高中數學思維指導下的解題技巧

☉江蘇省常熟市中學　張靜芬

高中數學思維指導下的解題技巧

☉江蘇省常熟市中學張靜芬

高中階段數學學科依然占據主要地位，數學考試也是備受學生和家長關注.試卷中各種數學題型變幻莫測，各方面知識點考查齊全，經常讓學生應接不暇.課下有學生反映考試時數學卷做不完、檢查沒時間，手慢腳亂忙了一陣，成績也不理想，這讓很多學生和家長感到苦惱，要想改善這種狀況其實訣竅就在于能否熟練地掌握解題技巧.解題技巧不是孤立的，要在一定的數學思維指導下，這樣學生才能掌握數學的精髓，無論題型如何變幻，都能應對自如.

班里經常有這樣的孩子，平時非常用功，抓緊每一分每一秒學習，甚至吃飯的時候都是一邊端著碗一邊看著書，盡管如此，學習效果卻不是很理想，為此他們非?？鄲?其實高效的學習不應該是一味、單純地挖知識，一定要有科學、合理的思想來指導.知識是肉身，思想是靈魂，它們相輔相成缺一不可，沒有知識的思想只是一具空殼，沒有思想的知識也只是行尸走肉，只有知識和思想相結合才是真正的學習.高中數學一直是學生們望而生畏的一門課程，很多學生苦苦專研，也找不到解題的要領，所以，教師要教會學生站在思想的高度掌握解題技巧.

一、發散性思維指導下的圖解法

學習數學避免不了要應用到圖形，它是解決數學難題不可或缺的一種輔助手段，圖形一出現很多已知條件躍然圖中，很容易找到解題的突破口.但是，找到突破口也要帶著目的性、選擇性，不能全部拿來，眉毛胡子一把抓.要求學生要具有發散思維，化抽象為具體，化復雜為簡單，以不變對萬變.先綜合所有已知條件思考整個問題，在把握大局的前提下分清主次，接下來抓住主要的特征，從主要的思維角度入手，一步一步達到解決問題的目的.

分析：此題中不等式的兩邊都是基本函數，左邊是指數函數，右邊是對數函數，充分利用此特征，作出兩個函數圖像，利用圖解法能更好解決此題.在高中數學中，利用圖解法，可以比較函數值的大小，確定參數范圍，也能利用圖像解決一些方程的解和零點問題等.

因為logax>4x>1，所以0

令f（x）=4x，g（x）=logax，如圖1，當

圖1　

又因為g（x）=logax，x0∈（0，1），a1，a2∈（0，1）且a1loga1x0，

圖解法有圖形，有數字，有已知條件，有相關結論.一個圖形，多個數量關系，把它們緊密地結合在一起，先分解，后整合，也是對學生發散性思維的一種鍛煉.這種方法的應用范圍很廣，高中數學的學習過程中會經常用到，有時只在草紙上操作，簡單易行.我們要學會掌握這種方法的精髓，而不是只了解簡單的皮毛，爭取把它內化為自己的一種本領.本領在手，不光是數學學科可以用，其他學科也能用得到，乃至以后遇到其他事情也可以用到這種思維方式..

二、創造性思維指導下的變量代換

高中數學有很多題涉及到函數、導數，對學生來說個個都是難關，非?？鄲?變量代換法既能解決這些難題，又便于學生掌握，教學中值得傳授.變量代換，簡單地說就是引入一個變量，運用相關知識予以技巧性的變化來替換已知條件中的某些定量，得到新的變量，接下來再展開對新變量的研究，把研究結果代入原式得出我們要的結論.這種替換可以連接已知和未知，相當于借助中介的力量轉化原問題的難度，達到簡化的目的.這種方法如果用的恰到好處，可以收到事半功倍的效果.

例2不等式x+y≤k（2x+y）對任意正實數x、y恒成立，求k的取值范圍.

分析：這道題中涉及到兩個變量和一個參數，這樣會使學生有點手足無措.如果能將兩個變量轉化為一個變量，這樣會使得題目更容易解決.所以解題時需先引入一個新的變量，變量的介入讓不等式改變了原形，再對變形后的新變量進行討論.此題先把兩端分別除以y變量，即可得到，這樣由原來的x、y兩個變量變為，然后進行變量分離，可得，因為2t+1>1，所以1，最后可得k≥1，則k的取值范圍為［1， +∞）.

另外還有很多類似的題目都可以采用此方法來解決.例如：已知不等式x2+y2≥k·2xy對任意正實數x、y恒成立，求k的取值范圍.此題可以兩邊同除以2xy，可得k≤再利用基本不等式可得k≤1.

三、邏輯性思維指導下的觀察法

提到觀察法很多學生會認為這是物理和化學學科常用的方法，數學就應該是計算，其實不然，數學學科有很多問題通過觀察也能找到我們想要的答案.當然這里說的觀察不是漫無目的地瞅來瞅去，而是帶著尋找答案的目的，發動我們的感官去觀察.另外，這里說的觀察也不是只抓問題的一部分，而是要從整體上把握問題的脈絡.所以，細說起來，觀察法運用的過程中心要細，眼要尖，這樣才能尋找突破口，抓住關鍵，厘清解題思路，做了這些鋪墊什么問題都不難了.

本題就是通過直接觀察獲取答案的典型例題，適合一類函數值域的求法，一目了然.當然在實際做題過程中很多習題難度要比這個多很多，但是解題思路都是一樣的.主要是通過此種方法培養學生的觀察能力，它是一名優秀的學生應該具備的基本素質.無論是學習還是生活具備觀察能力都是孩子們具有一項生存技能.善于觀察才能發現事物的前因和后果，才能分辨出事情的真實和虛偽，才能發現解決問題的方案和技巧，最后才能做學習的強者.

四、逆向思維指導下的反證法

在數學領域思考問題，我們習慣于邏輯推理，從已知推出結論.但在做題的過程中常常會遇到從正面證明有困難，或者情況比較多挺復雜，而反面只有一種情況，相對簡單，這時可以考慮用反證法.所謂反證，就是從反面入手去證明，打破了常規的思維模式，有另辟蹊徑的感覺.一般不等式證明常用它，如果題中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等字眼就具備了用反證法的條件了.反證法思維方式獨特，開闊眼界，能夠培養學生的逆向思維能力.

例4如果p1p2=2（q1+q2），求證；二次函數y=x2+p1x+ q1和y=x2+p2x+q2的圖像至少有一個與x軸相交.

分析：該題如果直奔主題去求解很難，不知道從何處下手，無法斷定哪一個函數的圖像與x軸相交.那么我們不妨從問題的另一面去考慮，也就是反其道而行之，假設y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的圖像都不與x軸相交，便得到兩個判別式，再加上p1p2=2（q1+q2）這個已知條件，代入求得，即能判斷能否與x軸相交.

證明：假設二次函數y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的圖像都不與x軸相交，則有

又因為p1p2=2（q1+q2），

所以2p1p2=4（q1+q2），

通過上題的分析讓我們找一找反證法的適用條件.此題已知條件較少，就只有p1p2=2（q1+q2）一個，而且它和問題之間關系不是很直接，再加上問題“y=x2+p1x+q1和y= x2+p2x+q2的圖像至少有一個與x軸相交”相對來講很抽象，不具體.而其反面結論恰恰相反，不但具體，還容易入手，這種情況最適合運用反證法，這是一種逆向思維方式，打破常規，實際做題過程中多加訓練就很容易掌握.

數學思維的有效培養可以形成數學素養，數學方法的掌握可以提升學生解題效率.數學思維方式不是與生俱來的，是在不斷的學習知識，掌握和運用方法的基礎上形成的，數學解題方法也不是一學就會的，是在數學思維的指導下，不斷的實踐和訓練慢慢掌握的.所以，要想在數學上得高分就必須開拓思維，認真研究，多方面挖掘，總結和掌握各種解題技巧，技巧熟練，運用自如，才能及時答疑解惑，拓展思路，發展智力.

1.曾定.淺談高中數學解題反思［J］.高中數學教與學，2013（12）.

2.曾慶珊.高中數學四種解題教學模式的教學實踐研究［D］.長沙：湖南師范大學，2014.

3.談敏.逆向思維在高中數學解題中的一些應用［J］.語數外學習（數學教育），2013（12）.