極坐標法測設(shè)曲線及誤差分析

張 瑞 花

(太原晉萬通公路勘察設(shè)計有限公司，山西 太原 030006)

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·測量·

極坐標法測設(shè)曲線及誤差分析

張 瑞 花

(太原晉萬通公路勘察設(shè)計有限公司，山西 太原 030006)

通過對控制測量成果的分析，提出了曲線交點坐標在同一假定坐標系下的求解方法，并闡述了極坐標法在曲線測設(shè)中的應(yīng)用，對放樣誤差作了研究，以供參考。

極坐標法，曲線，交點坐標，放樣誤差

0 引言

傳統(tǒng)意義上的任意點極坐標法測設(shè)曲線，曲線的坐標系大都是以ZH(或HZ)為坐標原點，切線方向為坐標x軸建立起來的，這樣的坐標系對于一條曲線來講，ZH一側(cè)的坐標系與HZ一側(cè)的坐標系需要平移，才能轉(zhuǎn)化為同一坐標系統(tǒng)；并且相鄰的曲線坐標系都是相互獨立的，沒有聯(lián)系。所謂的任意點置鏡，也指是在放樣時，臨時置鏡曲線上某一已知點(如ZH或HZ)，后視一已知點(如JD)，然后再任意找一點P，測出夾角以及距離，從而確立以點P為原點，P-ZH方向為一坐標軸的坐標系統(tǒng)，再置鏡P點，后視ZH測設(shè)曲線。這樣臨時確定的坐標系統(tǒng)及基準測點P精度很低。

如果能夠?qū)⒕€路中線上的點納入導(dǎo)線控制網(wǎng)的坐標系統(tǒng)中，那么，所有的直線和曲線都將與導(dǎo)線網(wǎng)產(chǎn)生聯(lián)系。為此，我們只需在平面控制測量中做一些工作，然后通過對控制測量成果做一些數(shù)學(xué)解算，即可將線路中線納入導(dǎo)線網(wǎng)絡(luò)中。

1 交點坐標的解算

1)導(dǎo)線的布設(shè)。導(dǎo)線沿線路走向直伸布設(shè)，邊長盡可能長。線路每條直線上的轉(zhuǎn)點(即切線方向上的點)至少有兩個作為導(dǎo)線點。

2)轉(zhuǎn)向角的獲得和曲線要素的重新計算?？刂茰y量完成后，經(jīng)過平差，得到了每條曲線兩端直線(在切線方向上)點的坐標。根據(jù)這些坐標值反算得到兩條直線的坐標方位角，兩方位角相減，得到了精測的轉(zhuǎn)向角α，它的精度較定測時的轉(zhuǎn)向角精確得多。由于精測得到的轉(zhuǎn)向角與定測有一定的差異，那么曲線的部分要素也發(fā)生了變化。在定測時，曲線要素是查表計算的，只精確到厘米，為了使曲線要素與導(dǎo)線網(wǎng)的精度相匹配，需重新計算曲線要素。

3)計算交點坐標。根據(jù)平面控制測量的成果，每條曲線兩端切線方向上至少有兩個點坐標值已知，根據(jù)兩點確定一條直線的定理，這兩條直線可分別表示為一次函數(shù)y1=k1x1+b1，y2=k2x2+b2；又根據(jù)交點的定義可知，這兩條直線在交點處有一組公共解。令y1=y2，x1=x2，通過解二元一次方程組，得到的這個公共解即為交點的坐標(x，y)。

示例：已知某線某段JD135-2曲線兩端切線方向上的點的坐標，如圖1所示：控制測量成果中，直線上轉(zhuǎn)點的坐標為：ZD135-1(3 359.817 9，-121.880 0);ZD135-2(3 857.693 0，-75.832 5);ZD135-3(4 222.188，-7.169);ZD135-4(4 241.251，1.768)。

交點坐標的求解。

1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，直線ZD135-1～ZD135-2可表示為：

x1=k1y1+b1。

將上述ZD135-1，ZD135-2兩個點的坐標值代入，得到兩個二元一次方程：

解以k1，b1為未知數(shù)的二元一次方程組，得:

k1=10.812 2。

b1=4 677.609 7。

x1=10.812 2y1+4 677.609 7(直線x1的表達式)

2)同理：x2=k2y2+b2。

x2=2.133y2+4 237.479 8(直線x2的表達式)。

3)在交點處，x2=x1=x，y2=y1=y。

解二元一次方程組，得:

y=-50.711。

x=4 129.313。

交點的坐標為：JD135-2(4 129.313，-50.711)。

2 曲線上點的坐標計算程序(CASIO·fx-4500P計算器)

1)程序概述。本程序可以完成緩和曲線、圓曲線上任意點的坐標計算?？刂茰y量完成后，所有曲線上的點都納入了導(dǎo)線網(wǎng)這一坐標系統(tǒng)，通過解方程組可以得出所有曲線的交點坐標以及相鄰兩交點間夾直線(在切線方向上)的坐標方位角，然后根據(jù)導(dǎo)線坐標增量的計算方法，計算出任意一點的坐標。

2)數(shù)學(xué)模型。坐標計算程序見表1，表2。

3)標識符及變量意義說明：XJD,YJD均為該曲線交點的坐標；R為圓曲線半徑；L0為緩和曲線長；T為切線長；L為曲線上任意一點至ZH(或HZ)的弧長；U為交點到曲線中線點在切線上投影點的坐標方位角；V為投影到曲線中線點的坐標方位角。

程序中，共有8個變量，但對于同一條曲線而言，在重復(fù)執(zhí)行過程中，變化的量只有弧長L一個。在計算QZ點另一側(cè)的坐標時，U，V也將變化。

表1 坐標計算程序Ⅰ(緩和曲線)

表2 坐標計算程序Ⅱ(圓曲線)

3 極坐標法在曲線測設(shè)中的應(yīng)用

置鏡已知控制點A，后視另一已知控制點B，預(yù)置已知坐標方位角αA～B，則置鏡點至待測點P的方位角和距離為：

αA～P=tan-1(YP-YA)/(XP-XA)(得出角度后判別象限)；

DAP=[(XA-XP)2+(YA-YP)2]1/2。

一般程序計算器中，都有直角坐標與極坐標轉(zhuǎn)化功能，按反算鍵SHIFT POL得出的角度即為方位角。

4 精度分析

放樣誤差。極坐標法放樣，不論是一般點位，還是曲線測設(shè)，都是通過方位角和距離完成的，即：

其中，X0,Y0,Z0均為測站坐標；i0,j0分別為儀器高、棱鏡高。

對上式微分并轉(zhuǎn)換成中誤差后，得：

D2cos2Vcos2A(mV/ρ)2+D2sin2Vsin2A(ma/ρ)2。

D2cos2Vsin2A(mV/ρ)2+D2sin2Vcos2A(ma/ρ)2。

點位的平面誤差為：

m2=sin2V(mD/D)2·D2+D2cos2V(mV/ρ)2+D2sin2V(ma/ρ)2。

因為放樣時豎直角一般很小，即天頂距V接近于90°，則上式又可寫成：

m2=(mD/D)2·D2+D2(ma/P)2

由此可知，當儀器的測角誤差，測距誤差和儀器高度、棱鏡高度的誤差確定后，放樣點的精度決定于放樣邊長，對于測距中誤差mD=3mm+2ppm，測角中誤差ma=mV=±1.5，mi0=mj0=±1mm，則不同邊長的放樣精度如表3所示。

表3 放樣精度表

5 結(jié)語

1)通過在平面控制測量中，將線路中線上的點納入導(dǎo)線網(wǎng)坐標系統(tǒng)下，使整個線路每條曲線的坐標系不再相互獨立，產(chǎn)生了聯(lián)系。

2)以導(dǎo)線控制點作為置鏡的任意點，提高了曲線測設(shè)的精度。

[1] 朱成粼,王兆祥.鐵道工程測量學(xué)[M].北京：中國鐵道出版社，2013.

[2] TB 10101— 99,新建鐵路工程測量規(guī)范[S].

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

On curve design and measurement with polar coordinate method and its error analysis

Zhang Ruihua

(TaiyuanJinwantongRoadSurveyandDesignCo.,Ltd,Taiyuan030006,China)

According to the analysis of the controlled measurement results, the paper points out the curve intersection coordinate’s solution method under the same assumed coordinate, illustrates the application of the polar coordinate method in designing and measuring curves, and researches the sampling errors, so as to provide some reference.

polar coordinate method, curve, intersection coordinate, sampling error

1009-6825(2016)22-0192-02

2016-05-24

張瑞花(1979- )，女，助理工程師

TU198

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