三角函數背景下導數命題賞析

☉江蘇省南通第一中學葛小萍

三角函數背景下導數命題賞析

☉江蘇省南通第一中學葛小萍

以三角函數為背景綜合考查導數的應用是近年高考命題的一個新的亮點，問題的求解中除了導數的基本運算外，還要充分結合三角函數的基本性質和運算.下面引例說明.

解析：有關比較大小問題，通常轉化為判斷函數的單調性來處理，而導數又是判斷函數單調性的有利工具.因為條件中所要判斷的三個函數值均在內，結合函數的奇偶性（易判斷函數f（x）為偶函數），因此進一步判斷函數f（x）=xsinx在）內的單調性即可.求導得f′（x）=sinx+xcosx，當x∈f′（x）>0，所以f（x）為增函數.由函數f（x）為偶函數知f（-1）=f（1）

答案A.

評析：對于x與sinx的組合函數，除了本例所述形式外，還有的形式（見后面變式），處理相關問題時要注意x與sinx的關系，如當x>0時，有sinxx等.

（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；

（2）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數.

解析：（1）函數f（x）是偶函數，證明如下：

因為f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），

所以f（x）是偶函數.

（2）當a>0時，因為f（x）=acosx+xsinx>0恒成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0.

所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1.

當a<0時，因為f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+

由f（x）是偶函數可知，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

綜上所述，當a>0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0；當a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1；當a<0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

評析：本題函數奇偶性與單調性的判斷與引例如出一轍.對于零點個數問題的常規處理策略是將其轉化為函數圖像與x軸交點個數問題，再利用導數來判斷函數的單調性、求極值最值來處理.此處若一開始就直接對函數進行求導，那么對于當a>0時，f′（x）=（1-a）sinx+xcosx的x∈內的正負符號不易判斷，導致解題無法進行.因此在處理相關問題時切忌直接求導，應先根據參數的不同取值范圍，直接來判斷原函數的零點情況，即當a=0與a>0時，根據零點問題相關知識可直接判斷，當a<0時，無法直接判斷時，再利用導數進一步求解.

（1）求證：f（x）≤0；

g′（x）=cosx-c.

當c≤0時，g（x）=sinx-cx>0恒成立.

當c≥1時，g′（x）=cosx-c<0，此時g（x）=sinx-cx在）上是減函數，

g（x）

當0

當x∈（0，x0）時，g′（x）>0；

所以g（x）=sinx-cx在區間（0，x0）上單調遞增，在區間上單調遞減.

當c≥1時，g（x）<0.

評析：第（1）問證明f（x）≤0，即函數的最大值小于等于0，利用導數即可簡捷求解.第（2）問與引例相比，將的形式體現出來.若令，則g′（x）=，其中分子就是第（1）問中的f（x），由（1）知g′（x）<0對x∈）恒成立，則g（x）在）上是單調遞減函數，所以，a的最大值是但是在利用同種方法處理時，陷入困境.注意到在恒成立，等價于，因此只需研究函數y= sinx-bx和y=sinx-ax，的最值情況.由于這兩個函數在形式上一致，故可構造一個新函數g（x）=sinxcx，c為常數，再利用導數法研究新函數的最值即可.

變式3已知函數f（x）=sinx-xcosx.

（1）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程；

解析：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx.

（1）因為f′（π）=0，f（π）=π，所以切線方程為y=π.

則g′（x）=xsinx-x2=x（sinx-x）.

評析：本題在第（2）問求解中，利用了二次求導法，即當導函數正負不易判斷時，可將導函數或其中的一部分視為新的函數，再次求導來判斷.對于第（3）問分離出參數k后，不難發現它就是變式2第（2）問的部分.因此可借助變式2點評中所述的方法求解.另外如果是客觀題，我們也可以借助函數的幾何意義，即將f（x）=視為y=sinx圖象上的點（x，sinx）與坐標原點連線的斜率，結合函數圖像易知當點（x，sinx）與坐標原點重合時，即在點（0，0）處直線變為切線，此時斜率最大且最大值為1；當點（x，sinx）為）直線的斜率最小且最小值為，從而使問題簡捷獲解.