從思想視角入手課堂教學設計

☉江蘇省南通市通州區金沙曹衛民

從思想視角入手課堂教學設計

☉江蘇省南通市通州區金沙曹衛民

課堂教師設計考驗的是教師的綜合能力，這不僅是對基本知識傳授順序性、合理性等的思考，還需要考慮在傳承知識的同時，在思想方法等角度是否給予學生有足夠的啟發.筆者近期從一堂公開課設計的思想視角談一談，如何在尊崇學生學情基礎上，結合知識與思想進行的教學設計，請讀者批評指正.

一、設計準備

1.最近知識發展區

在這節課時之前，學生已經學習了一元二次不等式的簡單解法以及運用二次不等式與二次函數、二次方程的關系解決實際運用問題.對于三個“二次”之間的轉化和數形結合已經有了一定的體會，這將有助于學生在本節課學習中利用分類討論、數形結合、化歸等數學思想綜合處理問題.

2.學生能力儲備

學生在初中學習中對一元一次不等式組、二次函數的圖像以及二次方程已經有了深刻的學習，但對于一元二次不等式與圖像及方程綜合結合解題的方法和思想不是很熟練.前兩節課已經學會利用圖像解二次不等式以及簡單含參問題的分類討論有所了解.但是對于含有多個變量的不等問題的處理的能力還是不足，不會對其題意進行轉化、不會利用數形結合思想綜合分析.

二、策略分析

通過以上對本節教學內容的重難點、學生學情的分析，以及所要達成的學習目標，特對本節課的教學作如下安排：

（1）以簡單含參二次不等式的具體實例進行引入，加深學生利用函數圖像解二次不等式的解法理解，同時引導學生對參數的分類討論、利用數形結合思想解題；

（2）根據學生的認知規律，通過對變式及思考，將解不等式問題層層深入、梯級拓展，進而對二次不等式的恒成立問題的化歸思想的應用、利用數形結合解題、變參分離的處理方式、主次變量的正確選取等方法有一定的了解.

三、過程設計

1.舊題新做，引入主題

解關于x的不等式x2+（a-4）x+4-2a<0.

師：該二次不等式是含有參數a的不等式，可因式分解為（x-2）［x-（2-a）］＜0，根據二次不等式的解法，兩根x1=2，x2=2-a的大小未定，討論根的大小，進而解不等式.

解析：當2＞2-a，即a＞0時，2-a＜x＜2；當a=0時，x≠2；當2<2-a，即a<0時，2

設計思路：設計問題主要是刺激學生回憶自己已有的知識和技能，回憶起含參二次不等式的解法，有意識地使學生和函數圖像緊密結合解題的習慣，另外是對不等式中參數a的重要作用重視.

2.拓展探究，層層上升

預設：如何將本題題意進行等價轉化可能是學生思維上的不足，如何引導學生做正確的等價轉化，這里需做好合理的引導.

師：根據題目文字敘述你可等價轉化為什么數學條件？并能總結出哪些數學關系式？（學生單獨回答）

師：該題函數的簡單綜合，以冪函數為模型實質為二次函數特征.利用冪函數的定義域被開方數大于等于0，轉化為x2+（a-4）x+4-2a≥0.

解析：由題意等價為x2+（a-4）x+4-2a≥0在R上恒成立，則Δ=（a-4）2-4（4-2a）≤0，解得a=0.

設計思路：該題以基本初等函數的基本性質和二次函數的圖像特征為知識基礎，培養學生解決函數綜合問題的能力，會利用化歸思想解題.

變式2二次函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，若不等式f（x）＜0的解集為A，又B=｛x|1＜x＜3｝，若A?B，求實數a的取值范圍.

預設：在這題的學生可能會先從解出集合A入手，進而再利用集合的包含關系求a，學生很容易遺忘空集是任意集合的子集，教師應提醒學生注意思維的縝密性，并在此基礎上引導學生利用二次函數圖像數形結合直接解題.

師：根據題意你們會直接解出利用A，再利用A包含于集合B解題.

這里解不等式的過程可以省略，參照例1.

師：函數為二次函數，根據前面內容我們可作出二次函數圖像，我們如果利用函數圖像該怎么解本題？

生：作圖思考.

師：根據我們已作出的此二次函數圖像，且函數f（x）=（x-2）（x-2+a）=0的兩根x1=2，x2=2-a，只需方程的根在區間（1，3）內即可，轉化為二次方程根的分布.但注意空集這種特殊情況.

解析：二次函數開口向上，利用二次函數函數的圖像特征，只需方程f（x）=0的根均在區間（1，3）內，則①A= ?，則a=0；②A≠?，則2∈（1，3），所以2-a∈［1，3］，則a∈［-1，0）∪（0，1］.綜上所得a∈［-1，1］.

設計思路：設計本題的目的是讓學生不僅可以在常規情況下解決含參不等式，更主要是誘導學生正確利用函數圖像、數形結合思想在解題中的運用.重點是引導學生，讓學生體會數形結合解題的美妙與直觀，進而養成數形結合的習慣.

變式3方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實根，求a的取值范圍.

預設：學生對一元二次方程根的分布有一定的了解，但對于與其他函數結合，利用換元思想可能還不是很熟練，特別是對數函數是學生的薄弱之處，如何啟發學生將對數換元進而轉變成他們熟悉的二次方程，另外學生換元之后新元素的范圍不一定會考慮到.

師：關于x的方程可用換元的思想將log4x=t，則方程就等價為t2+at+4-2a=0在t∈［2，+∞）有不同兩解，轉化為二次方程根的分布的基本題型.

解析：設log4x=t，因為x≥16?t≥2，所以等價于方程t2+at+4-2a=0有兩個大于等于2的不等實根，則需滿足

設計思路：該題是二次不等式與其他知識的融匯整合，如何將學生不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，使他們遇到問題做好等價轉化，利用換元等方法將題型基本化，使問題簡單化.

課后思考：將條件改為log4x改為2x，將區間改變又如何呢？

變式4對于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）· sinα+2a-5<0恒成立，求a的取值范圍.

預設：學生看到這個題干可能被其復雜形式所嚇倒，但在變式3的基礎之上，可以提示學生該題是不是也可將題意轉化為簡單形式.有些學生可能對于題目中多個變量無所適從，明確題目中自變量與參數的正確選擇也是解題的關鍵.另外這題的解題方法也相對比較靈活，也是本節課的重點難點所在，所以可以進行小組活動，進而激發每個人的參與度.

師：將學生進行分組活動，根據學生能力可將學生四人作為一個小組，一起解決這個問題，可以讓學生讓學生帶著問題進行小組活動.問題1：利用換元法解該題選擇sinα還是cosα更好？問題2：若換元后轉化為什么樣的問題？并能如何解決.問題3：化歸解決此類問題的思路是什么？

可給學生5分鐘左右時間，在此過程中教師可參與每個組，發現每個組的思維漏洞或者方法.

學生成果展示，教師進行點評歸納.

師：根據上題思想可先換元，將cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價于對于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.那接下去應該如何解決該恒成立問題？

師：含參恒成立問題是高中數學的一個難點，也是本節課的重難點.該題為恒成立問題，是關于x的二次不等式，求參數a的范圍.一般可以轉化為二次函數并利用二次函數的性質進而轉化為求函數最值或者變參分離為a＞f（x）max或a＜f（x）min解題.

分析：先換元，令cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價于對于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+ 4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.

解法一（利用函數性質，轉化為最值求解）：可令函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，題意等價于f（x）min＞0，x∈［-1，1］.

綜上所得a＜1.

解法二（利用二次函數圖像特點及二次方程根的分布）：函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）（x+a-2）的兩根為2和2-a，因為二次函數圖像開口向上，所以只需f（x）＜0的解集為［-1，1］交集為空即可，則x2=2-a＞1，即a＜1.

解法三（參變分離）：x2+（a-4）x+4-2a＞0?a（2-x）＜x2-4x+4，因為x∈［-1，1］，則2-x＞0，則易得2-x的最小值為1，所以a＜1.

課后思考：將變式4中一次項改為5-2a，或者將x范圍變成（1，3），求a的取值范圍.

師：（方法小結）解決恒成立問題的方法一般有兩種：第一構造函數，轉化為函數最大值大于零或最小值小于零，利用函數性質，轉化為最值問題解題；第二變參分離，弄清主次變量轉化為a＞f（x）max或a＜f（x）min再利用函數最值解題.但兩種方法殊途同歸，最后就是求函數的最值.

設計思路：本題是本節課的重難點，含參的二次不等式恒成立問題，也是常見的不等式恒成立問題.通過本題的學習讓學生了解解決恒成立問題的常規方法和思維方式.

四、一點思考

本節課的基本設計是對同一題面的多種變式，達到對不等式恒成立問題的常用方法的介紹、換元化歸思想的運用、數形結合解題的體會的教學目的.根據學生的認知規律，變式探究，層層遞進，螺旋上升，體現了新課程理念.對于重難點的處理，主要是采用了先由學生進行自主、合作學習，再通過展示、交流、深入、歸納出知識的學習過程，調動了學生的積極性，激發每個學生的思維潛能，感受知識的獲得過程，這比教師單純的教授方法要更有印象更有啟發，也更能培養學生發現問題、研究問題的能力與習慣.在教學過程中，精心做好每一個變式，有變化有梯度，內容豐富，同時也十分關注課堂生成，在數學學習的過程中，特別注重對數學思想方法的應用，對數學本質的理解.

1.吳志雄.培養高中生數學應用意識的策略與思考［J］.中學數學研究，2013（11）.

2.劉見樂.用思想方法指導高中數學教學［J］.中國數學教育，2014（5）.

3.周強.高中數學教學設計中思想滲透分析及對策研究［J］.數學教學通訊，2014（9）.