一節數學活動課引起的四問反思

吳熙婷

摘 要：從數學活動課《探究四點共圓的條件》的前期準備與課堂實踐，揣摩對教材文本的解讀方式和課堂詮釋的具體策略，通過問題反思，梳理對數學活動目的達成的積極因素，促成學生數學素養的體悟與積淀。

關鍵詞：活動；問題；定位；資源

數學活動課是課程結構的一個重要部分，是指以在教學過程中構建具有教育性、創造性、實踐性的學生主題活動為主要形式，以激勵學生主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創造為基本特征，以促進學生整體素質全面提高為目的的一種新型教學觀和教學形式。

同一節數學活動課，一千個老師，便將有一千個解讀方式和詮釋的策略，來影響一千個班級的數學素養與積淀。從初三數學活動課《探究四點共圓的條件》的前期準備與課堂實踐中，真切感受一句話：事非經過不知難，事非經過不知“道”。道是一個首和一個走之底組成的，聯合起來就表示“從頭開始行走”。對數學活動課的研究還未成型，的確需要教師從頭開始行走啟程，展開對教材內外資源的揣摩與探究。

一、數學活動課的定位

問題1：數學活動課怎樣不會流于形式？

“數學活動課”即數學+活動，活動的生成層次、學生主體的覆蓋面都是反映活動課教學特征的重要維度，決定“活動”是只走了形式，還是“走心”走到學生心里去，學生真正獲得研究方法的習得。

（一）活動課不等同于常規新授課

新授課的內容主要包含數學概念、定理、法則等的形成、推導，并應用在解決問題，穿插活動是它的學習方法之一，而不是主題。而數學活動課更多的應該是要提供給學生一個探究的步驟：一個數學結論當初是從何而來的，它的過程和方法可能、可以是什么樣子的？如本節課的探究途徑設計：定研究對象—畫實例特例—抓特征要素—篩選核心條件，學生有一個親身的體驗和直觀的借鑒。在《探究四點共圓的條件》中，定研究對象選擇的是四邊形的四個頂點，不是平面內隨意分散的任意圖形上的四點，這保證了研究對象的純粹性；接著，不斷地嘗試畫實例（四邊形）、特例（特殊的平行四邊形），抓特征要素：從四邊形的基本元素—邊、角、對角線進行特征的分析，在不斷地尋找—否決—再尋找—再否決的活動過程中，篩選獲得真正的核心條件。

（二）數學活動課不等同于復習課或超綱課

復習課將割裂的章節內容進行整體性的串聯建構，使知識鏈系統化，綜合運用，提煉思想方法。數學活動課經常都在章末附上，但它也不應該是復習課或者超綱知識的補充課，因為它有自己獨特的意義所在。因此，本節課活動一的舊知復習和活動五的共圓的模型應用都放在課下，課上只做快速的回顧，只為活動的必備認知和技能做一個鋪墊和延伸。數學活動課的生活信息素材或者數學事實資料以及活動課所生成的結論，都只作為展開數學活動的載體。相對于活動本身，超綱的活動結論不是學生真正需要的東西，兩者間顯然是授之于“漁”或是“雜魚”的區別。

二、數學活動課的進入角度

問題2：基于教材載體，怎樣為數學活動課尋找篩選恰當的素材資源，更好地與活動的切入點有機地聯系起來？

（一）數學猜想的發散

猜想總是很發散的，要怎么收攏呢？第一稿中筆者曾考慮怎么讓學生去猜想“四點共圓的條件”會是“角”的方向？曾設計了一個圍繞圓周角的性質——圓的內接四邊形對角互補，反之撤掉圓的背景，對角互補的四邊形四個頂點會落在同一個圓上；又如“同弧所對圓周角相等”基本圖形，反之，若共一邊的兩個三角形公共邊所對的角相等，則這兩個三角形的四個頂點也共圓等等。這其實也就是圓周角的性質定理和它的逆向猜想。這樣的設計，可能受到的影響來自于曾經學過的平行線的性質和判定、全等的性質和判定、特殊四邊形的性質和判定等等教材章節。作為數學課程改革基本思路指導下，以創新課堂教學和學生學習方式為方向的活動課，太過明確而顯得狹隘的猜想，或者活動已經失去了開始的探究創新意義。因此，活動課的設計結構與教材的整體建構是有所不同的，學生個體的差異性是促成基于活動過程獲得猜想的全面性和獨特性的自然起點。

具體地說，為什么本節課最終的結論是關于“對角”的？在活動的開始，首先引導四邊形的要素是什么？學生會回憶，一般是看邊、看角、看對角線！那么為四點共圓選擇條件時，邊的角度出發為什么不提？對角線為什么不說？這就是得到數學結論的過程中，不可也不該繞道回避的真正問題。從特殊圖形出發尋找共性條件，特例從哪里開始，比如為什么從平行四邊形開始？可不可以從矩形開始？學生也可以從正方形開始，因為它擁有平行四邊形中的最強條件。學生無論從哪里進入，一切基本元素具備的圖形特征皆有可能是四點共圓的條件之一。

（二）數學猜想的收攏

在具體的教材資源處理上，如本節課在畫實例特例的篩選時，若畫圖已發現矩形可以四點共圓，那正方形作為更特殊的矩形，也可以四點共圓；經常會與矩形比照的四邊形是菱形，發現菱形不可以四點共圓，作為存在的反例，那么平行四邊形就不一定四點共圓了等等，這樣將特殊四邊形之間進行關聯性的思考，會發現原來教材上提供的6個基本圖形頓時就鮮活生動起來，所以教材的處理真的是一門大學問，學生從中可發現數學的奇妙之處，鍛煉邏輯推理能力。

數學活動課多以閱讀材料的形式給出，篇幅很有限，開放度卻高。因此活動課備課難度較大，它的“難”很大程度上在于怎樣從無到有，為數學活動課尋找、篩選恰當的素材資源。在課前相關資源收集時，就曾發現一大堆的四點共圓的條件，有些屬于高中階段，甚至是競賽范疇內的。因此這個剔除不相干因素的過程也是數學活動的必經之路和重要組成。

三、數學活動的作業設計

問題3：數學活動課的作業可以怎樣設計來延續強化、觀察評估活動課的效果？

數學活動課以學生活動能力的發展狀況為評價關注對象，觀察活動課對各層次學生可能發生的數學學科價值。因此，其課后作業應成為“活動”的助力，延續活動的基本路徑，更看重創造力、質疑能力，沒有統一的標準答案，沒有單一的評價指標。

在本節《探究四點共圓的條件》活動課的最后，設計拋出新問題，延伸把“活動”二字進行到底，比如研究目標設置為：有公共邊的兩個三角形要滿足什么條件能確定四點共圓呢？學生可以結合今天的數學活動流程，自行設計從三角形的角度出發，進行大膽的探究：三角形的要素又是什么呢？（如邊、角元素）；什么樣的三角形算得上是三角形的特例呢？特殊三角形都有哪些呢？（如等邊三角形、等腰直角三角形等），學生自己就可設計幾個特例來簡單、全面地說明判定條件的由來與邊無關，與公共邊所對的兩個角有關系。

四、數學活動的主體生成與主導預設

問題4：活動課上的教師與學生，主導與主體如何把握？

（一）教師主導預設

1.數學活動的時機把握

活動課里的過渡和銜接有賴于老師的引導。活動目的的揭示，活動流程指令的清晰度，其實也是一節活動課充分活動的保障。從特殊條件出發尋找四點共圓的共性條件里，以共同完成一個圖形的一“畫”（四邊形）二“試”（四頂點可否共圓）三“尋”（四邊形的要素特征）四“斷”（特征與共圓之間的判定關系是否成立）為示范，可以有意識地避免學生停留于光畫圖嘗試，不經歷猜想思辨，迷失活動目標，造成活動課無序的情況，保證活動課的前進與深入。活動重心從什么地方開始，包括每畫一個圖形便分析一個圖的特征，判斷特征的作用，追問學生對條件的分解，觀察學生活動的進展，促成學生的活動成果加工梳理，通過思維導圖橫向比對，先把圖形畫出來再全部羅列分析，需要老師的伺機推動與有效組織。

2.數學活動課的細節

活動課的起點基于學情，活動中的細節設計同樣服務于學生活動的便捷。本節課里，為什么共斜邊的兩個直角三角形組合的四邊形教學設計用坐標定位？因為由觀察坐標可迅速獲得線段（邊）長度，再由勾股定理逆定理獲得最長邊所對的角是直角；為什么用格點圖作為背景素材？為了避免學生隨意作圖可能造成的較大誤差，誤導活動基于圖形得到的猜想結果，方格紙的標準化，可以直觀、快速給予參考。教師要設計活動中有用、好用的活動工具。

（二）學生主體生成

1.學生在活動中的獨立性

學生個體學習活動經驗和生成資源就是最好的課堂資源。活動課重視學生個人獨立嘗試，比如尋找得到的條件之間的重復、包含、比對需要學生進行觀察研究、思辨整理。學生的思考方式與教師思維的相異性是客觀存在的，因此，拘泥于既定的活動途徑是數學活動課堂的大忌。在數學活動中，學生自己選擇不同的方向去探索，能在活動過程中更深層次地沉浸其中，在創新性的活動過程和出乎意料的成果中獲得不一樣的喜悅和期待。

2.學生在活動中的合作性

活動課在大致確定研究對象后，也可分組分工，學生的交往與碰撞或可獲得意料外的火花。不同組討論不同圖形進行共享，避免重復研究，最后的結論或更充分完整。在最后梳理時讓學生之間去表達互相質疑，操作效果會更好，因為說的學生要想得明白才能說得明白，互相說的過程達到活動課的不同思維的碰撞。

參考文獻：

顧廣林.初中數學活動課的實踐與認識[J].數學教學通訊，2010（9）.

編輯 張珍珍