源于課本回歸本質——對一道高考題的解法探究與拓展延伸

☉浙江省諸暨市湄池中學　蔡旦燕

源于課本回歸本質——對一道高考題的解法探究與拓展延伸

☉浙江省諸暨市湄池中學蔡旦燕

2016年高考已經落下帷幕，作為傳統高考的最后一年，社會各界對浙江省高考的關注度前所未有.2016年浙江高考數學試題，筆者總體感受是“題型穩、入口寬、坡度緩、立意精準、穩中有新、關注思維、凸顯能力”.在知識點考查、試題結構、材料選取、語言表述、命題立意、思想內涵等方面都呈現了這些特點.

一、題目呈現

設數列｛an｝滿足

（1）證明：|an|≥2n-1（|a1|-2），n∈N*；

二、試題簡評

本試題言簡意賅，樸實無華，解法靈活，顯現能力.題目兩個小問，呈現平和自然，表述精煉清晰，文字量少，閱讀量小，有親切感，易于激發學生解決問題的沖動.作為一道壓軸題，以數列為載體，主要考查數列的遞推關系與單調性、不等式性質等基礎知識，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.試題設計立意鮮明，角度寬，視點多，深入考查了數學理性思維.深化能力立意是數學命題一直以來的追尋目標，本試題真正地體現了“以能力立意為指導，以考查能力和素質”的命題原則.

三、解法探究

（2）任取n∈N*，由（1）知，對于任意m>n，都有的任意性可得|an|≤2.

點評：此解法是由絕對值三角不等式入手，結合數列方法解決.該法起步低，坡度緩，比較容易想到.本題也可將有理式遞推關系變為整式遞推關系

（2）任取n∈N*，由（1）知，對于任意m>n，|am|≥2m-n·（|an|-2），即

點評：此法利用待定系數或配湊得出類遞推公式|an+1|-2≥2（|an|-2），注意此處不能寫為累乘，因為符號未知，不等號方向可能會發生變化，而是要用遞推關系不斷迭代得出結果.第（2）小題的證明則是利用第（1）小題的結論順勢證明，比較自然.

（2）同證法2.

點評：此法看似與證法2類似，其實本質上有很大區別，遞推過程需要不斷迭代，尤其要注意在遞推關系給出后，要將后面等比數列累加求和.

（2）假設|an|>2，由（1）知，對于任意（|an|-2），對任意正整數n，右側為確定的正數，記為f（n），取m=，則有m>0，而當p→+∞時也就是一定會存在一個p使得2），與題設矛盾，故|an|>2不成立，即|an|≤2.

點評：此法用絕對值三角不等式的順序與前幾種方法有所不同，但結果一樣.在第（2）小題采用了反證法，更符合學生思維習慣.

四、背景探究

本題秉承了浙江省數學高考題的一貫特點：敘述簡潔、概念清晰、思維深刻、解法多樣等.“入手容易深入難”，由“知識立意”深化至“能力立意”，意蘊深邃，平淡之中顯新意.在初看此題時是一個數列的上下界估計的問題.此題的背景是人教A版教材必修1第95頁第三章《函數模型及其應用》例1——投資收益模型（圖1）.

例1假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天以前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.1元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

分析：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據.

函數圖像是分析問題的好幫手，為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.

圖1　

我們看到，底為2的指數函數模型比線性函數模型增長速度要快得多，從中你對“指數爆炸”的含義有什么新的理解？

根據試題命制雙向細目表，第20題要考查的核心知識是數列、函數、不等式，考查題目的能力立意是推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.命題組專家在編制此題時，選擇把目光投向教材，巧妙地選取了人教A版教材必修1第95頁第三章《函數模型及其應用》例1中的方案三：翻倍回報即指數函數模型，在保持數學思想的基礎上進行創新拔高.設前一年的回報為an，后一年的回報為an+1，若an+1是an的兩倍，那么2an-an+1=0.但是在現實生活中，常常存在一定的誤差，將誤差范圍控制在2以內，得到，以此作為題干條件.第（1）小題的問題|an|≥2n-1（|a1|-2），其實是最終回報不低于2n-1|a1|-2n，即數列的下界.

第（2）小題中，如果不加條件，最終回報很有可能指數爆炸無限上升，所以加了一個限制條件，就使得最終回報也就是an最大值不超過2，即數列的上界.

這道壓軸題兼具函數和數列思想，具有科學性和生活氣息，使人回味無窮，是一道不可多得的好題.眾所周知，第20題作為整張試卷的壓軸題，起到了選拔優秀的、有潛力學生的功能，會有一定難度，但是一旦看破此題的背景與本質，這樣的難度也是非常自然的.

五、推廣延伸

基于上面的分析，此題可以作以下推廣和延伸：

推廣1：設數列｛an｝滿足

（1）求證：|an|≥2n-1（|a1|-4），n∈N*；

因此|an|≥2n-1（|a1|-4）.

（2）任取n∈N*，由（1）知，對于任意m>n，

由m的任意性得|an|≤2（n+1）.

推廣2：設數列｛an｝滿足

（2）任取n∈N*，由（1）知，對于任意m>n，

從而對于任意m>n，均有|an|<（n+1）2n+1+4n·

由m的任意性得|an|≤（n+1）2n+1.

六、結束語

2016年浙江高考數學理科第20題解法探究、背景分析及拓展推廣，為我們平時的教學提供了有益的啟示：一是要立足課本，突出數學思想地位，盲目的題海戰術，已適應不了當前的高考.教學要回歸教材，但是回歸教材不是喊口號，高考題不可能出現與課本題一模一樣，甚至形式一樣都很少，但是思想一定是一脈相承，此題啟發我們在回歸課本，研究課本時，不能浮于表面，而要立足教材，活于教材、高于教材.二是要注重滲透，提升數學核心素養.抓好學生的基礎知識、基本技能，平時教學中要注重反思、重視思維的滲透，善于揭示數學思想的本質，在培養學生的思維能力，提升我們的學生數學核心素養上做功課.