基于萊維搜索的寄生算法在氣動優(yōu)化中的應用

夏露, 李朗, 王亮

(西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

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基于萊維搜索的寄生算法在氣動優(yōu)化中的應用

夏露, 李朗, 王亮

(西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

為了平衡智能優(yōu)化算法的全局與局部搜索能力,對布谷鳥算法和寄生算法進行了探討與分析,將布谷鳥算法中的萊維搜索加入到改進的寄生算法中,在增加收斂速度的同時保證個體多樣性,進而發(fā)展得到了基于萊維搜索的寄生算法。通過函數(shù)測試及氣動算例驗證了新算法優(yōu)越的尋優(yōu)性能。將基于萊維搜索的寄生算法應用于翼型的氣動優(yōu)化設計中,取得了良好的效果,從而表明提出的算法準確有效,具有良好的實用性。

萊維搜索;寄生算法;翼型氣動優(yōu)化

隨著計算機技術和計算流體力學(CFD)的快速發(fā)展,采用數(shù)值優(yōu)化方法進行飛行器的氣動外形設計,可以大大提高優(yōu)化設計效率并減少設計成本[1]。近年來,粒子群算法(PSO)、布谷鳥算法(CS)、寄生算法(SP)等現(xiàn)代啟發(fā)式智能優(yōu)化算法相繼被提出,相較于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法,這些算法表現(xiàn)出了較強的全局搜索能力,往往可以更快速準確地尋找到優(yōu)化的期望值[2]。CS算法通過萊維搜索可以保證收斂性,而且穩(wěn)定性較好,SP算法則可以有效繼承前代的優(yōu)勢信息。然而,與更多優(yōu)秀的智能優(yōu)化算法相比,CS算法收斂速度依舊較慢,而SP算法在尋優(yōu)過程中則容易陷入局部最優(yōu)。

為了獲得尋優(yōu)性能更佳的優(yōu)化算法,本文對CS算法、SP算法進行了探討與分析,將CS算法中的核心技術萊維搜索引入到寄生算法中,提出了一種基于萊維搜索的寄生算法(LSP),使得改進的算法具有良好的全局/局部搜索平衡能力,有效地提高了算法的尋優(yōu)性能。將該算法應用到翼型的氣動優(yōu)化設計中,取得了良好的結果。

1 布谷鳥搜索算法

布谷鳥搜索算法[3-4]是楊新社等人在2009年提出的一種智能優(yōu)化算法,其生物模型為布谷鳥的鳥巢寄生繁殖行為,具體模型如下所述:布谷鳥把鳥蛋置于其他鳥類的巢中,靠其孵化以及提供食物,不過同時也存在被寄主發(fā)現(xiàn)的可能,這時寄主會把布谷鳥蛋棄于巢外或直接將巢拋棄;另一方面,布谷鳥為了提高生存力,布谷鳥先孵化后會破壞寄主的蛋,以獲得更多的生存資源。基于3個假設便得到了簡化的算法:①布谷鳥1次只產(chǎn)1個蛋,并放在隨機選取的巢中;②質(zhì)量最好的鳥巢將會被保留到下一代;③鳥巢的數(shù)量是固定的,布谷鳥蛋被發(fā)現(xiàn)的概率為Pa∈[0,1]。理論證明布谷鳥搜索滿足全局收斂要求,從而保證了全局收斂特性。

算法以昆蟲的覓食飛行模式——萊維飛行(Levy flights)作為其全局搜索方式[4]。搜索步長s取自萊維分布

(1)

式中,t為進化代數(shù)。這種分布的方差和平均值均為無窮大。萊維飛行的特性在許多動物和昆蟲的飛行行為中得到體現(xiàn),應用在優(yōu)化搜索中時顯示出了可觀的潛力。

算法運用了局部搜索(local random walk)與全局搜索(global random walk)的結合,由參數(shù)Pa控制其轉(zhuǎn)換。

局部搜索的方式為

(2)

全局搜索的方式為

(3)

式中

(4)

圖1為布谷鳥搜索算法的算法流程,圖2顯示了Levy flights選取的隨機數(shù)。

圖1 Cuckoo Search算法流程

由圖2可以看出,Levy flights選出的隨機數(shù)具有較大的方差,即波動性比較大,這樣能較大程度上保證樣本的多樣性,不會輕易漏掉潛在的全局最優(yōu)解。同時,還可以通過調(diào)節(jié)系數(shù)來對隨機數(shù)進行縮放,使變量盡量落在限制的區(qū)間內(nèi)。

圖2 Levy flights選取的隨機數(shù)

2 寄生算法

2.1 基本寄生算法

自然界中的大部分寄生生物需要獲取宿主體內(nèi)的養(yǎng)分才能生存,并在合適的部位產(chǎn)下后代,越是營養(yǎng)豐富的部位越能吸引寄生生物產(chǎn)生下一代[5]。在宿主體內(nèi)發(fā)育的下一代個體只有能獲得足夠養(yǎng)分的個體才能發(fā)育為成熟個體,而其他個體則被淘汰掉,這里假設被淘汰掉的個體將由發(fā)育成熟的個體所吞噬。將寄生模式以整個尋優(yōu)空間為宿主,養(yǎng)分視為適應值,寄生生物群在整個尋優(yōu)空間尋找最優(yōu)解,寄生生物群落最后應該聚集在最優(yōu)解周圍,這樣便得到了下面的寄生算法(SP)。

每一代保留一定數(shù)量的成熟個體,其產(chǎn)生后代的數(shù)量由下式確定:

幼體數(shù)目為

(5)

式中,參數(shù)k為繁殖系數(shù),PbestFit為當前個體最優(yōu)適應度值,GbestFit為群體最優(yōu)適應度值,N0為繁殖基準數(shù)。

拉丁超立方抽樣的范圍:R=R0/q,其中,q為擁擠度因子,其值由下面的公式給出;其中,Niter為當前迭代次數(shù),R0為初始變量區(qū)間。

(6)

如果成熟個體適應度值劣于全局最優(yōu)值,其后代將均勻分布于該個體周圍、整個設計空間內(nèi)和全局最優(yōu)解周圍。分布于整個設計空間的后代是通過拉丁超立方抽樣產(chǎn)生。具體操作方式如下

(7)

上式中rand為0～1之間的隨機數(shù),random為隨機產(chǎn)生的個體位置,Pbest為當前個體最優(yōu)位置,Gbest為群體最優(yōu)位置。

如果成熟個體適應度值優(yōu)于全局最優(yōu)值,則后代將圍繞在該個體周圍產(chǎn)生

(8)

如此得到每一代幼體并計算其適應值,適應值差的那些幼體將被淘汰掉,最后存活下來的M個幼體將發(fā)育為成熟個體,繼續(xù)產(chǎn)生下一代。

SP算法的流程結構如圖3所示:

圖3 SP算法流程

2.2 寄生算法的改進

寄生算法雖然強化了局部搜索,但是還存在一些不足。首先,寄生算法中成熟個體產(chǎn)生的后代數(shù)目過多,以N=60,M=5為例,每一代產(chǎn)生后代的數(shù)量則為300,因此為了減少計算量,將產(chǎn)生后代的模式調(diào)整為15×4=60個。其次,為了加快收斂速度,將產(chǎn)生后代的模型,改為每個成熟個體只在自身周圍產(chǎn)生后代,拋棄隨機生成的部分。除此之外,算法收斂得好需要后期搜索的精細化,也就是搜索范圍要逐漸縮小。因此,對SP算法產(chǎn)生后代公式中的參數(shù)做出調(diào)整,使搜索半徑隨著優(yōu)化代數(shù)的增加而遞減。如此便得到了改進的寄生模型。

對于劣于全局最優(yōu)的成熟個體

(9)

式中，q=PbestFit/GbestFit。

對于優(yōu)于最優(yōu)的成熟個體

(10)

為了檢驗改進的算法收斂速度,下面將對算法進行函數(shù)測試。本文用到的函數(shù)如下所示:

1) Sphere函數(shù)

搜索范圍:-100≤xi≤100

全局最小值:min(f1)=f1(0,…,0)=0

此函數(shù)為非線性的對稱單峰函數(shù),大多數(shù)算法都能輕松達到優(yōu)化效果,其主要用于測試算法的尋優(yōu)精度。

2) Rosenbrock函數(shù)

搜索范圍:-30≤xi≤30

全局最優(yōu)值為:min(f2(x))=f2(1,1,,…,1)=0

該函數(shù)是一個單峰函數(shù),靠近最優(yōu)點的區(qū)域為香蕉狀,變量之間有很強的相關性,且梯度信息經(jīng)常誤導算法的搜索方向。

3) Ackley函數(shù)

搜索范圍:-50≤xi≤50

全局最優(yōu)值為:min(f2)=f2(0,…,0)=0

該函數(shù)是一個連續(xù)、旋轉(zhuǎn)、不可分離的多峰函數(shù),存在大量的局部最優(yōu)點。

下面選取Rosenbrock和Sphere這2個函數(shù)對SP算法及改進SP算法進行測試,最大優(yōu)化代數(shù)設為100,取50次測試的平均值作為性能指標。函數(shù)測試結果如表1所示。

表1 算法函數(shù)測試對比

通過以上測試可以看出,改進的寄生模型在大大減小計算量的基礎上,而且算法的尋優(yōu)性能有所加強,后期仍然可以提供較大的種群多樣性,可以有效地避免陷于局部最優(yōu)。

3 基于萊維搜索的寄生算法

CS算法通過萊維搜索可以保證收斂性,而且穩(wěn)定性較好,但是收斂速度相對較慢,往往需要上千次的優(yōu)化代數(shù)才能得到較理想的優(yōu)化結果,限制了算法的應用范圍。SP算法可以有效繼承前代的優(yōu)勢信息,但是其搜索機制限制了收斂性,過大的收縮半徑會導致搜索效率的降低,而過小的搜索半徑則有可能導致陷入局部最優(yōu)。為了保證算法收斂性的同時,加以優(yōu)勢信息的指導以期增加算法的收斂速度,考慮將CS算法中的核心技術萊維搜索方法與改進的寄生算法相結合。

在寄生算法中,每個成熟個體及其得到的后代都可以看做是一個群落,通過自然選擇不斷進行繁衍和進化,使得有優(yōu)勢的個體得以生存,淘汰掉沒有競爭力的個體。基于上述原理,本節(jié)將CS算法中的萊維搜索加入到改進的寄生算法中,這樣便得到了基于萊維搜索的寄生算法(Levy simulated parasitism,LSP)。如此一來,后代在保留了最優(yōu)解的潛在設計空間的條件下,還能夠通過萊維搜索繼續(xù)有效尋優(yōu)搜索,增大了尋優(yōu)全局最優(yōu)解的概率。

LSP算法仍然以寄生算法為框架,在種群中選擇較優(yōu)的n個個體作為成熟個體,然后由每個成熟個體產(chǎn)生m個后代,得到n*m個后代。在成熟個體產(chǎn)生后代的過程中,成熟個體與最優(yōu)個體比較,如果成熟個體的適應值不優(yōu)于當前最優(yōu),則后代在最優(yōu)個體附近得到后代,方式如下所示

(11)

否則后代在成熟個體附近產(chǎn)生,方式如下所示

(12)

式中，L(s,λ)為萊維搜索,如前文所描述;系數(shù)α可以調(diào)整搜索的步長,采用線性遞減的策略,如下式所示

(13)

式中,αstart、αend分別為開始及結束時的步長系數(shù),maxgen為最大迭代代數(shù),k為當前優(yōu)化代數(shù)。

算法的流程如圖4所示:

圖4 LSP算法流程

4 算法函數(shù)測試

為了比較CS算法、改進的SP算法和LSP算法的性能,并且驗證LSP算法是否具有良好的尋優(yōu)能力,分別用這3種算法進行函數(shù)測試,并與粒子群算法(PSO)進行對比。PSO算法是一種模擬鳥群飛行覓食行為的智能優(yōu)化算法,該算法簡單易實現(xiàn),無復雜的參數(shù)調(diào)整,具有一定的全局/局部搜索平衡能力,被廣泛應用于各種設計領域。

這里選用的測試函數(shù)是Rosenbrock函數(shù)以及Ackley函數(shù),為了保證各優(yōu)化算法在優(yōu)化過程中調(diào)用測試函數(shù)的次數(shù)盡可能相同,從而保證相當?shù)挠嬎懔?各優(yōu)化算法參數(shù)設置如表2所示,函數(shù)測試結果如表3所示。

表2 算法設置

表3 算法函數(shù)測試

通過函數(shù)測試可以看出,不管是多峰的Ackley函數(shù)還是單峰的Rosenbrock函數(shù),多次函數(shù)測試的平均值以及最小值,在相同計算量的前提下,新發(fā)展的LSP算法可以收斂到更優(yōu)的最優(yōu)值,從而得到更好的優(yōu)化效果。下面通過氣動算例來加以驗證。

5 翼型優(yōu)化設計

優(yōu)化設計模型包括3個基本要素:目標函數(shù),約束條件和設計變量。對于翼型氣動優(yōu)化設計而言,一般確定了設計點后可選取表示升阻特性或力矩特性的氣動系數(shù)作為目標函數(shù),對翼型厚度和面積等進行限制作為約束,將翼型的幾何形狀作為設計變量[6]。為了檢驗LSP算法對翼型的優(yōu)化性能,下面我們將分別使用CS算法和LSP算法對RAE2822翼型進行單點減阻優(yōu)化設計,并與PSO算法的優(yōu)化結果進行對比。

設計狀態(tài)為

Ma=0.74,α=2.3°, Re=5.59×106

g3(x):s≥s0

優(yōu)化目標為最小化翼型阻力系數(shù),約束條件為翼型的面積和最大厚度不減小,翼型的力矩系數(shù)不減小且保持升力系數(shù)基本不變(上下浮動2%)。翼型幾何參數(shù)化采用改進的Hicks-Henne參數(shù)化方法[7-8],選取14個設計變量來確定翼型,其中7個設計變量表示翼型厚度分布,另外7個設計變量表示翼型彎度分布。氣動特性的分析計算采用N-S雷諾平均方程計算繞翼型流場,湍流模型為S-A,網(wǎng)格采用非結構網(wǎng)格。

本節(jié)算例采用了標準CS算法、標準PSO算法以及LSP這3種優(yōu)化算法。對于LSP算法,分別采用步長系數(shù)為0.000 05和0.000 5的算法策略,以檢驗不同的步長系數(shù)對LSP算法的優(yōu)化性能影響。為了區(qū)分上述2種LSP算法,分別以LSP-1與LSP-2表示。此外,由于算法原理各有差異,為了能保證調(diào)用氣動計算的次數(shù)盡可能相同,從而保證相當?shù)挠嬎懔?各算法參數(shù)設置如下所述:

標準CS算法,種群數(shù)量為20,步長系數(shù)采用非線性遞減,α=0.5-0.45/maxgen2×k2,優(yōu)化代數(shù)設為40代;標準PSO算法,初始種群為40,算法優(yōu)化39代;LSP-1算法,成熟個體的數(shù)量4個,每個成熟個體產(chǎn)生25個后代,優(yōu)化代數(shù)設為4代, PSO算法優(yōu)化10代,步長系數(shù)為0.000 05;LSP-2算法,步長系數(shù)取0.000 5,其他算法設置同LSP-1;優(yōu)化后翼型的氣動特性比較如表4所示,算法優(yōu)化的迭代收斂過程如圖5所示,翼型優(yōu)化幾何形狀如圖6所示,翼型優(yōu)化壓力分布如圖7所示。

表4 翼型氣動特性對比

圖5 翼型優(yōu)化收斂曲線 圖6 翼型優(yōu)化幾何形狀 圖7 翼型優(yōu)化壓力分

從表可以看出,步長系數(shù)為0.000 5的LSP-2算法可以收斂到比較接近全局最優(yōu)的位置,優(yōu)化后阻力系數(shù)降低了22.16%;而與之相比,PSO、CS以及步長系數(shù)為0.000 05的LSP-1算法優(yōu)化后升阻比則分別降低了20.85%、21.36%、21.13%。另外,圖5則顯示,相對于PSO算法以及CS算法,發(fā)展的LSP算法在較短的代數(shù)內(nèi)就能夠基本收斂,而且能夠?qū)?yōu)到比較好的解位置處;圖6顯示優(yōu)化后翼型的上表面頂點后移,最大厚度位置也稍微往后移動了一些;圖7表明翼型的前加載增強,同時上邊面的激波得以抹去。證明了發(fā)展的LSP算法在選取了合適的步長系數(shù)后,可以達到很好的優(yōu)化效果。

6 結 論

在本文的CS算法中,萊維飛行(Levy flights)搜索方式可以保證算法的收斂性,而且穩(wěn)定性較好。但是,CS算法收斂速度相對較慢,往往需要上千次的優(yōu)化代數(shù)才能得到較理想的優(yōu)化結果,限制了算法的應用范圍。SP算法可以有效繼承前代的優(yōu)勢信息,但是其搜索機制限制了收斂性,過大的收縮半徑會導致搜索效率的降低,而過小的搜索半徑則有可能導致陷入局部最優(yōu)。本節(jié)將CS算法中的核心技術萊維搜索加入到改進的寄生算法中,便發(fā)展得到了LSP算法。

通過函數(shù)測試以及氣動優(yōu)化算例可以發(fā)現(xiàn),發(fā)展的LSP算法通過將CS算法中的萊維搜索機制引入到寄生算法中,在保留成熟個體優(yōu)勢信息的同時,還能通過萊維搜索補充群體所需要的多樣性,取得了比CS、PSO、SP算法更好的優(yōu)化效果,達到了優(yōu)化的目的。

在優(yōu)化過程中,萊維搜索方式能較大程度上保證樣本的多樣性,不會輕易漏掉潛在的全局最優(yōu)解。在最優(yōu)化問題中可以考慮將萊維搜索與其他算法進行有機結合,從而有可能為算法提供更好的智能驅(qū)動力,提升算法的尋優(yōu)性能。

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Applying the Levy Simulated Parasitism Algorithm to Airfoil Aerodynamic Optimization

Xia Lu, Li Lang, Wang Liang

(School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

In order to balance the global and local search ability of intelligent optimization algorithm, the cuckoo search algorithm and simulated parasitic algorithm is discussed and analyzed. The mechanism of simulated parasitism model and cuckoo search is much alike, so the Levy flight search strategy of cuckoo search is introduced into the former model. So we get a optimization algorithm which is named Levy simulated parasitism algorithm. Function tests and aerodynamics problem prove that improved algorithm has better searching ability. Applying the Levy simulated parasitism algorithm to the airfoil aerodynamic optimization design, we achieve good results, which show that the proposed algorithm is effective and practical.

the Levy flight search; the simulated parasitic algorithm; airfoil aerodynamic optimization design

2016-04-02

國家自然科學基金(11172242)資助

夏露(1977—)，女，西北工業(yè)大學副教授，主要從事飛行器設計研究。

V211.4

A

1000-2758(2016)05-0767-07