內、外嚙合剛度激勵下人字齒行星齒輪傳動振動特性

林何, 王三民, 董金城

(西北工業大學 機電學院, 陜西 西安 710072)

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內、外嚙合剛度激勵下人字齒行星齒輪傳動振動特性

林何, 王三民, 董金城

(西北工業大學 機電學院, 陜西 西安 710072)

人字齒行星傳動中的內、外嚙合時變剛度是造成齒輪傳動振動的主要激勵源。根據輪齒嚙合接觸原理推導了人字齒行星齒輪嚙合傳動的時變剛度動態梯形圖，得到了內、外嚙合剛度的分布規律，二者不具有時間同步性。采用集中質量法建立了人字齒行星齒輪傳動的扭轉非線性動力學模型，在歐拉型積分和牛頓迭代法等數值方法基礎上對系統的非線性振動方程組進行了求解，結果顯示內嚙合在多個轉速區域出現顯著振動，最大振幅發生在轉速5 900 r/min處，外嚙合動載特性較為穩定，均載系數為K=1.38。借助相圖、Poincaré映射、FFT頻譜分析等手段對系統擬周期振動特性進行分析，表明振動吸引子在相空間中發生扭曲翻轉形成封閉超環面，頻域則由多個離散次諧波響應構成。

時變嚙合剛度；人字齒行星齒輪；歐拉型積分；擬周期振動

人字齒行星傳動在結構上將人字齒輪和行星齒輪二者的優點有效結合，具有結構緊湊、承載力強等諸多優點，因而在航空航天、船舶重工、兵器裝備等工業傳動領域得到諸多應用，作為一種內、外嚙合型傳動受到了學者們的廣泛關注[1-4]。Sondkar等建立了人字齒行星系統的動力學模型，并求解分析了其固有特性和均載穩定性[5-6]。趙永強等在彎扭耦合動力學模型基礎上，重點研究了人字齒行星傳動的自由振動模式[7]。齒輪工作中由于嚙合傳動的時變剛度、齒側間隙等非線性因素相互影響，對其動載特性、傳動噪聲及均載穩定性均有較大影響，大量研究[8-10]表明輪齒嚙合間的時變剛度通常是齒輪系統傳動中振動不均和動載波動的重要因素。人字齒行星傳動在結構上可視為2對斜齒行星齒輪的組合體，輪體兩側存在多處內、外嚙合副的接觸和脫離，加之齒輪副間多種非線性因素的激勵，使得運動狀況異常復雜，動力學分析時需考慮的自由度和嚙合因素較多，導致后期求解和研究困難[11]。為探索其運動中的振動特性有必要做進一步的研究。

本文根據嚙合理論詳細推導了齒輪傳動單齒嚙合時變嚙合剛度，在Poincaré映射思想和牛頓迭代法基礎上研究了系統的穩態特性和非線性振動特性。

1 動力學模型

建立圖1人字齒行星傳動系統純扭轉動力學模型，o-xyz為系統全局坐標系,坐標原點o位于太陽輪的幾何中心,z軸沿構件軸向垂直截面向外,x軸沿構件的徑向向外,y軸則根據右手定則確定,人字齒左右側嚙合副之間視為歐拉梁單元銜接,各行星輪具有相同的物理和幾何參數。

所建模型基于以下假設[12]:①系統中扭轉運動關于幾何中心o對稱,齒輪本體及行星架視為剛體且具有相同物理屬性;②內、外嚙合副間由彈簧和阻尼相連,不考慮齒面間滑動摩擦;③嚙合線位于嚙合平面內,阻尼力和嚙合力視為嚙合位移函數關系。假定外嚙合時沿太陽輪指向行星輪方向為正方向,內嚙合時沿行星輪指向內齒圈方向為正方向。不考慮內齒圈的扭轉振動,根據質點系動量矩定理,由集中質量法建立含間隙人字齒行星齒輪動力學方程如(1)式所示。

圖1 人字齒行星齒輪嚙合型扭轉動力學模型

(1)

(2)

(3)

齒輪運轉過程中參與嚙合的輪齒對數以及嚙合線長度隨著時間周期性變化,為準確分析時變嚙合剛度隨嚙合運動的關系,現根據嚙合傳動原理[11],求出任意瞬時輪齒嚙合接觸剛度。首先由齒輪設計手冊求得平均嚙合剛度km,再計算一個周期T內的平均接觸線長度lm,得到剛度-接觸線系數ξ=km/lm。根據嚙合原理,在嚙合接觸區域內,不同時刻嚙合齒總對數為N,接觸線總長l為時間t的函數,嚙合區域以勻速V=2πrb1n1從右向左平動,其中,rb1為主動輪基圓半徑,n1為主動輪轉速,則由總重合度ε知瞬時嚙合齒對數N為

(4)

而t時刻嚙合區總接觸線長度l(t)為

(5)

從而可求得齒輪時變嚙合剛度

(6)

式中,k(t)為周期性時變值。

圖2 輪齒嚙合運動示意圖

(7)

式中,εα為端面重合度,pbt為端面節距,B為從動輪齒寬。

對于β<β0，時變嚙合剛度公式k(t)為

(8)

嚙合傳動中的齒側間隙是引起非線性振動的主要激勵源,為等效實際嚙合情況,令齒側間隙為2bi,取bi=10 μm,內、外嚙合的間隙非線性函數如下

i=1,2,3,…,12 (9)

(10)

(11)

式中,i=1,2,3。

由于行星輪、太陽輪和內齒圈在扭轉方向存在剛體位移,導致剛度矩陣產生奇異方程組(1)無法求解,引入轉動剛體間的相對位移x1、xpi分別為

(12)

將(12)式分別帶入(1)式、(10)式和(11)式中消除剛體位移,構建含新自由度的方程組,鑒于人字齒行星齒輪尺寸和結構的對稱性,對消除系統剛體位移后的新方程組進行簡化處理,所用變量如下

為避免方程中系數差值過大而產生病態問題,對上述方程組進行量綱一化處理,引入位移標稱尺度bc=100×10-6m,令無量綱時間τ=ωnt

(13)

可推導出如下量綱一化變量式[12-13]

將上述變量代入消除剛體位移后的方程組,進行量綱一化處理。對于含16自由度的間隙型非線性微分方程組,整理后的系統動力學方程可統一表述為如下二階微分方程式的形式

(14)

式中

因系統整體動力學方程較為復雜,僅將量綱一化后方程中的內、外嚙合位移Xsij、Xrij的阻尼矩陣Csij、Crij和剛度矩陣Ksij、Krij列出,如下所示

式中,i=1,2,3;j=1,2。Msj為太陽輪與行星輪間的等效質量,MPij為內齒圈與行星輪間的等效質量。

2 非線性方程組求解

(15)

則系統方程變為如下非線性方程的解曲線問題

(16)

當給定初始ω0,根據常微分方程柯西問題知(18)式可轉化為

(17)

由牛頓迭代法可得修正后的ui+1為

(18)

(19)

3 振動特性分析

表1為人字齒行星齒輪系統主要參數,其中齒輪模數為4,行星輪數目為3,兩側螺旋角β為16°,法面壓力角α為20°,輸入轉矩Tin=1 425 N·m,嚙合阻尼比系數μ=0.05,扭轉阻尼比系數為ζ=0.01。

表1 人字齒行星齒輪系統主要動力學參數

圖3 人字齒行星傳動內、外嚙合時變剛度

圖3所示為人字齒行星傳動內、外嚙合剛度時變圖,由圖中所示總嚙合剛度K由單齒嚙合剛度K1和K2疊加而成。

可以看出內、外嚙合在傳動過程中最多由2對輪齒相接觸,且每時刻均處于嚙合狀態,未出現脫齒現象。內嚙合傳動剛度為0.28GN/m大于外嚙合時的0.25GN/m,二者均為周期性梯形波,且剛度變化不具有同步性,這是由于內、外嚙合之間傳動比不同以及嚙合相位的差異,使得二者具有不同的相對速度和周期。由圖4單齒嚙合周期可以看出在轉速增加過程中,輪齒嚙合周期不斷降低,在轉速1 000r/min附近周期變化較為劇烈,當轉速大于2 500r/min后,基本保持0.002s的單齒嚙合周期。

圖4 單齒嚙合周期

圖5a)和圖5b)中分別考慮了人字行星齒輪傳動時內、外嚙合的動載特性和均載特性,外嚙合在低速運轉過程中較為穩定動載系數Kv為1.45,當系統轉速達到7 500r/min時,此時振動較為劇烈動載系數為2.505,內嚙合傳動在工作過程中出現了3次較為明顯的振動峰,整個振動過程不斷產生波動,其最大峰值發生在5 900r/min處,對應動載系數為Kv=5.025。在圖5b)中由均載特性可以看出,外嚙合的均載特性較好,在整個轉速區間基本保持在K=1.348,內嚙合在5 900r/min處均載系數出現躍遷,達到最大值K=2.513,通過二者的動載特性分析表明太陽輪、行星輪的嚙合傳動在穩態特性上較行星輪、內齒圈嚙合的穩定性更好。圖5c)和圖5d)分別從振動位移和速度方面對內、外嚙合進行了分析,外嚙合的振動位移較為平緩,內嚙合在傳動中位移出現跳躍式增加,最大無量綱值達到5.564,當轉速大于7 500r/min時,二者的相對位移不同程度的出現降低,但在整個傳動過程中并未出現齒背沖擊的現象。由圖5d)可見隨著轉速的增加,二者的振動均逐漸增強,行星輪與內齒圈間嚙合較太陽輪嚙合更快地出現振動峰值,當二者的轉速分別達到5 900r/min和7 500r/min以后,振動速度開始逐漸下降。工況設計中,應注意內、外嚙合不同的振動峰值區間,從而避開劇烈的轉速區。

當太陽輪轉速為12 000r/min時,嚙合傳動表現出擬周期振動,如圖6所示。在位移響應中,振動無量綱幅值為1.86且在一定范圍內表現為諧波振動。其中相圖中的軌跡在運動中不斷扭曲纏繞但并不重合,吸引子最終充滿整個超環面形成分形結構,運動過程中未出現齒背沖擊。Poincaré截面為封閉扭曲狀,表明系統在振動過程中周期成分較多,從而在一定范圍內形成封閉環。由嚙合位移FFT分析知,振動中含有多種頻率成分,離散分布且相互獨立,頻域分析與相圖和Poincaré映射相吻合,系統的擬周期振動并不同于混沌和周期運動。

圖6 擬周期振動

4 結 論

1) 根據齒輪嚙合原理,推導了輪齒嚙合時變剛度公式,計算了人字齒行星齒輪的內、外嚙合剛度,其時間歷程均為周期性梯形波,二者不具有同步性。

2) 人字齒行星傳動中,內嚙合在多個轉速區發生顯著振動,動載系數Kv最大值為5.025,對應轉速為5 900r/min,外嚙合在整個速度區間較為穩定,最大動載系數為2.505。當轉速大于7 500r/min時,二者的嚙合位移均出現下降,但并未出現脫齒和齒背沖擊現象,人字齒行星齒輪的外嚙合較內嚙合具有更好的振動穩定性。

3) 逆周期響應時,嚙合傳動的相軌跡扭曲嚴重在狀態空間中形成封閉超環面,吸引子不斷層疊充滿整個相空間,Poincaré映射形成封閉的環狀,FFT頻譜由一系列離散譜構成。

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Vibration Characteristics of Herringbone Planetary Gear Train with Internal and External Meshing Stiffness Excitation

Lin He, Wang Sanmin, Dong Jincheng

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Internal and external time-varying meshing stiffnesses are the primary excitations which result in unstability in herringbone planetary gear train. Based upon meshing principle, the dynamical trapezoidal wave of meshing stiffness is performed with respect to variation movement of tooth contact areas, the behaviors of the meshing stiffness are exhibited, where both of them are independent and asynchronous along the times. The torsional nonlinear dynamical model including backlash are built by utilizing lumped-mass method, The governing equations are investigated by means of Euler integral as well as Newton iteration algorithm, the analytical solutions demonstrate that internal mesh indicates significant perturbations at some rotational speeds, the maximum vibration displacement takes place at 5 900 r/min, the external mesh movement is more stable with the mean dynamical coefficient atK=1.38. In conjunction with the phase portrait, Poincaré maps and FFT spectral analysis, the quasi-periodic vibration is studied with the conclusion that the attractors in state space warps and flips forming a close hypertorus toroidal surface, the frequency spectrum consists of quantities of independent sub harmonic frequencies.

time-varying meshing stiffness; herringbone planetary gear train; Euler integral; quasi-periodic vibration

2016-04-05

高新技術研究計劃(2009AA04Z404)資助

林何(1985—), 西北工業大學博士研究生，主要從事齒輪非線性全局動力學研究。

TH113.1

A

1000-2758(2016)05-0893-07