提煉本質(zhì)注重模式辨別——一道高考題的解法賞析

☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)　范永明

提煉本質(zhì)注重模式辨別——一道高考題的解法賞析

☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)范永明

2016年高考已落下帷幕，全國(guó)1卷理科試題21題設(shè)計(jì)立意鮮明，角度寬，視點(diǎn)多，深入考查了數(shù)學(xué)理性思維.深化能力立意是數(shù)學(xué)命題一直以來(lái)的追尋目標(biāo)，本試題真正地體現(xiàn)了“以能力立意為指導(dǎo)，以考查能力和素質(zhì)”的命題原則.

一、題目呈現(xiàn)

（2016年全國(guó)1卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）· ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.

二、試題簡(jiǎn)評(píng)

本題題面短小精悍，立意清晰，解法靈活，顯現(xiàn)能力.作為一道壓軸題，以函數(shù)零點(diǎn)為載體，主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)與證明不等式中的應(yīng)用，充分考查了學(xué)生推理論證能力和數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.第（1）問(wèn)由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，直接含參分類討論與參變量分離（完全分離或部分分離）均可完成，屬常規(guī)題型；第（2）問(wèn)求證一個(gè)二元不等式，需要消元、巧妙構(gòu)造才可簡(jiǎn)單證明，巧思妙想展示魅力.此問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明函數(shù)極值點(diǎn)偏移（右偏）的問(wèn)題，是一個(gè)熱門(mén)問(wèn)題，背景深厚，內(nèi)涵豐富，要求學(xué)生具有靈活的轉(zhuǎn)化與化歸思想.從解題方法上看，本題強(qiáng)調(diào)通性通法，突出數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.本題作為壓軸題，由易到難，梯度明顯，綜合性強(qiáng)，思維方式多樣，較好地考查了不同層次考生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，凸顯了壓軸題的選拔功用.

三、解法賞析

（一）第（1）問(wèn)的解法賞析

第（1）問(wèn)由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，我們可以采用分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解；也可以采用參變量分離，數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，這兩種方法都是通性通法.

解法1（含參分類討論）：f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，

f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①設(shè)a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

②設(shè)a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則

③設(shè)a＜0，由f′（x）=0，得x=1或x=ln（-2a）.

又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)函數(shù)f′（x）含有ex+2a，故以0為分界點(diǎn)進(jìn)行討論，討論標(biāo)準(zhǔn)的確立是完成整個(gè)解題過(guò)程的關(guān)鍵，要求做到不重不漏，每種情形個(gè)個(gè)擊破，分類討論對(duì)邏輯思維能力的培養(yǎng)有很大好處，切忌平時(shí)嫌麻煩而一味規(guī)避分類討論，刻意追求技巧性強(qiáng)的方法，弱化常規(guī)訓(xùn)練.

解法2（分離參數(shù)）因?yàn)閒（1）≠0，所以x=1不是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，

因此，當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，而當(dāng)x→-∞，g（x）→0+，當(dāng)x→1-，g（x）→+∞，故當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g（x）∈（0，+∞）；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，而當(dāng)x→+∞，g（x）→-∞，當(dāng)x→1+，g（x）→+∞，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）∈R.

故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=a與函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，

即方程a=g（x）有兩解，此時(shí)a的取值范圍為（0，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：參變量分離省去了對(duì)參數(shù)的討論，顯得簡(jiǎn)單明了，對(duì)分離后所得的函數(shù)g（x）的研究用到了極限思想，幫助我們快速把握函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，對(duì)解題有很大的幫助，日常教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)和滲透.

解法3（部分分離參數(shù)）：方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)g（x）=（x-2）ex與函數(shù)h（x）=-a（x-1）2有兩個(gè)公共點(diǎn)，

g′（x）=（x-1）ex，因此

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）＜0，單調(diào)遞減，當(dāng)x→-∞，g（x）→0-；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞，g（x）→+∞并且g（1）=-e＜0.

所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g（x）∈（-∞，0），當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）∈R.

又h（x）=-a（x-1）2是以（1，0）為頂點(diǎn)的二次函數(shù)，

①若a=0，則g（x）與h（x）=0只有一個(gè)公共點(diǎn)，故a≠0；

②若a＞0，則h（x）為開(kāi)口向下的拋物線，所以g（x）與h（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，故a＞0；

③若a＜0，則h（x）為開(kāi)口向上的拋物線，所以g（x）與h（x）不會(huì)有兩個(gè)公共點(diǎn)（此處只能通過(guò)圖像說(shuō)明沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)，原因是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的遞增速度不同）.

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：參變量部分分離是對(duì)完全分離的變通，可以靈活分配左右兩端的式子結(jié)構(gòu)，化歸到熟悉的函數(shù)式，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題功效.以上兩種解法思路：由函數(shù)的零點(diǎn)?方程的根?分離為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)?函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用.

（二）第（2）問(wèn)的解法賞析

第（2）問(wèn)求證一個(gè)二元不等式，實(shí)質(zhì)上是證明函數(shù)極值點(diǎn)偏移（右偏）問(wèn)題，是一個(gè)近幾年高考熱門(mén)問(wèn)題，背景深厚，內(nèi)涵豐富.問(wèn)題的解決需要學(xué)生有較高綜合分析能力，巧妙利用對(duì)稱性結(jié)合單調(diào)性，能夠較快地分析出解題思路，從而有較好的入手點(diǎn).消元是處理多元問(wèn)題的常用策略，把多元問(wèn)題減元或轉(zhuǎn)化成一元問(wèn)題時(shí)求解.本題自變量間的不等關(guān)系x1+x2＜2如何與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)呢？可逆用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值之間的不等關(guān)系.基于如此分析，我們可以得到下列證法：

（2）證法1：不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x1∈（1，+∞），

而f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x1+x2＜2?1＜x2＜2-x1?

0=f（x2）＜f（2-x1），即只需證明f（2-x1）＞0.

由f（2-x1）=-x1e2-x1 +a（x1-1）2，而f（x1）=（x1-2）ex1

+a（x1-1）2=0，

可得到：f（2-x1）=-x1e2-x1 -（x1-2）ex1

.

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，

則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）=（x-1）

所以當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，又知g（1）=0，

故當(dāng)x＜1時(shí)g（x）＞g（1）=0，

從而g（x1）=，f（2-x1）＞0，即有x1+x2＜2.

證法2：不妨設(shè)由（1）知，x1∈（-∞，1），x1∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1）.

因?yàn)閒（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，

所以x1+x2＜2?x1＜2-x2＜1?f（x1）＞f（2-x2），

又f（x1）=f（x2），則只需證明f（x2）＞f（2-x2），

即只需證明：?x＞1，f（x）-f（2-x）＞0，

即f（x）-f（2-x）=（x-2）ex+xe2-x＞0.

設(shè)g（x）=（2-x）ex+xe2-x，

則g′（x）=（1-x）（ex-e2-x）=（x-1）

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（1）=0，因此原命題得證.從而g（x1）=f（2-x1）＞0，故x1+x2＜2.

點(diǎn)評(píng)：我們知道，x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn).因此，欲證x1+x2＜2，即＜1，也就是說(shuō)，我們的問(wèn)題是要證明極值點(diǎn)x=1在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2的中點(diǎn)的右側(cè)，即“極值點(diǎn)偏移”問(wèn)題，證法1、2中的“對(duì)稱化構(gòu)造”是處理該問(wèn)題的一般方法.

證法3：不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1）.

所以x1+x2＜2?x1＜2-x2＜1?g（x1）＜g（2-x2），

又g（x1）=g（x2），則只需證明g（x2）＜g（2-x2），

即只需證明：?x＞1，g（x）-g（2-x）＜0，即g（x）-g（2-

當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，而h（1）=0，

故當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，

從而g（x）-g（2-x）＜0，故x1+x2＜2.

點(diǎn)評(píng)：此法對(duì)應(yīng)（1）中解法2.將兩問(wèn)解答連接在一起，解法就很流暢、自然.它仍然是通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，最終通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.

證法4：不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1）.

因?yàn)閒（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，

所以x1+x2＜2?x1＜2-x2＜1?＜f（x1）＜f（2-x2），

又f（x1）=f（x2），則只需證明f（x2）＞f（2-x2）.

令x2=1+m（m＞0），則2-x2=1-m，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明：?m＞0，f（1+m）-f（1-m）＞0，

即f（1+m）-f（1-m）=（m-1）e1+m+（m+1）e1-m＞0.

設(shè)h（m）=（m-1）e1+m+（m+1）e1-m，則h′（m）=m（e1+m-e1-m），

當(dāng)m＞0時(shí)，h′（m）＞0，而h（0）=0，故當(dāng)m＞0時(shí)，h（m）＞h（0）=0，

從而f（x2）-f（2-x2）＞0，故x1+x2＜2.

點(diǎn)評(píng)：此解法與前面的1、2本質(zhì)是一樣的，只是后面引入m＞0，構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)證明.“極值點(diǎn)偏移”的處理方法：①求出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0，②構(gòu)造一元差函數(shù)F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），③確定F（x）的單調(diào)性，④結(jié)合F（0）=0判斷F（x）的符號(hào)，從而確定f（x0+x）與f（x0-x）的大小關(guān)系.

由于此類題涉及的知識(shí)面較綜合，變量較多，但題意簡(jiǎn)單，學(xué)生一般審題不透徹，很難有效解答.通過(guò)對(duì)本題的多種解法分析，面對(duì)此類題需要先厘清解題脈絡(luò)，找準(zhǔn)切入口，果斷分離參數(shù)和消元，將復(fù)雜問(wèn)題層層轉(zhuǎn)化為熟悉易懂的，爭(zhēng)取多踩得分點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)最大化.

作為教師，在平時(shí)的教育教學(xué)中，需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，將基本的知識(shí)變化出來(lái)，基礎(chǔ)的知識(shí)靈活出來(lái)，重點(diǎn)的知識(shí)反復(fù)出來(lái)，明顯的知識(shí)隱蔽出來(lái)，易混淆的知識(shí)對(duì)比出來(lái)，相似的知識(shí)聯(lián)想出來(lái)的思想意識(shí).在平時(shí)解題訓(xùn)練中注重提煉通性通法，熟練掌握數(shù)學(xué)模式題的通用解法，在復(fù)習(xí)時(shí)要更多地注重“一題多變”、“一題多用”和“多題歸一”，更多地注重思考題目的“核心”是什么，從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，掌握好數(shù)學(xué)模式題的通用方法，最終提高學(xué)生思維素質(zhì).