規(guī)范與探究并行，著力提升運算能力

周冬波

摘要：筆者通過一道習(xí)題展開多種運算引發(fā)思考，提出了提高學(xué)生實際運算能力的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);運算能力;提高

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2016）04-081-1

一、問題的提出

在學(xué)習(xí)了橢圓的離心率后，布置學(xué)生做了這樣一道習(xí)題：已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦點F關(guān)于直線y=bcx的對稱點仍然落在橢圓上，求橢圓的離心率。

二、問題的探究

探究1：思路的確定

不少同學(xué)能立即提供本題的思路：先算出右焦點F關(guān)于直線y=bcx的對稱點的坐標(biāo);其次將所得對稱點的坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得到a，b，c的齊次等式，最后得到e的方程，解之得到解。

探究2：具體運算

8分鐘后，只有個別同學(xué)算出結(jié)果。很多同學(xué)一籌莫展，無法將運算進(jìn)行下去。我決定讓學(xué)生分步交流運算歷程：

第一步求對稱點的坐標(biāo)

運算一（1）：設(shè)過右焦點F且與直線y=bcx垂直的直線為y=-cb（x-c），將y=bcx，y=-cb（x-c）聯(lián)立得交點坐標(biāo)為（c3a2，bc2a2），由中點坐標(biāo)公式得對稱點坐標(biāo)為（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

運算一（2）：設(shè)對稱點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)對稱性得yx-c·bc=-1

y2=bc·x+c2，解方程組得（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

兩種思路的比較：思路一將點關(guān)于直線的對稱點轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱點，通過解一組二元一次方程組得以實現(xiàn)，解法自然簡捷;思路二是解析幾何的基本方法待定系數(shù)法的具體表現(xiàn)，同樣通過解一組二元一次方程組得以實現(xiàn)，解法也不錯，體現(xiàn)了大多數(shù)學(xué)生的運算基本功。

第二步將所得對稱點的坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得到a，b，c的齊次等式。

第三步解e的方程

運算：由4c6+c2a4=a6兩邊同除a6得4e6+e2=1，將e2=t得4t3+t=1，通過觀察得t=12為4t3+t=1的一個根，從而4t3+t-1=（t-12）（4t2+4t+5）=0，進(jìn)一步得4t3+t=1的根為12，從而e=22。

這一運算因為所得方程次數(shù)較高，使得不少學(xué)生不能順利運算，需要學(xué)生利用換元降次，觀察出特殊根因式分解降次等運算技巧。

探究3：思路的再分析

在經(jīng)歷三個步驟的運算后，不少學(xué)生開始自我演算，但這種比較繁瑣的運算讓平時數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的同學(xué)有些意猶未見，產(chǎn)生了尋求其他做法的思考。有同學(xué)提醒本題中有個特殊焦點，能否結(jié)合焦點具備的幾何關(guān)系來解決呢，這啟發(fā)了大多數(shù)同學(xué)開始積極的嘗試。幾分鐘后，有學(xué)生提供了解法。

三、幾點認(rèn)識

1.提升認(rèn)識，以解幾為契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。在高考中，幾乎所有的題目都需要運算，高考對運算能力的要求可以歸納為：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確變形、運算，能根據(jù)問題的條件，尋求設(shè)計合理、簡捷的運算途徑。因此，運算能力不僅僅是一種操作實踐能力，更重要的是一種容觀察、判斷、聯(lián)想、探究于一體的思維能力。

2.科學(xué)設(shè)計運算程序，分步解答，引導(dǎo)學(xué)生形成和應(yīng)用規(guī)范的解題思路，讓運算更準(zhǔn)確，更熟練。影響運算準(zhǔn)確的因素是多方面的，只要在運算全過程的某一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會導(dǎo)致整個運算的錯誤。在高考中重點強(qiáng)調(diào)的是：在運算過程中使用的概念要準(zhǔn)確無誤，使用的公式要準(zhǔn)確無誤，使用的法則要準(zhǔn)確無誤，最終才能保證運算結(jié)果的準(zhǔn)確無誤。絕大多數(shù)學(xué)生的解題運算往往是零散的、隨意的，沒有形成程序性和規(guī)范性，這導(dǎo)致很多學(xué)生該算對的、能算對的算不對。這就要求教師要讓學(xué)生明確什么是規(guī)范的解題運算并在實踐中不斷予以正確的示范以及對不規(guī)范的糾正。在習(xí)題教學(xué)中，很多教師一般采用如下程序教學(xué)：學(xué)生回報各自的思路，教師選擇具有代表性的思路，組織學(xué)生討論研究所提供思路的正誤和優(yōu)劣，讓學(xué)生再次提出新的解題思路，最后總結(jié)出所有思路的共性內(nèi)容和個性特點。而實際情況是有不少學(xué)生擁有解題思路但具體落實的時候因為運算的不準(zhǔn)確、不熟練、不規(guī)范，同樣無法完成一道題目，這就要求教師在解題教學(xué)中不僅要關(guān)注思路的構(gòu)建，整體解法的設(shè)計，還要更多地關(guān)注運算過程，尤其是常規(guī)運算的反復(fù)訓(xùn)練。

3.積累技巧，在探究中激發(fā)學(xué)生的運算潛能，讓運算更合理、更簡捷。較復(fù)雜的運算，往往是由多個較簡單的運算組合而成的，從而運算途徑的選擇具有多樣性。所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算時間省、運算的簡捷程度就高。而簡捷主要體現(xiàn)在運算過程中概念的靈活運用、公式的恰當(dāng)選擇，數(shù)學(xué)思想方法的合理使用上。這就要求我們要更多的關(guān)注運算層面，多探究，尤其是細(xì)節(jié)的完善，從而提升運算能力。