數學之于經濟

張亞妮

摘 要：數學歷來有學科之王的稱號。作為一門“工具性質”的學科，數學滲透于多種學科研究之中。經濟學就是其中之一。經濟學中的很多研究都離不開數學的幫助，微積分作為數學學科中的重要組成部分同樣是經濟學研究的必備知識，數學模型的建立同樣也必不可少。可以說數學使得經濟學研究變的更加嚴謹也更加簡單且一目了然。很多時候一長段的文字描述用數學符號表示后就變成了簡單的兩三行符號公式，一個經濟問題的發展趨勢用函數，函數圖像來表示時也變得更加直觀。

關鍵詞：導數 積分 函數 數學模型

中圖分類號：F224

文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2016）04-207-02

翻開諾貝爾經濟學獎的歷史，我們會發現很多獲獎者都是在數學領域同樣有傲人成績的。史上第一屆諾貝爾經濟學獎獲得者拉格納·弗里希（Ragnar Frisch），是數理經濟學和經濟計量學研究領域的先驅者，他發展了經濟規劃的決策模型，設計了設法利用現代計算機技術的數學規劃方法。弗里希作為經濟計量學“三合一”的開山之祖而最負盛名。“三合一”即把經濟理論、數理方法和統計學應用于實際經濟問題的分析中。甚至經濟計量學就是弗里希創造的一個名詞，而也在經濟學的許多領域均有廣泛的影響。同時獲獎的還有簡·丁伯根（Jan Tinbergen）教授，他是經濟計量學模式建造者之父，主要從事于把統計應用于動態經濟理論。這兩位學者發展了動態模型來分析經濟進程。

其實在平時的學習中我們也不難發現，經濟學和數學是有著密切關系的兩個學科。經濟學中的很多經濟現象經濟理論都可以通過數學知識去解釋。本文主要淺析數學中的導數、微積分在經濟活動中的應用。

數學在經濟預測管理與決策優化方面扮演著重要角色。預測作為經濟活動中非常重要的一項行為其在管理資金投放、商品產銷、人員組織等方面是重要的決策依據。經濟的發展離不開各種資源的優化組合，為了獲得最大的利益需要在多種策略中擇其一。而將這類問題投射到數學學科上既是需要使代表獲利的目標函數達到極大值，代表損失的目標函數達到極小值問題。即經濟學上的利益問題轉為數學方面的目標函數求極值問題。而在決策問題上即為線性規劃、非線性規劃、優選問題等。

一、數學模型之于經濟活動

在經濟建設中，經常碰到大宗物資調用問題，例如煤、鋼材、樹木等等，在全國有若干生產基地，根據已有的交通網，應如何制定調運方案，將這些物資運到各消費地點，而總費用要最小。而將這一問題用數學語言描述既是已知有m個生產地Ai，i=1，2，…，m。可供應某種物質，其供應量分別為ai ，i=1，2…，m。有n個銷地Bj，j=1，2，…，n，其需要量分別為bj，j=1，2，…，n，從Ai到Bj運輸單位物資的運價（單價）為cij，這些數據可匯總于產銷平衡表和單位運價表中如圖1和2。

若用xij表示從Ai到Bj的運量，那么在產銷平衡的條件下，要求得總運費最小的調運方案，可求解以下數學模型：

min z=■i=jm■nj=1cjix

■x=b，j=1，2，……n■xij=ai，i=1，2，……mxij≥0

這就是運輸問題的數學模型。它包含m×n個變量，（m+n）約束方程。然后再經過單純形法等求解這一問題。

上述過程就是典型的利用數學知識對經濟問題建立數學模型，進而得到最優解決方案的例子。

通過以上我們也可以發現，在經濟活動中應用數學的過程其實是將所研究經濟問題變得簡單、清晰更具科學性和說服性的過程。而在此過程數學就是我們研究經濟問題的工具。

二、導數之于經濟活動

導數反映函數的自變量在改變時，相應的因變量變化的快慢程度，即變化率。而將導數引進經濟研究之后，通常被應用于邊際和彈性。在經濟學中，邊際經濟變量都是用增加某一個經濟變量一單位從而對另一個經濟變量帶來的影響是多少，例如邊際效用、邊際收益、邊際成本、邊際利潤等等。而經濟學中的這些邊際概念幾乎都是用導數來表示的。例如邊際成本的計算公式MC（Q）=△TC（Q）/△Q，其中△TC（Q）表示總成本的變化量△Q表示對應產量上的變化量。而邊際成本用以判斷增減產量在經濟上是否合算。正如前邊所說，經濟研究非常注重預測，而導數的應用使得我們可以更直觀地估算出在動態過程中經濟活動的虧盈情況。

三、微積分之于經濟活動

微積分作為數學的主要部分同樣也被廣泛地應用于經濟管理活動中的最優化問題中。在經濟分析中我們會見到很多的函數，很多時候當知道了邊際函數而需求得總函數（即原函數）時就需要用積分來解決。例如知道了生產某產品a個的邊際成本函數，固定成本，并且知道了產品售價，在假設所生產的產品售罄的情況下，求生產量為多少時利潤會達到最大？在這個問題中我們首先就由邊際成本積分再加上固定成本求得生產該產品的總成本，繼而由利潤=銷售額-成本得到利潤和產量a之間的函數，分析該函數利用導數求得利潤最大時的產量。從而問題得到解決。

在人類學科史上積分是用來解決人們在生產活動過程中遇到的復雜和動態過程的量化累計。所以在經濟活動中，除了求總值還被應用到其它變量時間累積的總量等。所以即使經濟活動的復雜性，涉及的領域多，且函數表達方式都會有所不同，但究其根本的原理是一樣的。所以通過積分和微分的廣泛應用能很好地解決這些問題。微積分在經濟學上的應用可以說具有劃時代的意義，它使得經濟學的研究由原來的政治經濟學轉變為更純粹的研究如何利益最大化，如何用有限的資源創造出更大的價值上。在這個過程中經濟學的研究也更加定量化、精密化和準確化。

數學作為形式科學的一種在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用。作為學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具，數學同樣在經濟研究中必不可或缺。在經濟活動中對經濟環節進行定量分析是十分必要的，數學作為一個有力的定量分析工具可以更好地促使這些環節的進行。數學是工具同樣也是經濟學研究的翅膀。

參考文獻：

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（作者單位：中央民族大學理學院信息與計算科學專業 北京 100000）

（責編：賈偉）