什么都是分3份，但找到次品需要稱的次數(shù)卻不相同？（在借班上課時學生沒有答出，我就追問，哪種方法稱一次把范圍縮得更小？）

圖8

生1：因為縮小的范圍不同。第一種方法一次就把范圍縮小到了3瓶，第二種方法一次只把范圍縮小到了4瓶。

師：那怎樣分就更有利于縮小范圍呢？

生：平均分。

接著，我讓學生從8個物品中找到較重的一個次品。反饋的信息如下（圖9）：

圖9

教學實錄如下：

教師先讓學生討論為什么第一種方法只要兩次，第二種方法卻要三次。

生1：因為第一種把范圍縮得更小。

師：但第二種卻是符合平均分的??？

生1：因為第一種是分3份的。

生2：分3份更重要，剛才的9就是平均分成3份的。

師：那像8這樣不能平均分3份的，怎么辦？

生3：盡量吧。

師：沒錯，盡量平均分。

以上兩個片斷中，我都充分使用了幾何直觀的方法，短短的幾次問答，就解決了學生理解“分3份”“盡量平均分”這兩個找次品問題中潛在的規(guī)律，這就是幾何直觀的威力。上面的兩個圖巧妙地把數(shù)和形結(jié)合起來了，利用箭頭圖呈現(xiàn)分的份數(shù)和每份的多少，利用斜線直觀地反映不平衡的情況，利用圓圈清楚地標示出稱后縮小的范圍，而整個圖形實現(xiàn)了兩種方法的對比。最后再通過恰當?shù)奶釂栆龑W生從復雜的信息中找到內(nèi)在的數(shù)學規(guī)律和思想。

綜上所述，在數(shù)學廣角甚至整個數(shù)學教學中，恰當?shù)夭捎脦缀沃庇^的方法進行教學，不僅可以提高學生的思維能力，還可以提高學生的學習興趣和效率，達到事半功倍的效果。

［1］李軍.正確理解“數(shù)學廣角”編排意義，提高教學有效性［J］.山東教育，2009（31）.

［2］朱洪霞.幾何直觀在小學數(shù)學教學中的作用［J］.新課程（教研版），2009（01）.