以生為本關注細節激活思維——《指數函數及其性質》教學設計

☉江蘇省南菁高級中學江榮芬

以生為本關注細節激活思維——《指數函數及其性質》教學設計

☉江蘇省南菁高級中學江榮芬

一、教材分析

《指數函數及其性質》選自于蘇教版高中數學必修1.本節是學生在初步掌握了函數的基本性質和簡單的指數運算的基礎上，進一步學習指數函數，以及指數函數的圖像與性質的一節內容.通過本節內容的學習，可以對指數和函數的概念等知識進一步鞏固和深化；同時，因為指數函數是高中新引進的第一個基本初等函數，所以學好本節內容不僅可以使學生初步體會到指數函數與函數這種特殊與一般的邏輯關系，還可以為后面的對數函數、三角函數等其他初等函數的學習提供研究的思路和學習的方法；另外，指數函數具有廣泛而又深刻的實際背景，因此，指數函數對解決呈幾何級數增長的實際問題起著重要的作用.筆者在教學中，通過引導學生對兩類指數函數圖像的繪制，讓學生初步體會到“不完全歸納法”這種探索和發現事物規律的數學方法；通過指數函數性質的探究培養學生的觀察能力；通過問題的解決進一步培養學生運用數形結合的思想解題的能力.另外，教學中讓學生通過經歷幾種特殊指數函數圖像的繪制，使他們感受到特殊與一般的關系，從而培養他們探究的興趣和科學的探究方法；讓學生通過體驗指數函數性質的探究過程，使他們感悟到數形結合的魅力，從而感受到成功的快樂和挫折中的堅強，激發他們的創新意識，培養探究精神.

本節課筆者遵循“教師的主導地位和學生的主體地位相統一”的原則，采用引導發現式的教學方法并充分利用多媒體輔助教學.為了發揮學生的主觀能動性，提高學生的思維能力，確定了自主探究性學習法.根據作圖的常規方法畫出特殊指數函數的圖像，類比一般指數函數圖像；通過觀察、分析、探索，合作交流并歸納出指數函數的性質.

二、教學流程

從指數函數的實際背景引入課題——構建指數函數的概念——畫指數函數的圖像——探索指數函數的性質——課堂小結與作業.

（一）創設情境，設疑激趣

問題1：你知道百萬富翁破產的原因嗎？

介紹百萬富翁破產的原因是他碰上了“指數爆炸”.一種事物如果成倍成倍地增大（如2×2×2…），它就是以指數形式增大，可以用y=2x，x∈N*來表示.

問題2：《莊子·天下篇》中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”請寫出取x次后，木棰的剩留量y與x的函數關系式.

設計意圖：通過故事和名句的引入，讓學生感受到我們生活中存在這樣的指數函數模型，便于學生接受指數函數的形式，讓學生在問題的情景中發現問題，遇到挑戰，激發斗志，又引導學生在簡單的具體問題中抽象出共性，從而引入兩種常見的指數函數：①a>1，②0

（二）構建函數，形成概念

師：1.給出指數函數的定義：一般地，函數y=ax（a>0，a≠1）叫做指數函數，它的定義域是R.

2.提出問題：為什么要規定a>0，a≠1？

先讓學生分析，互相補充，師生共同總結：根據指數運算法則，a為負數或0時，ax可能會沒有意義，例如，當a< 0時，取a=-2，則時無意義；當a=0時，則x=無意義；當a=1時，函數值恒等于1，這時，研究的意義不大.

3.判斷下列函數是否是指數函數：

（1）y=3x；（2）y=-2x；（3）y=（-2）x；（4）y=πx；（5）y=2x+2；（6）y=（a-1）x.

設計意圖：概念辨析是理解和掌握概念的重要一環，對教材進行補充是創造性使用教材的一種方式.及時補充了判斷練習，讓學生通過對這些函數的判斷，進一步深化學生對指數函數概念的理解，指數函數的概念與一次、二次函數的概念一樣都是形式定義，也就是說必須在形式上一模一樣，即在指數函數的表達式y=ax（a> 0，a≠1）中：（1）ax前面的系數為1，（2）自變量x在指數位置，（3）a>0且a≠1.對“a>0，a≠1”這個數學規定的處理，教師通過和學生一起分析，得出為了使自變量可以取全體實數，我們規定：指數函數中底數大于0且不等于1.盡管這樣解釋可能不是很嚴格，但學生至少知道了這樣規定是有其道理的.如果理解了指數函數，作為其反函數的對數函數中規定底數大于0且不等于1就不難理解了.在數學中，有許多的“數學規定”，有些數學規定是為了運算律在新的數系中仍然能夠保持；一些規定是為了研究的方便、有意義；還有一些規定是為了整個數學系統的和諧.所以在教學時可以讓學生思考比較，如果不這樣規定，會出現什么情形，進而在比較的基礎上體會規定的合理性和必要性，這樣學生就會更容易理解并從內心接受這樣的規定，從而解除認識上的困惑和障礙.

（三）類比舊知，探究方法

師：你能類比前面討論函數性質時的思路，提出研究指數函數性質的內容和方法嗎？

注重學生思維習慣的養成，即應從哪些方面，哪些角度去探索一個具體函數.

引導學生獨立思考，提出研究函數性質的基本思路.

生：（經過思考得到研究內容）定義域、值域、單調性、奇偶性、其他.

研究方法：畫出函數圖像，結合圖像研究函數性質.函數圖像是研究函數性質的直觀工具.

設計意圖：注重學生思維習慣的養成，即應從哪些方面，哪些角度去探索一個具體函數.

①引導學生獨立思考，提出研究函數性質的基本思路；

②突出數形結合，強調函數圖像在研究函數性質中的作用.

（四）合作交流，動手畫圖

追問：從作出的圖像中你能發現函數y=2x的圖像與函數的圖像有什么關系？可否利用y=2x的圖像畫出的圖像？

設計意圖：從抽象到具體，作特殊函數的圖像，復習描點法畫圖，體驗合作交流.

1.會用描點法畫函數圖像，提高學生動手能力.

2.可展示部分學生的圖像，使學生體驗動手的樂趣.

3.結合兩個指數函數圖像關于y軸對稱時其解析式的特點，并利用軸對稱畫圖像.

（五）類比一般，科學結論

教師運用幾何畫板動態演示出指數函數圖像，并觀察底數對圖像特征的影響.

設計意圖：再從具體到抽象引導學生通過選取不同的底數a（a>0且a≠1）畫出y=ax的圖像，并通過幾何畫板的動態演示給予學生更加直觀的體驗，從而得出科學結論.在此環節中，學生對具體的函數進行觀察歸納，通過合作交流，加之多媒體的動態演示，將具體化為抽象，并感受了對底數的分類討論的思維方式，從而達到了重點的突破.

（六）觀察圖像，歸納性質

由y=ax（a>1）與y=ax（0

設計意圖：引導學生觀察圖像，概括性質，利用圖像獲取性質，利用圖像便于發現，概括，記憶.

（七）掌握性質，學以致用

例1比較下列各題中兩個值的大小：

（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.50.3，0.81.2.

問題1：第（3）小題和（1）、（2）兩小題有什么不同？

引導學生觀察發現，底數不同，而且指數也不同.

問題2：能不能借助指數函數的單調性比較大小？

結論：不能，因為底數不同，不能構造同一個指數函數.

問題3：能否借助指數函數的其他性質比較大小？

引導學生重新審視性質后發現：指數函數的圖像過定點（0，1），即a0=1=1.50=0.80，再根據指數函數的單調性，1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，進而比較大小.

問題4：能否總結第（3）小題的方法？

結論：尋找“中間量”，通過中間量過渡，如“0”、“1”等.

問題5：追根求源，性質由圖像得來，能否通過作圖比較大小呢？

引導學生得出：1.50.3可以看成當x=0.3時y=1.5x的函數值，0.81.2可以看成當x=1.2時y=0.8x的函數值，在同一坐標系中作出函數y=1.5x和y=0.8x的圖像，借助圖像，發現一個在直線y=1的上方，一個在直線y=1的下方，故1.50.3> 0.81.2.實質是構造兩個函數比較大小.

練習：1.比較下列各題中兩個數的大小：

（1）1.012.7，1.013.5；（2）0.993.3，0.994.5.

2.已知下列不等式，比較下列m，n的大小：

（1）aman（a>1）.

設計意圖：幾個問題的設計環環相扣，問題3的設計引導學生回頭看，除了單調性還有哪些性質，激發學生思考，在教師的啟發下，利用指數函數的圖像過定點（0，1）這個性質解決了問題，進一步促進學生理解掌握性質，并能靈活應用.通過問題4及時總結方法，到此本應結束，可又通過問題5調動學生的積極性，帶領學生乘勝追擊，擴大戰果，找到問題的本質和根源.通過這一系列問題的探究，學生的思維被最大程度的地激活，學生對性質的理解深入透徹，極大地提高了學生靈活運用圖像和性質的能力.練習的目的的是鞏固新知，深化對函數單調性的理解.

（八）歸納小結，深化目標

引導學生一起總結：1.兩個知識點：指數函數的定義，指數函數圖像和性質；

2.兩個基本圖像；

3.三個數學思想和兩個數學方法.

設計意圖：引導學生歸納反思研究函數的內容，方法，授人以漁，深化數學思想.思想：函數思想，分類討論的思想，數形結合的思想.方法：特殊到一般，不完全歸納.

這堂課的設計，筆者本著以學生為本的教育理念，避免填鴨式教學，試圖把課堂交給學生，讓學生真正地做課堂的主人.并且我多次設想我站在學生的角度，如何能夠更好地學到本堂課的知識并且使學生的能力真正有所提高，從而反復優化.本節課的設計在實際教學中取得了很好的效果.我不禁想，要是每一節課，老師們都站在學生的角度，精心地設計，那我們的課堂一定會更加精彩紛呈.

三、幾點思考

（一）以生為本

“以學生為本”是新課程的一個重要理念.學生是學習的主人，是課堂上主動求知和探索的主體.要提高教學的有效性，就必須從學生的實際出發，從關注學生做起，根據學生的實際情況設計教學方案，組織教學活動.本課例情境引入環節中放棄了課本給出的與學生的認知仍存在一定距離的兩個例子：細胞分裂和放射性物質衰變，而是選擇了符合學生“最近發展區”的問題情境；在研究指數函數圖像和性質環節，讓學生動手畫，讓學生討論，讓學生發現，讓學生找規律，讓學生總結，老師不包辦代替.

（二）關注細節

“天下大事必做于細，天下難事必做于易”.教學細節是發生在課堂教學過程中的充滿思辯與靈性的課堂場景.細節雖小，但在促進學生發展中的意義與價值卻不可小覷.關注教學細節，其實質是精致教學流程，突出教學重點，提高教學效益，綻放個性和魅力.細節決定成敗，精彩的教學細節不僅可以使教學過程充滿智慧和創造，甚至會給我們帶來意外的驚喜和收獲.教師在教學活動中，應該時刻關注細節問題.本課例中，在概念理解環節中，教師沒有“回避”規定“a>0且a≠1”這個細節，幫助學生消除認識上的困惑和障礙；在研究指數函數圖像和性質環節，先讓學生自主作圖，再利用幾何畫板演示，要比純粹用幾何畫板演示效果好，因為可以讓學生復習作圖的步驟：列表，描點，連線.

（三）激活思維

數學離不開思維，缺乏思維的學習活動，實際上是無效或低效的教學.因此，在概念教學中，教師應在認真研讀教材的基礎上，挖掘概念的本質，關注思維的參與度，使概念教學能真正達到發展學生思維之目的.問題是思維的起點，課堂上精心設置一系列問題，這些問題決定著教學的方向和順序，問題之間自然連接，引發學生積極思考.本課例的數學應用環節中，教師設置了五個問題，教師啟發鋪墊，學生思維活動深層參與，突破了難點，提高了教學活動的有效性.