基于數學核心素養摭談2016年高考試題

☉浙江省杭州高級中學　錢江校　區俞昕

基于數學核心素養摭談2016年高考試題

☉浙江省杭州高級中學錢江校區俞昕

鄭毓信先生近期在文［1］中指出了一個現今數學教育界的普遍現象：學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！這樣的現象無論如何不應再繼續了！2016年的高考已降下帷幕，考完以后各類有關的群里議論最多的就是“學生做再多的題也沒用啊！完全是考查數學能力呀！”仔細回味其中的話意，我們確實需要反思自己的教學.我們應該力求通過數學教學讓學生學會思維，思維得更清晰、更全面、更深刻、更合理.下面筆者就以2016年高考試題為載體談談如何在教學中注重滲透數學核心素養.

一、讓學生掌握研究數學問題的方法

數學教學不僅要讓學生掌握一定的數學知識，更重要的是讓學生學會研究數學問題的方法，而這也是我們在教學過程當中容易忽視的.比如在學習數量積運算的運算律時，往往會忽略運算律的推導與證明，而將重點落于運算律的運用上.而事實上，教材中明確了對于數量積運算律的推導要求，如下圖1所示.

運算律和運算緊密相連，引進向量數量積后，自然要看一看它滿足怎樣的運算律，你能推導向量數量積的下列運算律嗎？

已知向量a、b、c和實數λ，則：

（1）a·b=b·a；

（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.下面我們證明運算律（3）.證明：如圖1，任取一點，在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即

圖1　

考題示例1（2016年浙江省數學理科高考試題15）已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若對任意單位向量e，均有，則a·b的最大值是______.

此題作為填空題的壓軸題給考生的感覺是：題目新穎、表述簡潔，看似簡單但卻無從入手，我們平時處理向量問題的常規方法在此似乎都無用武之地.若是回歸到以上數量積運算律（3）的推導過程：向量a+b在向量e上的投影等于向量a、b在向量e上的投影的和.此題便可以迎刃而解了，似乎還變成了一道秒殺題.

由此可以看出為什么會有人感嘆：做再多的題也沒有用啊！其實是缺少了一個前提：在沒有弄清楚我們學習的數學知識中蘊含的研究數學問題的方法時，盲目地去做大量的習題，是會事倍功半.所以我們要反思我們的教學，特別是研究數學問題的教學.數學問題解決始于問題情境，情境賦予新知識以意義（（加深對概念、命題的基本關系的理解；情境賦予經驗以生長（（體驗知識結構獲得過程，學習運用自身的知識結構進行思維；情境使學習變得有效（（在生動、豐富的情境中學習如何選擇、判斷、獲得和運用已有信息，如何運用所學知識去解決現實世界中的問題.總之，學會研究數學問題的方法往往比掌握某個知識更重要，因為當你手中有了方法，你就有可能會嘗試自己去探索新知、掌握新知、運用新知.

二、讓學生學會從最本源出發思考數學問題

單墫先生提出了12條解題要訣，其中一條為：解題“應力求簡單自然，直剖核心.”數學解題時，只有經過深度思考，洞察問題的本真結構，才能直剖核心，透出思路，發現美感.而洞穿問題的本質結構在于，解題者在自己的思維的內源性意識結構機能中，找到誘發問題本源性結構思路的啟示，這種啟示的發現，很大程度上取決于主體思考問題的深度，思考問題的方式與思考問題的經驗，是極具個性化的思考過程，是屬于個體內在思想的跨越，是極富創新的過程.因此，我們不能給出一種發現問題本源性結構的一套合適的、行之有效的程序，只能通過不斷的引導學生反思自己解決問題的方法，或者是在面對一道不知如何下手的陌生問題時經過自己的努力而發現問題的結構.

考題示例（2016年浙江省數學理科高考試題19）如圖2，設橢圓

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）；

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.

第（2）問運算量較大，基本思路是將幾何問題轉化為代數問題來解決.（高考標準答案解法省略）

事實上，我們若是從本源出發思考此問可以是別有洞天.設M（x，y）是橢圓上一點，連接MA，由于|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1.

考慮函數t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1的圖像與直線t=r2的公共點.其中a>1，r是圓的半徑.當公共點對應的y=±1時，一個公共點對應圓與橢圓的一個公共點；當公共點對應的y∈（-1，1）時，一個公共點對應圓與橢圓的兩個公共點.根據題意可知，函數t=（1-a2）y2-2y+a2+1，在［-1，1］上為單調函數，否則必然存在直線t=r2與之有兩個公共點，且其對應的y均在區間（-1，1）.考慮到其對稱軸為，而a2>1，因此，解得1

圖2　

以上是從函數與方程思想這一本源思想出發解決此問，此法計算量小，但思維含量大，需要學生具有較高的數學素養，能夠將學過的數學知識橫縱相連，融會貫通.無論是高考標準答案的解法還是上述解法，都不是學生能通過盲目的題海戰術一朝一夕就能達成的，這是一種數學素養的積累.恐怕這種數學素養還需教師在日常教學中不斷滲透與培養，一定要留給學生獨立思考問題的時間與空間，灌輸式的解題模式或技巧的傳授反而會阻礙這種素養的形成.

三、讓學生充分反思數學思想方法

在高中數學學習過程中，教師會教授很多思想方法，比如數列的學習中，有“累加相消法”、“累乘相消法”、“構造法”、“裂項相消法”、“錯位相減法”、“分組求和法”等等，教師的教學方法往往是“一種方法配幾道例題”，然后通過大量練習來鞏固.學生在學習這塊內容時往往也會云里霧里，拿到題目不知從何選擇方法.今年的高考中，數列以壓軸題的面貌出現，平時習慣了數列模式化訓練的學生在面對這樣的試題時可能就會一籌莫展.反思我們的數列教學，如果能讓學生充分反思數列學習中的各種思想方法，挖掘學生自我探究數學問題的能力，至少能開拓學生面對壓軸題的心理素質與眼界.而事實上平時多做一些模式化的習題對于解決這類壓軸題也確實沒有什么幫助.

考題示例（2016年浙江省數學理科高考試題20）設數列滿足，

（1）求證：|an|≥2n-1（|a1|-2）（n∈N*）；

事實上，從數列的界的角度看，第（1）問給出了數列｛|an|｝的一個等比下界，第（2）問給出了數列｛|an|｝的一個等比上界.若|an|>2，那么將由于下界增長速度超過上界增長速度而導致矛盾.這就需要學生真正從數學角度來看待問題，而技巧只是幫助揭示問題本質的輔助工具.

四、反思數學核心素養的教學

文［2］中指出，在高考中增強基礎性，有助于構建學生終身學習與發展之基礎；增強綜合性，有助于選拔適合社會需要的綜合型人才.數學科高考要結合學科的特點，構建數學科統一考試體系，增強考試內容的基礎性、綜合性.通過考查核心概念、基本原理和基本方法，增強考試內容的基礎性；通過考查各分支內容和學科之間的聯系，增強考試內容的綜合性，促進學生從整體上建構知識框架；通過設計新的情境，考查學生運用數學及相關學科的核心概念分析和解決問題的能力.將數學知識、數學思想和數學方法的考查融入到能力考查當中，突出數學的通用性和基礎性，重視理性思維，為高等學校選拔創新人才，發揮對中學教學的良好的向導作用.

數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析是數學六大核心素養.不難發現，這些也是高考重點考查的方向.2016年浙江省數學理科高考試題6：如圖3，點列｛An｝，｛Bn｝分別在某銳角的兩邊上，且

圖3　

圖4　

|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，

|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*.

（P≠Q表示點P與Q不重合）

若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（）

此題就是從等差數列的概念，考查學生的邏輯推理能力.

2016年浙江省數學文科高考試題14：如圖4，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是______.

此題可以從邏輯推理、數學運算、直觀想象三個方面來考查學生，我們至少可以三個角度來思考與解決這個問題：傳統推理的方法、向量運算方法、向量坐標運算方法.而平時我們立體幾何計算的教學中比較偏重于向量的坐標運算，而坐標運算往往計算量比較大，面對這樣一道填空題，學生往往會因為畏難心理而造成各種計算錯誤或思維阻塞.這也說明我們的教學中存在思維單一的弊端，沒有留給學生足夠的時間與空間對問題進行進一步的思考，往往就是“建系”一步到位解決就了事，浪費了很多立體幾何中的良好素材.下面我們可以剖析此題除“建系”以外的其他角度.

角度1：過D作DH垂直AC于H，如圖5所示，點D在以H為圓心，DH為半徑的圓上運動，且圓面（記為α）與AC垂直.在D點運動的過程中，直線AC與BD所成角為直線BD與圓面α所成角的余角，因此問題等價于求直線BD與圓面α所成角的正弦值的最大值.設E為B在圓面α上的投影，經計算得，因此直線BD與圓面α所成角的正切值最大的為，于是其正弦的最大值為，即直線與BD′所成角的余弦的最大值.

圖5　

角度2：如圖5所示，設直線AC與BD′所成角為θ，

五、結束語

有種說法是“應試教育”與“素質教育”勢不兩立，其實從培養學生數學核心素養的角度看其實不然.考試是一種選拔的工具，高考的改革也是為了更合理的通過考試來體現學生各方面的素養.數學作為選拔的一門重要學科更應該承擔起這樣的任務，我們的數學教學要充分的讓學生感受數學思維帶來的思維上的快感，潛移默化的提升學生的數學核心素養，能夠讓學生以更寬廣的思維、更開拓的眼界與更強大的心理素質來思考數學問題、面對高考.

1.鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”［J］.數學教育學報，2016，25（3）.

2.任子朝，陳昂.加快高考內容改革，增強基礎性和綜合性［J］.數學通報，2016，55（6）.