促進理性思維培養學習習慣——對學生應試反思教學的實踐

☉浙江省上虞中學　胡軍波

促進理性思維培養學習習慣——對學生應試反思教學的實踐

☉浙江省上虞中學胡軍波

眾所周知，數學學習是否扎實最終需要通過應試來反映，當下數學教學對于應試后學生出現問題的分析往往僅停留在解法之上.我們不乏見到這樣的試卷講評課，教師將試卷中典型錯誤問題一道一道按此進行分析、點評，并對很多問題給出了較為優秀的解決方法，然后請學生再訂正試卷.筆者以為，采用這樣陳舊方式進行的“教師講、學生練”，能在短時期內加深學生對于方法的記憶，但是對于學生自身而言為何犯錯？如何提高思維的活躍性？如何培養學習習慣卻沒有好處.

從應試角度如何提高學生的理性思維？如何培養學生的學習習慣？筆者認為需要從我們的應試反思教學出發，教師首先要改變應試后分析問題、解決問題的習慣，要從只講解題方法這種單一的方式轉變為既分析學生錯因、又講解合理的解決方法，還要從更高的層面上去認知為什么要這樣去解決問題，進而提高對于問題的思維方式，從而培養學習習慣.

恩格斯說過：學習要學會反思，要學會分析自己的不足，從不足中得到的進步遠大于書本得到的新知.這句話充分闡釋了反思對于學習的重要性.筆者以為：應試后，學生應該首先分析自己的得與失，相比以往進步在何處？不足又暴露了哪些？結合暴露的問題，繼續思考進一步要去解決的問題.

一、分析取得的進步

從應試中，筆者發現學生對于課堂板演的問題記憶相對深刻，類似演練過的問題相對熟練，可見對于類似問題的解決取得了一定的效果，這是當下數學教學需要完成的首要步驟——模仿.筆者咨詢應試后學生的反饋，50%的學生認為自己在模仿環節處理得非常不錯，35%的學生認為還可以，只有15%左右的學生認為這里需要加強.筆者對于應試后學生的試卷問題采用了對比式的問題分析，進而提示課堂教學效率的重要性.

問題1設二次函數f（x）=ax2+bx+c，集合A=｛x|f（x）= x｝，且f（x）在區間［-2，2］上的最大值與最小值分別為M，m.若A=｛1｝，且a≥1，記g（a）=M-m，則g（a）的最小值_____________.

分析：本題求最值的前提條件是找出二次函數的三個系數間的關系.深入挖掘函數零點的實質：“方程f（x）= 0有實根?函數y=f（x）的圖像與x軸有交點?函數y=f（x）有零點”.故二次函數f（x）-x=a（x-1）2，利用兩個函數相等對應系數相等即可得到a，b，c的關系，進而討論函數f（x）的最值.這樣的問題通過前期課堂教學類似思想的滲透，學生在問題的處理上明顯比前一階段熟練.

課堂類題：已知函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零點為x1，x2（x1＜x2），函數f（x）的最小值為y0，且y0∈［x1，x2），則函數y=f（f（x））的零點個數是____________.

分析：函數y=f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），則可利用二次函數f（x）的零點式將其轉化為f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a＞0），要求y=f（f（x））=a（f（x）-x1）（f（x）-x2）的零點個數，實際就是求a（f（x）-x1）（f（x）-x2）=0（a＞0）的根的個數，因此f（x）=x1或f（x）=x2，結合條件y0∈［x1，x2），利用數形結合我們就能迎刃而解了.

二、分析思考的重要性

很多數學稍難問題在應試中讓學生驚慌不已，使得學生明明可以解決的問題也會因為慌亂而不知所措.筆者在應試反思教學中引導學生回顧如何在應試中加強思考的重要性.

問題2過軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，其中P，Q為切點，設切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線PQ是否經過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

分析：解析幾何的學習對于學生而言有三個不足，要在解析幾何中取得高分，主要有以下幾個方面的思考：其一是思維入手角度的思考，筆者以為解析幾何大多數問題從各種角度入手是半斤八兩的，而且運算程度也差別不大，但是設而不求是入手角度必需依仗的；其二是運算能力，運算能力是除了思考之外的必備基本技能，有些方法的思維途徑容易，但是運算要求相對較高；其三是對于問題多解性的反思，對于學生應試中出現的不足，既要分析問題失誤的原因，也要分析如何思考優秀的解法，給以學生啟發和引導.

思考1：（1）設過A（a，0）與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為y=k（x-a），由得x2-kx+（ka+1）=0，故Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4.

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是x1x+1，切線AQ的方程是，又由于A點在AP， AQ上，則，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

說明：設直線方程解決解析幾何問題是常用的解決方式，從學生應試反饋來看，學生對于判別式為零表示相切的認知較為清晰，但是對于如何利用“算兩次”想法去抽離出k1·k2，即韋達定理的體現還是顯得不理解，這也正是方程思想的缺失.“算兩次”想法與方程思想的培養，是促進學生問題解決理性思維的較好手段，思考（1）中對切線的處理利用了相關結論，并再次利用抽離k1，k2的方程思想解決直線方程進而得到定點.

思考2：（1）如上得：x2-kx+（ka+1）=0，則Δ=k2-4（ka+ 1）=k2-4ak-4=0，于是有，即k1=2a+，故k1k2=-4.直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

說明：思考（2）的方式，是不少學生使用的，但能得到最終答案的學生是少之又少，這說明處理問題最好的方式依舊是直觀，直觀思維最大的困難是運算的復雜性，這種處理方式恰是學生應試中使用最多的，但是設而不求思想的缺失大大影響了運算的速度和成功率，教學中對于這種方式的反思是如何引導學生處理方法的選擇，通過教學反思引導學生避免對于方程的大量運算是關鍵.

思考3：（1）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），在這兩點處的切線分別為l1，l2，設l1：y-y1=k1（x-x1），與拋物線方程聯立：x2）（x-x1），由（1）易得PQ：y=（x1+x2）x-x1x2+1=2ax+2，所以直線PQ經過定點（0，2）.

說明：對于問題（1）與（2）的整合處理是思考3的關鍵，這種思維方式是著眼大處，整體性的思考，對于學生整體問題思維角度的掌握是一種提升，考慮到筆者任教學情程度相對較好，因此問題處理基本圍繞后半展開，因此這里所涉及的韋達定理介入恰好整合了問題（1）和（2），成為培養理性思維的更高途徑，對于培養學習習慣也是一種歷練.

三、反思失分的原因

反思失分原因是提高學生學習習慣，促進理性思維的較好方式.筆者的建議是對于這樣的問題，分兩步進行，首先請學生重做一遍問題，其次是回憶、厘清應試中犯錯的因素，分析錯誤的原因.通過數次實踐，筆者認為，這種方式對于學生促進理性思維和培養學習習慣更有利于學生反思自身的學習和引導教師糾正教學的不足.

（1）當a=0時，求f（x）的極小值；

（2）若存在x1，x2∈［e，e2］，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求實數a的取值范圍.

某學生自我剖析：第（1）問由于定義域的問題影響解答的正確性，在第（2）問的求解中，在討論函數f（x）=的最小值時，需要對非負數a進行分類討論.而確立分類標準是本題的難點，要根據導函數的正負進行不重不漏地分類討論，否則，討論將是不完整的.

教師評析：本題第一小題考查利用導數求函數的極值，第二小題利用存在命題的形式考查含參數函數的最值.第（2）問作為把關題起到了很好的區分作用，存在性問題是教學中的一個難點，試題將兩個存在作為問題的出發點首先就“擊潰”了一部分學生，即“篩選了一遍”，然后的分類討論或參變分離都較為復雜，解決起來實屬不易.函數導數試題作為壓軸題，其考查核心依舊是利用導數的工具來研究函數的單調性、極值、最值等基本性質，其難點并不體現在求導運算上，而是體現在導數作為工具對函數單調性的影響上，即分類討論的落點上；從另一個角度來說，此題用參變分離的方法似乎優于分類討論，在教學中需要平衡兩種方法的教學.試題充分考查了基本函數性質、“三個二次”的問題等中學核心知識，突出考查了函數與方程、分類與整合、數形結合、化歸與轉化等基本數學思想，考查了學生的運算能力、思維能力和分析解決問題的能力.

總之，通過應試后的反思教學，一方面可以了解到學生的知識、能力的掌握情況，為日后教師改進教學工作、提高教學質量提供參考依據；另一方面可以反映試卷命題質量，以便日后修改或篩選考試試題，建立試題庫和實施標準化考試服務.從一個方面來說，這也將促進中學數學教師的專業化發展.對教師來說，做試卷是“外煉筋骨皮”，而做反思分析則是“內練一口氣”，因此，做好反思教學的意義十分重大.

1.喬家瑞.高中數學解題方法與技巧［M］.北京：首都師范大學出版社，2012.

2.李建霞.粵教版高中數學“本章小結”有效教學的探究與實驗［J］.數學通報，2013（7）.