數學開放題教學之拙見

聶斌

【摘 要】 數學開放題現已發展為結論開放、條件開放、推理開放與問題本身開放幾大類。教師對開放題起了積極的推動作用，促進了課堂中的開放式教學。開放題的本質是培養學生的創新意識和創新能力，核心是靈活應用數學思想方法。

【關鍵詞】 數學開放題；培養興趣；開放式教學

【中圖分類號】 G63.22 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-00-02

數學開放題，不僅在開放題的理論研究上有所創建，而且還設計了許多典型的開放問題，如“水槽問題”，“子彈問題”，還有花圃設計問題和電活問題等。在我國，此項研究始于1984年，浙江教育學院戴再平教授對“給定一定條件研究所有結論的開放題”，作出了獨具中國特色的研究，并取得了我國“九.五”規劃的教育科研成果。隨著各國數學教育工作者，對數學開放題的認識逐漸加深，現已發展為結論開放、條件開放、推理開放與問題本身開放幾大類。在第一屆東亞數學教育會議上，澳大利亞的阿·比詩霍布教授鑒于東方的數學教學基本上以教師為中心，以課本為中心，以課堂為中心，強調練習，注重考試，提倡“熱能生巧”，學生往往不求甚解，缺乏創造力，普遍負擔過重的狀況，建議東亞國家改革這些考試文化內的試題。并且還舉出了5個例子：多于一個正確答案的問題；學生編制的問題；現實中的開放題；探究性問題；“公文包”式試題（類似于論文）。考試的目的不僅是看學生知道什么數學知識，還應該體現廣泛的人生價值、教育價值、數學能力和意識。數學開放題就是為實現上述教育價值的一種形式。正因為開放題有著較好的功能。我國專家小組在1999年起草的《中國基礎教育課程改革指導綱要》中，指出“教科書是教學內容的重要載體，應體現……開放性”，應“改變學生的學習方式，增加課程的開放性”。教育部發布《關于2000年初中畢業，升學考試改革的指導意見》明確指出：“數學考試應設計一定的……開放性問題”，表明我國教育領導部門肯定了數學開放題的作用和地位。中考中曾經出現的鑲嵌問題，求24數問題等都屬于開放題，這就為教師學生對開放題的認識起了積極的推動作用，促進了課堂中的開放式教學。

那么開放題有哪些明顯的特點呢？人教社中學數學室俞求是先生認為，開放題的含義是：（l）問題的“結論”是在問題系統內部相對于問題的“條件”而言的，不能與問題的“答案”概念混淆；問題的“答案”（解法）是相對于整個問題而言的；（2）對于問題的條件不作太多的限定，對問題的答案給以寬松的環境，但要求是多樣化的，豐富多彩的。就是說，答案是不唯一的問題稱為開放題，其顯著特征是：答案有多樣性（多層次性）。數學開放題是那些答案不唯一，并在設問方式上要求學行多方面，多角度、多層次探索的數學習題。從上面對開放題進行的描述定義中，這就使得開放題必須具有如下的幾個重要特點：

1.條件開放中含有不完備性

對于一個開放題的條件可以不足，也可以是有多余的，在條件不足時，要求學生予以補充條件多余時要求學生從中進行選擇。

例1，現有含鹽4%的鹽水60kg，含鹽12%的鹽水500kg，另有足夠多的鹽和水，現要配成10%的鹽水600kg，問如何作配制？

例2，試從不同類型的方程中找出x=l為解的方程。

例3，在△ABC中，有兩條線段BD、CE，在什么條件下，就有BD=CE的結論。

以上幾例，都是在結論固定的情況下，讓學生研究、探索出條件的問題。在例l中，條件作選擇。在例2、例3中就是探討在一定條件下使結論成立的命題。

2.結論開放中含有不確定性、具有層次性

解答一般的數學開放題，在其解答上具有多樣性。解答的結論不是唯一的，這就決定出夠滿足各種層次水平的學生的需要和求知。使他們可以在自己的能力范圍內解決問題。從而地體現出層次性，激發學生對解題的積極主動地叁與解題活動有較大的驅動力。

例4，PA.PB是⊙○的切線，切點A、B，AC.BE是直徑，由以上條件，你能推出哪些并證明之。

例5，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線，你能得出哪些結論，并作出證明。

以上兩道題是僅給出了已知條件的開放題，這就要求學生用解同類問題的經驗進行推理，想象、猜想出結論，層次不同的學生所得結論不相同。以上幾例，都可滿足不同的學生的需求，各種不同層次學生都可做出不同水平的解答。

3.問題的解決策略具有非常規性、發散性和創新性

解答開放題時，往往沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思維模式，從多個不同的角度思考問題，有時發現一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領域。

例6，試比較下列兩個幾何圖形的異同。

這兩個圖形的異同點可從多方面來挖掘。

它們的相同點：（1）同是多邊形。（2）都是正多邊形。（3）都有相等的邊。（4）都有相等的內角。（5）都有一內切圓和一外接圓。（6）各邊的中垂線交于一點，且與各角平分線的交點相重合。（7）都是軸對稱圖形。（8）各邊都是其內切圓半徑或外接圓半徑的正比例函數。（9）面積都是其內切圓或外接圓半徑的二次函數等。

它們的不同點：（1）邊數（或頂點數）不同。（2）各自的內角的大小不同。（3）對稱軸數目不等。（4）正六邊形還是中心對稱圖形。（5）各自邊所對的中心角大小不等。（6）正六邊形有對角線。（7）正三角形的邊長，正六邊形的邊長與各自內切圓外接圓的半徑比值不同。（8）各自的周長與其外接圓的周長比值不同。（9）各自的面積與其外接圓面積的比值不同等。

解答本題時，并沒有常規的解題模式可以遵循，思維呈發散性。如能找到一個新視點，即可發現新的解答。

4.開放問題具有探索性和發展性

對一個開放題的研究與封閉題研究有很大不同，這主要體現在對答案的探索性和問題本身可以發展成為一系列的問題。

例7，一個鐘面有l2個數字，試在某些數字前添上負號，使鐘面上所有數字之和為零。

解決此問題，先要通過試錯。經過一個規律的探索過程，即l+2+…+12=78，那么相加后為零，就是正、負數的和分別為39，雖找出了規律，但要寫出全部答案也是件較繁的事。因本題的答案有多種。

此題同樣可作變化發展。如：

（1）能否改變鐘面上的數，比如只剩下六個偶數，仍在某些數的前面添加負號，使它們的和為零。

（2）在哪些時間里分針和時針所夾的那些數的前面添加負號，鐘面上的各數的代數和就為零。

（3）在l2小時內，鐘面上的時針與分針在哪些時間恰好成60°的角？

上面的例題所體現的是，開放題本身就具有開放性，當然這也是問題的內容和方法所決定，它的特殊開放功能。

5.開放題的解決離不開數學的基礎知識和技能

就是說，開放問題的教學并不對其余教學過程和方法有排除性。只是在問題的解決中，對學科的知識運用更加靈活、更加全面、更加深入。封閉題對學生主要是引起思維的同化，而開放題則在學生的學習中，則可引起思維的順應發展，既可強化知識的運用，又可從不同角度認識問題的新的特性。如龜兔賽跑，誰快誰慢的問題。這無非是一個速度問題實際上還要從它們的本身特點上去認識。在陸地上，顯然是兔子的速度大；那么如依龜的兩棲性，而應在水中龜兔同樣賽一場。從陸地或水中對兩者賽跑可都難以公平，最為公平的是在空中，把它們都放在一個陌生的環境中進行，這雖不是什么好數學問題，但含有影響速度大小環境條件的數學情境內容。因此在解決開放題的問題中，不僅要對數學問題本身作出認識，還要能對影響其中某一量的數學情景因素作出分析。一般來說，開放題具有的思維順應發展性，主要反映在：（1）開放題作為數學開放式教學的載體，其中包含的事件應為學生所熟悉，其內容是有趣的，是學生愿意研究的，是通過學生現有的知識能夠解決的可行的問題。開放題能根據學生的興趣和能力進行變化，當學生試圖用數學語言表達問題的解答時，他會對效學的本質產生一種新的領悟。（2）開放題能使學生獲得各種水平程度的解答，開放題所反映的是現實生活或數學的情境中的多種變因。使學生在解答的過程中必須探求某種策略，因而在解答時往往能導出一般的結論或是發展為另一個問的問題。在這種體驗中，學生的概括能力和遷移能力會得到提高。

開放式的數學教學，由于開放題被引起廣泛關注，以及在教學中顯示出了它的獨特功能，因此人們將開放題的單獨教學過程而躍變為開放式的數學課堂教學。以圖建立起課堂教學的新模式，在新的教學模式中，讓學生更加得到全面的發展，使開放題的本質更充分地呈現出來。開放題的本質是培養學生的創新意識和創新能力，核心是靈活應用數學思想方法。而在現實的環境中，數學正是通過其思想方向影響著人們的思維方式、生活方式甚至生存方式。為此：世界各國的學者、專家都在努力地面對原始的現實創造出具有自己特色的開放性問題。國際數學大師陳省身告訴我們：要在本土上有自己的問題，讓外國人跟著我們的問題做，要面對原始的問題，不要在文獻的夾縫中求生存。目前我國創建了一些成功的開放題。如鐘面數字問題，一個飯店地下室到10樓有三根電線不一樣長如何測知它們的電阻問題，100以內自然數的等差分析問題等。進行創新的數學教育，就要創造自己的數學問題，一所優秀的學校，應發展自己的數學問題，一位優秀的數學教師應當有自己設計和編制的數學問題。沒有自己的問題，談不上創新，做別人提出的問題，與自己提出—個問題在學術上是不一樣的。作為中國的數學教育工作者，不僅創建一些新的問題，建立起自己的合乎國情的教育理論和具有創新教育理論下的一些重大實踐，還要為建設一支中國的數學教育學派而作出貢獻。

進行開放式數學教學，一般是讓學生能夠按各自不同的目的，不同的選擇，不同的興趣進行數學學習并得到能力的發展。其目的是培養學生分析問題和解決問題的多方活動能力和數學思維能力，并在這一過程中，具有（1）培養和促進學生的好奇心和求知欲；（2）促進學生積極探索的態度和策略；（3）鼓勵學生參照或應用已有的知識和技能，提出新問題，探討新問題；（4）刺激學生提高數學品質和智力。（5）鼓勵學生彼此交流討論，這種教學模式既體現了數學教學為了所有的學生。又提高了學生的數學索質和創造性意識，還有利于我們教師在教學理論與實踐的能力上提高。

進行數學交流是開放式教學中最為重要和突出的問題。通過對開放題的解答，要求學生對自己的想法能進行反思和加以說明，用數學語言、數學符號解釋日常的語言；能對實際、周圍環境提供的材料，圖象、表格用數學概念作分析和闡述；讓學生對數學思想能作口頭的或書面的表述，在討論和交流中，增強數學探索的科學精神。

參考文獻：

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[2]通過命題培訓提高教師的數學素養-鄭新發，《福建教育》-2010

[3]開放式高中數學課堂教學模式探討-唐虹，《讀寫算：教育導刊》-2015

[4]中學數學開放式教學模式初探-黃邦杰，《課程教材教學研究：中教研究》-2004