教學數學的發展及其應用

蘇擁英

【摘 要】 數學教學改革的方向和重心從教育教學的一般性原理調整至現今很多學者關注數學內容改革上，尤其涉及教育數學的發展，并取得一些的成就，本文就其成就談了教育數學的突出特點和貢獻：在數學學科知識上發展網狀的邏輯知識結構，強化學生的認知；方法更普遍、解題更簡潔、知識起點低；相關成果也可用于解決了機器證明領域的國際難題。

【關鍵詞】 數學教育；教育數學；PCK理論

【中圖分類號】 G64.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-0-02

數學教育在基礎教育中有著重要的地位和價值，近半個世紀以來世界各國特別是發達國家為提高中小學生的數學素質做了大量的研究和實踐。美國等西方國家先后提出并實踐了“新數運動”、“回到基礎”、“問題解決”、“建構主義”等多種思想，這些思想都在不斷調整著數學教學改革的方向和重心。但這些主要是集中在對數學是基礎性或應用性的把握，或者是在數學教學方法上，所取得的效果也不是非常明顯，究其原因，可能是其改革和研究內容偏重于教學一般性原理而忽略了數學內容本身。

這些數學教育的研究主要關注教學模式與方法，但很少關心數學內容的處理與創新。近三十年來出現了一些變化，國際上對數學教育研究的總趨勢是從一般理念認識轉向關注學科內容；從哲學和心理學層面的原理性研究發展到深入結合具體數學內容的教與學的方法論研究。

自上世紀80年代以來，數學教育界開始研究學科內容教學知識在教師工作中的重要作用。1986年，舒爾曼提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論，提出重視學科內容在教學中的重要性。近30年來，此方向仍在深入發展。例如，MargaretKendal和KayeStaeey曾于1996年做過一項三角函數定義教學的比較研究，結果顯示，從概念發展的角度看，用比值法教學很難讓學生的研究對象（角）超越第一象限，而單位圓法則不存在這樣的問題，無疑對深入學習三角函數更有幫助。這表明，關注數學內容變化對學生影響的研究在數學教育中日益受到重視。雖然PCK理論意識到關注學科內容對教學活動的重要性，但它沒有重視數學內容在教育活動中的整合與創新的可能性和重要性。例如，上述研究僅僅限于比較三角函數的兩種定義方法，但沒有去探索更適合教學的三角函數的其他定義方法。張景中于1974年發現利用面積方法推導三角函數概念與某些公式，能很好地把幾何、三角和代數聯系起來，有助于學生理解概念，提高解題能力，并增強思考的樂趣。他所發現的面積解題法為中學數學競賽所采用，成為有效的解題工具之一。1989年張景中把這些做法和其他教學經驗結合，首次提出了“教育數學”的概念和思想方法，其思想是為了教育把數學變得更容易，其任務為“改造數學知識結構使之更適宜于教學和學習”。這些思想獲得不少一線老師的認同，并于2004年成立了中國高等教育學會教育數學專業委員會，由此創設了一個新興的研究領域。

張景中于2006年發表“重建三角，全局皆活”一文，提出“三角函數新定義體系”。后又出版《一線串通的初等數學》（科學出版社，2009），詳細闡明具體的教學改進方案。教育數學不僅在初等數學領域有進展，在高等數學領域也取得了不少進展，如微積分方面，第一代牛頓和萊布尼茨創建的微積分在“說不清楚”的情形下發展了130多年，第二代柯西和魏爾斯特拉斯建立的嚴謹的極限理論基礎上的微積分，在“聽不明白”的情況下，又發展了170多年。近年來，中國學者林群、張景中等從平凡的事實出發，不用極限和實數，直截了當地建立了第三代微積分，使得在學習微積分的過程中既能“說得清楚”、又能“聽得明白”。

最近，美國Otterbein大學童增祥教授，在長期的數學教學實踐和數學教育研究中，認識到數學內容本身優化的重要性，對中國學者張奠宙提倡的重視雙基，及張景中提出的教育數學理論觀點表示認同。他不僅發表了一系列有關教育數學的論文，而且在Otterbein大學成立了美國第一個教育數學研究生班，從事教育數學的研究與實踐，并發表論文闡述教育數學的觀點[1-3]，認為美國的數學教育也需要引入教育數學。

下面就結合教育數學的具體內容和方法，談一下其突出特點和貢獻：

一、發展網狀的邏輯知識結構，強化學生的認知

數學學科教材的知識結構是教材編寫者賦予的知識路線，一般的編寫者都是按照學科的知識發展歷程對知識點進行編排，但是否這樣的知識結構更符合學生的認知呢？未必。從學習心理學角度來看，學生在學習過程中，是將新知識與原有的舊知識進行匹配，進行著“同化”和“順應”的過程，在學習過程中，更講究知識點之間的聯系，即新知識與舊知識產生出越多的聯系，新知識就越容易被接受和鞏固。

所以在知識結構的安排過程中，更多的需考慮知識點的聯系和融合，將不同的知識點整合到一起，衍生出各種不同角度的“關系”，如初等數學中幾何、代數和三角的知識，是在不同的歷史時期，不同的地域分別形成的，它們有各自的體系、術語和符號，這些知識曾經構成初等數學里的三門數學課程。后來，在課程表上三者合而為一，統一叫做數學。但仍是在不同的學期分別進行教學。基本上各自保持著自己的體系。三門科目都被分解成若干模塊并組合起來成為不同學期的課程。但這樣簡單的合并，并沒有起到促進數學教學的效果。[4]

教育數學在此方面工作就是把這三門科目的知識點有機地融合在一起，實現知識的串通，形成網狀結構，具體方案是將三角的知識提前引入，串通了初等數學大部分的知識點，尤其是幾何部分的定義、定理等知識點，使得知識點之間的邏輯結構更加簡短、優化，更利于理解和解題，從而強化學生的認知。

二、方法更普遍、解題更簡潔、知識起點低

在教育數學的研究過程中，產生了一系列解題工具和方法，同時基于此理念開發出教育軟件。

張景中等在研究過程中，發現了“面積法”解決題目的規律，用面積來定義正弦等辦法，進而發展了“共邊定理”和“共角定理”等工具（下面兩例即為使用“共角定理”和“面積法”來證明題目），使得解題過程更為簡潔，知識起點更低。

在研究教育數學的歷程中，張景中團隊還開發了一套適合于中小學師生使用Z+Z教學軟件--supersketchpad，該軟件擅長于作圖、計算，更突出的是它強于推理和自動證明幾何題，這些功能都優于幾何畫板。

三、相關成果解決了機器證明領域的國際難題

張景中在指導學生解決幾何問題時，總結出用面積關系解題的規律，在這些規律的基礎上，1992年提出了消點法，并和周咸青、高小山合作，創建了可構造等式型幾何定理可讀證明自動生成的理論和方法，并在計算機上實現，同時在多個國家的相關系統中得以應用，解決了機器證明領域可讀證明的國際難題。這個教育數學研究成果解決的難題，使得機器證明領域在繼“吳方法”后又一次掀起了高潮。

“教育數學”理念的正式提出至今也才短短的20多年，就已改善和解決了數學教學領域、軟件領域乃至數學機械化領域的很多問題，其成果的實踐和運用在諸多方面都取得了良好的效果，展現出其極廣的應用性和頑強的生命力。

在數學學科領域，還有很多問題待解決，還有很多難點待攻克。同樣在數學教育領域，還有很多課程和知識的難點沒有簡化或優化，很多原生態的數學知識沒有被改良，“教育數學”還有很多的工作要做。

參考文獻：

[1]童增祥，Promoting Research in Educational Mathematics[R]， AMS Eastern Sectional Meeting， 2014

[2]童增祥，Why Do Chinese Students Excel on International Mathematical Olympiads？ --- Mathematics Education in China[R]， at the AMS-MAA Annual Joint Meetings， 2009

[3]童增祥，在美國傳播教育數學的理念[R]，在中國教育數學年會上的書面報告，2014

[4-]張景中著，走進教育數學—幾何新方法和新體系[M]，科學出版社，2009