企業產品種群規模穩定性和年齡結構優化模型

伊輝勇,凌艷濤

(重慶科技學院工商管理學院,重慶401331)

企業產品種群規模穩定性和年齡結構優化模型

伊輝勇,凌艷濤

(重慶科技學院工商管理學院,重慶401331)

面對同一顧客群體的競爭性企業所提供的產品族譜之間具有相互替代、交叉衍生的互動關系.將企業產品族譜視為產品種群,探求如何確定產品種群的出生率(新產品開發率)和死亡率(老產品淘汰率)以使企業產品種群獲得持續活力.建立了不合理產品種群的修正模型,通過產品內部演化的動力學原理,揭示了維持產品穩定的條件和最終穩定狀態.在此基礎上以產品淘汰量為優化目標,建立了最優種群規模和年齡結構平衡模型.利用線性規劃方法,通過控制出生率和存活率來優化產品種群結構,最終使產品種群結構穩定在最優狀態.最后仿真驗證模型的可行性和有效性.

產品維護復雜性;產品種群;種群規模;年齡結構;線性規劃

1　引　言

對于大規模定制環境下的市場客戶而言,其需求變化有兩大趨勢:1)客戶需求空間變化越來越快;2)客戶需求越來越個性化,換句話說就是企業產品面對的細分市場容量越來越小.作為應對之策,企業必須迅速捕獲客戶瞬息萬變的需求及其變化趨勢,同時不斷增加產品型譜的規模.然而,不斷增加的產品型譜規模勢必會增加產品維護難度和管理成本[1].因此,企業在進行產品研發決策的時候必須考慮:1)產品型譜如何優化才能使產品型譜始終保有較高的競爭力,同時又不會超出企業產品開發和維護的能力;2)產品型譜應該如何更新換代才能始終較好地滿足客戶需求.為了解決上述問題,本文探討企業如何在保證產品型譜規模穩定性的前提下不斷優化產品的年齡結構.

種群可理解為在特定的時間內,占據一定空間的、自然的或人為的同種個體群[2].類似于自然界的種群,面對同一泛顧客群(這里指同一產品大類所面對的顧客群)并存在著相互競爭關系的企業所提供的產品集合之間具有相互替代、交叉衍生的互動關系.因此,可以用生態種群模型來研究產品族譜穩定性,并將產品族譜稱為產品種群(見表1).

表1　生物種群和產品種群特征比較Table 1 Comparison of characteristics of biological population and product population

近年來,生態學在不同的領域里受到格外重視與廣泛應用,而在產品管理應用方面大多數文獻集中于企業產品族規模和結構優化方面,也有少量作者考慮了產品的演化影響因素.Rober[3]指出消費者偏好的差異程度、產品開發的成本和產品的邊際收益,是企業確定產品線寬度和長度的主要因素.Fruchter等[4]引入遺傳算法探討產品項之間的蠶食現象,對相關條件下的產品線優化進行了求解.劉偉等[5]以產品族利潤最大化為目標,構建了基于消費者選擇和成本作用的產品族規模優化模型.此外,有學者利用生態種群競爭理論在解決動態競爭方面的優勢嘗試研究產品種群競爭,借以完成產品族規模和結構優化.Ommering[6]為了解決軟件產品開發過程的多樣性和通用性問題提出了產品種群的概念,通過軟件架構和模塊重組和拆分迅速完成軟件產品升級和進化.Kazuhiko等[7]以日本空調數量對氣候變暖影響為例,綜合生命周期評價和種群平衡模型來評價產品種群的社會規模對環境的影響.Kim等[8]利用考慮了生命周期的種群平衡模型來評估韓國電子和電子設備的浪費情況,取得了較好的效果.何斌等[9]提出了一種基于產品生態學的概念設計框架,在分析了產品基因、產品細胞、產品器官、產品生物體、產品種群和產品群落模型的基礎上,提出了產品生態學模型,探討了產品種群之間的競爭和演化問題.白讓讓[10]基于泊松模型的實證檢驗探討了細分市場間產品線水平延伸的因素分析.李春燕[11]借鑒生物種群之間的Lotka-Volterra競爭模型和理論,將其擴展到用于多種群之間的競爭分析,對不同廠家的創新產品在市場擴散時的競爭演化關系進行研究.陳瑜等[12]借鑒產業生態學的理念,通過引入生態學中Lotka-Volterra競爭捕食者模型,模擬研究了中國光伏產業生態系統的演化路徑.牛學杰等[13]基于組織生態理論,重點研究了生態化技術創新與制造業可持續發展之間的關系,并通過建立生態學數理模型進一步分析了生態化技術創新對制造業生態容量的擴大作用.

當前大部分文獻將生態種群理論和方法用于研究企業種群和產業種群間協同演化,但其應用尚停留在宏觀和中觀層面,而深入到企業的微觀層面——產品(商品)的文獻仍然很少.文獻[14]借助組織生態學理論提出產品種群的概念,研究兩個存在相互競爭關系的產品在線定制服務提供商的產品種群競爭演化過程,然后利用兩個種群互相競爭關系的數學模型模擬產品種群的競爭過程,討論雙方提供的產品種群規模達到均衡時的穩定條件及其經濟解.但是,對于企業如何達到這種平衡以及平衡后如何保持這種平衡沒有做詳盡的闡述,對企業應該制定怎樣的研發策略也未過多提及.本文基于種群穩定性理論,將企業產品型譜視為產品種群,探求如何確定產品種群的出生率(新產品開發率)和死亡率(老產品淘汰率)以使企業產品種群獲得持續活力,通過不斷優化產品種群的規模和年齡就夠來平衡客戶滿意度與產品維護難度、復雜性之間的矛盾.

2　產品種群穩定性和結構優化

2.1不合理的產品種群修正模型

為了平衡上述矛盾,企業需要確定合理的產品族規模,可以借鑒文獻[15]等確定合適的產品族規模.在很多情況下,企業實際的產品族規模與理想產品族規模會有很大差距,企業需要根據現有各年齡段產品數量,確定產品種群的新開發率和老產品淘汰率在規定的年限內達到理想的產品種群規模.

為此,假設si表示產品種群中第i年齡段產品存活的概率,si＞0,i=1,2,...,m-1,短期內可以假設為常數;bi表示產品種群中第i年齡段產品的衍生率,bi≥0,i=1,2,...,m,且bi不全為零,其主要取決于企業的研發策略,短期內可以假設為常數;N(k)表示第k年各年齡段產品的數量;Ni(k)表示第k年第i年齡段產品的數量.記ni(k)為第i個年齡段第k時段的種群數量,則n(k)可以表示為

根據以上假設可得

將式(2),式(3)改寫成如下矩陣形式

矩陣L有如下性質:矩陣L的正特征根是單重的且唯一,記為λ0.該特征根對應的一個特征向量為

若λ1是矩陣L的任意一個特征根,則必有|λ1|≤λ0.

若L第一行中至少有兩個順次的元素bi,bi+1＞ 0,則|λ1|＜ λ0,,其中c是與n(0)有關的常數.

隨著產品種群數量的增長,由于受顧客資源,技術儲備和產品管理成本等自然資源的制約,產品種群的數量不能無限制的增長,為了平衡滿足顧客個性化需求與產品維護難度和成本之間的矛盾,企業會選擇不斷優化產品結構而產品種群數量穩定在一個常數.

2.2最優種群規模和年齡結構穩定模型

假設種群的最大規模為N,在產品種群接近數量上限時,種群之間的競爭會變得越來越激烈從而會改變各年齡段種群的出生率和存活率,為了避免這種競爭,加入了限制矩陣對種群的結構進行修改,以達到持續增長的效果,加入限制以后使數量在上限附近保持穩定并使種群年齡結構保持最優.每次限制后的產品種群數量與上一次限制之后一樣.

假設產品種群中第i個年齡組的產品按hi的比例限制,稱其為第i組的限制率,得到限制矩陣H= diag(h1,h2,...,hm),則各組產品限制量可用向量HLn(k)表示,根據持續限制策略的要求得到方程Ln(k)-HLn(k)=n(k),n(k)是矩陣L-HL的特征值為1所對應的特征向量,易得

種群結構穩定的條件為

如果h1,h2,···,hm滿足式(7)就能保證產品種群的結構穩定,此時對應的一個特征向量為

作為企業,最關心的是在現有不同年齡段的產品種群下,制定怎樣的產品研發策略,使得產品種群數量逐漸接近最大值.下面考慮在任給的一個初始年齡向量n?=(n1(0),n2(0),...,nm(0))T后,怎樣確定hi才能保持產品種群數量持續穩定增加.根據式(8),令cn?=n(0),解得

因此可得

一個理性的企業會不斷調整其產品種群的年齡結構來不斷滿足客戶的需求,企業為了平衡客戶滿意度與產品維護成本、維護難度之間的矛盾,保持產品種群的競爭活力,企業通常會根據產品種群的初始年齡結構,大幅淘汰老舊產品,通過控制產品出生率和淘汰率來保持產品種群的結構穩定,從而在行業保持持續的競爭能力.

企業每年淘汰的老舊產品個數為

企業在最大可能持續淘汰老舊產品的同時,通過控制出生率和存活率來優化產品種群可以最終歸結為下列線性規劃問題

種群在滿足式(11)和式(12)時會選出一組與任意給定的初態數量相適應的出身率和存活率,企業可以通過調節投入力度來實現.種群會在最優的出身率和存活率下達到最優狀態.每個階段在激烈的競爭下企業都會根據上一年的末態量調整投入力度來保持產品以最適應的出身率和存活率長期維持穩態的生長.其穩態是種群的總量在競爭中會和前一年基本保持一致并且最大限度的接近環境的容納量.種群能夠在保持自身的競爭能力下最大限度的利用資源.

3　算例分析

3.1不合理的產品種群修正案例

企業受到資源、環境和能力的限制確定市場能接受的最大的產品種群數量為1 000個.為了簡化起見,將產品種群分為投入期、成長期和成熟期三個年齡階段(研究衰退期意義不大,因為所有的成熟期的產品都會進入衰退期,企業更關心的是在這三個時期的研發策略),各階段的初始值n(0)=(429,257,71)T.根據企業統計數據投入期到成長期的產品存活概率為0.5,成長期到成熟期的產品存活概率為0.3.企業計劃在5年時間內達到市場容量上限1 000個產品,為此企業要制定不同時期的新產品出生率.

由條件可得出產品的生長矩陣

生長矩陣的唯一正特征值

產品在生長過程中會以唯一正特征值的倍數穩定增長.為滿足企業在五年內達到市場容量上限特征值需要滿足以下條件,即757λ5≤1 000.

解得λ=1.054 0,在計劃5年內達到市場最大值時,產品的投入量每年以1.054倍的比例增張,到達市場上限時的各階段產品數量分別為558,335,92.總量為986,達到了市場上限的98.6%.

同時根據式(14)以0.01為步長借助搜索法可以解得滿足條件的各階段產品出生率.如表2和圖1所示.

表2　符合條件的部分出生率的值Table 2 The partial birth rate value of meeting the conditions

圖1　出生率所構成的三維曲面Fig.1 The 3D surface of birth rate

由于滿足特征值為1.054的各階段出生率組成的是一個單位立方體內的一個解曲面,各階段的取值有很多選擇,這也使得企業可根據自身的條件和資源限制靈活的計劃投入力度以滿足計劃需求.

3.2最優種群規模和年齡結構平衡案例

通過算例3.1的優化后,產品種群規模已經達到最優狀態n(0)=(558,335,92)T.保持競爭力是每個企業長期生存下去的動力.為了能夠持續的占領市場企業需要在已經達到市場上線的產品進行優勝劣汰.它會根據上一年各個階段產品的銷售量來確定本年度在各個階段的投入力度.根據企業統計數據此時投入期到成長期的產品存活概率為0.61,成長期到成熟期的產品存活概率為0.28.合適的優勝劣汰法則需要滿足以下條件:1)各階段的新產品投入量之和不能小于上一年的第一階段量;2)各階段產品的存活量不能小于上一年的下一階段3)產品的總量不能超過市場上線.通過借助MATLAB軟件可解得符合條件的bi,hi.其中bi和hi的部分解(維持穩定的可行解集合)如表3所示

表3　bi和hi的部分解Table 3 The partial solutions of biand hi

表3表示的是在滿足產品結構穩定的條件下,企業根據每年的初始態下各階段的數量應該選擇的投入力度和淘汰率,使得產品總量一直維持在不低于98.6%的高市場占有率的穩定趨勢.為了更直觀的分析企業的投入力度,將出生率隔離開進行分析,用雙三次樣條插值做出了bi的三維曲面圖.如圖2所示.

圖2　bi的三維取值圖Fig.2 Three dimensional value map of bi

企業同樣可以根據自身條件限制來計劃投入力度對產品進行適當的篩選和培育使得產品在激烈的市場競爭下能長期保持市場占有率.這也給了企業更多選擇的余地,使得制定產品計劃有更大的靈活度.

4　生長矩陣的參數靈敏度分析

令L=(li,j)n×n;Fj=l1,j,j=1,2,...,n和Pj=lj+1,j,j=1,2,...,n-1分別表示第j年齡組的出生率和存活率.該種群的發展趨勢被唯一的最大主特征值λ確定.因此,為了確定種群的未來,只需考察λ.λ是一個重要的參數.另一方面λ由Fi和Pi決定的.Fi和Pi的變化自然會影響λ的取值,進而種群的發展趨勢.

設個體的平均生育率R=F1+P1F2+···+P1P2+···+Pn-1Fn.參數的靈敏性判別法則如下:

R＜1時,Pi靈敏的條件是F1+P1F2+···+P1P2+···+Pn-1Fn≥1;

R＞1時,Pi靈敏的條件是F1+P1F2+···+P1P2+···+Pn-1Fn＜1;

Pi靈敏的生物學意義為,R＞1時,Pi靈敏的條件可以理解為,如果種群僅由i歲以下的個體組成,那么種群一定滅亡.只有把超過i歲的個體也添加到種群中時種群才能成為上升的種群.同理可對R＜1的靈敏性進行分析[16].

案例中R=F1+P1F2+···+P1P2F3=b1+0.5b2+0.15b3,代入滿足模型條件的出生率可以得到R的一系列取值.為了表示簡便,令M=F1,N=F1+P1F2部分計算值如表4所示.

表4　案例1和案例2的計算結果Table 4 The computed results of case 1 and case 2

由案例1可知R＞1,M ＜1則種群只包含一個年齡是不可長期生長下去的.但部分N＞1即通過選取合適的投入力度可以讓只含有兩個生長階段的種群保持穩定生長.對于本案例的三個階段種群來說F1+P1F2+···+P1P2F3＞1即生長矩陣不靈敏,三個階段的種群是可以保證長期按照主特征值λ的倍數穩定生長.

由案例2可知R＜1,M＜1,N＜1即生長矩陣不靈敏.即使種群中只有一個年齡段或兩個年齡段均可保證種群長期按照主特征值λ的倍數穩定生長.

通過以上分析可知三個生長階段的種群模型是穩定的.企業可以按照模型的求解和自身情況合理的設計研發力度方案來獲得持續的市場競爭力并且方案的設計具備靈活性.

5　結束語

本文基于種群穩定性理論,將企業產品型譜視為產品種群,探求如何確定產品種群的出生率(新產品開發率)和死亡率(老產品淘汰率)以使企業產品種群獲得持續活力.首先,建立了不合理的產品種群修正模型,通過產品內部演化的動力學原理,揭示了產品最終在穩定水平的狀態,其狀態是每一年的產品總量不會低于前一年并且能長期的保證高市場占有率以獲得持續的市場競爭力,而且能夠給企業更多的選擇去設計投入力度方案;然后,建立了最優種群規模和年齡結構平衡模型,通過控制出生率和存活率來優化產品種群結構,利用線性規劃方法最終使產品種群結構穩定在最優狀態,模型給出了一系列的最優出生率和存活率,企業可根據自身的實際情況靈活的選擇產品設計方案.最后對模型的參數進行了靈敏性分析以檢驗模型的魯棒性,計算出檢驗數據并與檢驗條件做了比對,結果表明模型是不靈敏的,即初始量的變動只會對生長矩陣的主特征值產生很微小的變動.模型具備抗擾性.經過上述方法不斷優化產品種群的規模和年齡,就能夠來平衡客戶滿意度與產品維護難度、復雜性之間的矛盾.然而,在實踐中無論是在產品種群數量上,還是產品年齡結構上,其復雜性遠遠超過本文所設定的情形;因此,本文僅限于理論與方法的探討,實際應用中還需要大量的擴充,其計算復雜性也將顯著增加.

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Optimization model for enterprise product population size stability and age structure

Yi Huiyong,Ling Yantao
(College of Business Administration,Chongqing University of Science and Technology,Chongqing 401331,China)

For the same customer groups,product spectrums are mutual substitutes for and derivatives from each other for competitive enterprises.This paper treats the enterprise products pectrum as product population, and explores how to determine the product population’s birth rate(the rate of new product development)and mortality(the elimination rate of old products)in order to enable enterprises to obtain sustainable product population activity.First,a modified model about abnormal product population is set up through the evolutionary dynamics of internal products to reveal the products’stable conditions and the final state.The number of the phase-out products is regarded as the optimization target.The optimal population size and age structure balance model are presented.Linear programming is used to control the birth rate and the survival rate,and then the product population structure is optimized in order to keep the product structure in an optimal state.Finally,an simulation verified the feasibility and effectiveness of the model.

product maintenance complexity;product population;population size;age structure;linear programming

F272.3

A

1000-5781(2016)05-0575-09

10.13383/j.cnki.jse.2016.05.001

2013-09-22;

2014-11-27.

國家自然科學基金資助項目(71102144);重慶市自然科學基金資助項目(cstc2013jcyjA60003).

伊輝勇(1977—),男,遼寧蓋州人,博士,教授,研究方向:網絡營銷,在線大規模定制,Email:yihuiyong1977@126.com;

凌艷濤(1990—),男,河南固始人,碩士生,研究方向:金融數學,數量經濟學,Email:1334873728@qq.com.