必要的探究還是詳細些好——人教版數學八年級上冊教材探析

☉江蘇省如東縣新區初級中學　朱云霞

必要的探究還是詳細些好——人教版數學八年級上冊教材探析

☉江蘇省如東縣新區初級中學朱云霞

人教版教材在“12.2三角形全等的判定”中，安排了這樣一則探究：

探究1先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件（說明：六個條件是指AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，下同）中的一個（一邊或一角分別相等）或兩個（兩邊、一邊一角或兩角分別相等）.你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？

一、“探究”分析

1.教學背景分析

探究1被安排在人教版八年級上冊數學教材第十二章，是“12.2三角形全等的判定”的第1個探究.在這則探究之前，教材給出了兩段文字，第一段文字，結合圖12.2-1給出的△ABC與△A′B′C′，歸納出“如果兩個三角形滿足三條邊分別相等，三個角分別相等，就可以判定兩個三角形全等”的結論；第二段文字提出了兩個問題，第2個問題“能否從六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等”明確了本節課的教學目標，學生將圍繞“尋求判定兩個三角形全等的簡捷方法”這一主題展開一系列的探究.

2.探究1分析

探究1，重點解決了“滿足上述六個條件中的一個或兩個，△ABC與△A′B′C′是否全等”的問題.探究從“一個條件”開始，通過作圖對比發現“僅給出一個條件是無法保證兩個三角形全等的”；進而增加一個條件，進一步探究“兩個條件能否保證兩個三角形全等”，方法依然是作圖對比.這則探究所獲得的知識、方法和經驗是進一步探究“三個條件能否保證兩個三角形全等”的基礎，對后面的幾個探究活動影響巨大.

二、存在問題分析

1.探究內容繁雜

教材中，探究1共三行文字，包括標點共81個字.看似簡潔的文本中，蘊含中豐富的數學信息.文本的簡潔與信息的繁雜形成了強烈的反差，很可能會給教師和學生帶來諸多的不適.下面，我們先來分析一下這則探究中蘊含的信息：

（1）需要進行兩個層面的探究.

探究1以簡潔的文本對學生的探究活動提出了明確的要求：學生應從“一個條件”和“兩個條件”這兩個層面作圖并歸納結論.對此，教師不僅自己要清楚，還要讓學生也明了.顯然，僅憑引導學生自主閱讀，想要讓他們自覺地將探究進行兩個層面上的劃分，確實有很大的難度.

（2）每一個層面的探究又是多樣的.

就算學生將（1）中的兩個層面劃分得清清楚楚，每一個層面又將要面對多種情形的探究：“一個條件”，要考慮一邊或一角分別相等這兩種情形；“兩個條件”，要考慮兩邊、一邊一角或兩角分別相等這三種情形.雖然探究中已經明確了這些情形，但當文本與給出的圖形（△ABC與△A′B′C′）結合起來時，多種不一樣的組合必然會給學生的分析和理解帶來較大的麻煩.

（3）需要作圖，還需要觀察比對.

作圖，是學生完成探究1的基本方法.關于作圖，學生在小學中用得并不多.進入初中后，學習全等三角形前，他們僅學習了“三角形”和“圖形認識初步”這兩個與幾何圖形有關的單元，用三角板、直尺、量角器和圓規等工具作圖的經歷還很少，與作圖相關的知識、技能及經驗幾乎無從談起.想要學生順利畫出圖形，并觀察得出結論確實有較大的難度.

探究1中所蘊含的信息可能還遠不止上面這些，但僅僅就這些就足以讓老師和學生在教學過程中“犯迷糊”了.簡短的文本，繁雜的內容，使得師生教學中形成了較大的心理落差，探究1的成效很難達到教材編者的預期.

2.步驟設計簡略

作為一則探究，想要獲得預期的“成果”，應該有著清晰的探究步驟和操作要領.探究1，對探究步驟和每一步的操作要領的陳述十分簡略，如果不深入地對探究的話題進行“肢解”，讓學生知道自己應“先探究什么，再探究什么”絕不是件容易的事.加之探究中的作圖可謂一波三折，“先畫……”，“再畫……”，最后的追問“你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎”，將方法和結論捆綁呈現，看似要求、步驟都很清楚，實則容易讓學生探究時走在“先畫一個△ABC，再畫一個△A′B′C′”的多重作圖的彎路上，事實上，我們只需要學生作出一個△ABC即可.出現這樣的問題，與“探究1”這種輕描淡寫式的陳述是不無關系的.

3.知識鋪墊缺失

對“三角形全等的判定”的探索，學生學習平行線性質及判定過程中積累的“互逆”經驗是十分有用的.對此，教材并沒有進行預先鋪墊，而是直接告知學生“反過來，根據全等三角形的定義，如果△ABC與△A′B′C′滿足三條邊分別相等，三個角分別相等，就可以判定△ABC≌△A′B′C′”，沒有經驗的支撐，如此陳述難以服人.此外，作圖知識與經驗的不足，我們不能保證每一名學生都知道“圓規可以用來作出到定點的距離等于定長的點的軌跡”的，我們同樣無法保證每一名學生都能將他們在七年級上學期學習的“作一條線段等于已知線段”的基本作圖了然于心，這些不僅是探究1的基礎，也是后面的探究2、3、4等的基礎，影響很大，所以，探究1前有必要進行適當的鋪墊.

4.課時安排不當

人教版教材中，“練習”是數學教材中課時的自然“分割點”，這已經成為了一線老師共識.“12.2三角形全等的判定”共安排了4個“練習”，加之后面的習題12.2，與《教師教學用書》中預設的約6課時是一致的.據此，我們不難發現探究1與探究2被安排在第一個“練習”之前，教材編者期待教師能在一課時中不僅處理好兩則探究，還要將另一個對后續影響極大的基本作圖“作一個角等于已知角”也一并教完.如此多的教學內容，如果采用啟發式教學，一定要讓學生經歷充分的探究過程后自然生成結論的話，想要一課時完成這些教學任務是很難的.

三、幾點修改建議

1.增加教學課時

想要化解上面的所有難題，增加教學課時是最好的選擇.對探究1的探究體現了數學學習“由簡到繁”的基本路徑，所以，在探究三角形全等的判定過程中，對探究1的探究是不可缺失的.為了能幫助學生深入理解探究1的價值，我們可以為之抽出一課的時間，用以專門探討“能否從六個條件中選擇一個或兩個條件來簡捷地判定兩個三角形全等”這一話題.在上面的“存在問題分析”中，課時安排不當是筆者認為存在的一個問題，事實上，這樣的不當體現在教學中就是我們無法再一課時的時間內實現教材所編排的教學任務.由于探究1的煩瑣和探究2的鋪墊不足（學生作圖經驗未能喚醒），教材原來編排的一課時內容被很多教師分割為兩個課時進行，這種無奈的割裂導致教學的效果未能達到預期.所以，與其在逼迫下無奈分解，倒不如主動分開，讓教學課時的安排更加有利于知識的生成、發展和應用.

2.添加教學鋪墊

本節課知識鋪墊缺失主要體現在兩個方面，這在上面已經進行了敘述.筆者認為，這樣的缺失實在是可惜了.也許原來的課時安排的不足導致編者無法對后續教學夯實基礎，如果我們增加了一課時的教學時間，這樣的瓶頸將會被很快打破.我們不妨在介紹“六個條件判定全等”前，增加對“平行線的性質及判定”等知識的回顧，要凸顯出性質定理與判定定理之間的互逆關系，隨之的追問：根據這樣的經驗，如果要判斷三角形全等，你認為可以給出哪些條件？有了上面的知識回顧和經驗喚醒，筆者認為，本課時第一段文字的那種直白式結論給予是完全可以避免了.此外，我們還要注意作圖工具和基本作圖的回顧，用圓規畫圓學生是有經驗的，只不過我們一直未將其上升到說理的高度上去.在落實探究1前，我們應該結合“作一條線段等于已知線段”這一基本作圖，讓學生明晰圓規的作用及其在作圖中的價值，尤其要讓他們理解“圓規作出的圓上的各個點到圓心的距離都等于半徑”.至于這有多重要，筆者想各位老師和專家應該知道，就不再贅述了.

3.分步設置探究

探究1是一個綜合性探究，或許是原有課時的限制，讓教材編者的一片好心沒能落到好處.一旦課時增加了，筆者認為，這里的探究完全可以分解為兩個：第一個，就探究“滿足上述六個條件中的一個條件下的△A′B′C′與△ABC是否全等”的問題；第二個，則探究“滿足上述六個條件中的兩個條件下的△A′B′C′與△ABC是否全等”的問題.這樣的分解，使得學生探究的層次變得更加清晰，使得由每一個層次派生出的多種不同情形的探究，變得更加清楚，對學生深入剖析探究的層級是大有益處的.還有一點要說明的是，無論是哪個層次的探究，我們在編排時，都應引導學生從“邊相等”開始探究，讓“角相等”這一條件逐步融入，逐步加入角，讓三角形全等探究的內在主線自開始就清晰呈現.

4.圖文對應展示

初中階段，數學教學不僅要重視文字語言的教學，我們還應重視圖形語言和符號語言的教學.探究1，涉及到初中階段的三種數學語言，但教材編寫的探究結論只出現了文字語言和符號語言，并沒有圖形加以佐證，這在第三學段還是極為少見的.所以，筆者建議，在教材再版時，加入適量的與文本結論關聯的圖形來強化學生對結論的認同.比如，為了說明“滿足一條邊相等的兩個三角形不一定全等”這一結論，我們就可以呈現出“△ABC與△A′B′C′滿足AB=A′B′，但不全等”的圖形出來，如圖1所示.

圖1　

這樣的圖形加入，既豐富了教材的美感，又從數學語言的角度啟迪了學生，培養了他們語言轉化的能力.這種不適用的圖形、文字和符號語言，幫助學生進一步鞏固全等三角形中的對應觀，培養學生的文字、符號圖形的轉化能力.

5.追加思考話題

作為單獨的一節課，雖然得出的都是“不一定全等”的結論，但這絲毫不會影響到這節課在整個“三角形全等的判定”中所處的地位.這節課的承上與啟下同等重要，教材編排時，絕不可以“厚此薄彼”.根據剛才的建議，在回顧舊知夯實基礎上，教材應該做一些文章，同樣的，在預設問題開啟新知上，也應該花一些功夫.接下來，我們將會探究三個條件下的三角形全等的判定問題，一個條件和兩個條件的探究結束，是不是可以引出“如果給三個條件又會如何”的話題.據此，不妨增加這樣一則探究：

探究3先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件中的三個.想一想，這些條件會出現哪些組合，并請你預判哪些組合下畫出的△A′B′C′與△ABC一定不全等？

這則探究的設計順應了前兩則探究的思路，是學生對下面幾節課知識的提前猜想.如此設計，讓學生根據前面的經驗提出合理猜想，具體的驗證將在后面完成.這樣的延續，有利于課與課之間的銜接，便于教師整體把握教材組織和實施教學.