奇思妙想解方程（組）與不等式（組）

萬志建　嚴　正

奇思妙想解方程（組）與不等式（組）

萬志建嚴正

我們在解方程（組）與不等式（組）時，不但要理解性質(zhì)，掌握解題的一般方法，還要熟能生巧，領(lǐng)悟和掌握一些特殊的解題技巧，出奇制勝，事半功倍.

一、不解之緣

A.-4B.4C.-2D.2

【解析】若按常理，我們往往是先求出方程組的解得到a=2與b=2，再確定出a+b= 4.但我們仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)，如果把上述二式相加可得4a+4b=16，a與b的系數(shù)正好相同，方程兩邊同時除以這個系數(shù)便可以直接得到a+b=4.

【說明】如果給出一個方程組，要求兩個未知數(shù)的和或差，我們可先嘗試把這兩個方程對應(yīng)相加或相減，觀察兩個未知數(shù)的系數(shù)是否相同，如果相同，那么方程兩邊同時除以這個系數(shù)，便可直接求出兩個未知數(shù)的和或差.

又如（2015·四川南充）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則k的值是_______.同學(xué)們自己試一下.

二、整零互化

【解析一】觀察該不等式，發(fā)現(xiàn)（x-1）出現(xiàn)的頻率較多，如果把右邊的“1”移項至左邊與x組合，便又產(chǎn)生（x-1）這種形式，所以在解本題時，我們可以把（x-1）看作一個整體，先化成如下式子（x-1）＞0，然后合并（x-1）的系數(shù)可得＞0，最終可化為x-1＞0，所以x＞1.

【解析二】我們不難發(fā)現(xiàn)，含有分母的式子它們的分母都是單項式，所以我們可以把分子與分母直接相除，化為，然后把常數(shù)項移至不等式右邊，左邊合并同類項可得：，兩邊都含有“1所以直接可化為x＞1.

【說明】在解方程或不等式時，如果出現(xiàn)某些部分形式一致，則可以把這些部分看成一個整體進行求解，這種解法在減少多項式項數(shù)，降低多項式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨到作用.有時也可以根據(jù)題目的特點，如果分母正好是單項式，可以嘗試把分子與分母單獨直接相除，但這種解法要特別注意變號問題.

三、融會貫通

【解析】如果我們認真研究不等式的解集，不難發(fā)現(xiàn)，如果方程ax=b的解為m，那么不等式ax＞b（或ax

【說明】在確定原不等式解集時，應(yīng)盡量取一些特殊簡潔的數(shù)值，從而簡便運算，“秒殺”不等號方向.如果所取的數(shù)值代入原不等式后，原不等式成立，則它所滿足的未知數(shù)的取值范圍是原不等式的解集，反之則不等號方向改變.

這種方法尤其適合不等式應(yīng)用題，因為有些同學(xué)在列不等式解應(yīng)用題時往往不知道究竟用“＞、≥”還是“＜、≤”.如：礦山爆破時，為了確保安全，點燃引火線后，人要在爆破前轉(zhuǎn)移到300米以外的安全地區(qū).引火線燃燒的速度是0.8厘米每秒，人離開速度是5米每秒，問引火線至少需要多少厘米？此時可以先考慮臨界點，什么時候正好相距300米？便可從方程的角度求解，找出臨界點，再根據(jù)題意確定范圍.

四、數(shù)形結(jié)合

圖1

要確保有三個整數(shù)解，只能在1的左邊順次取三個整數(shù)：0，-1，-2.接下來考慮a的范圍，我們首先要考慮邊界數(shù)字-2，a=-2是否可以，如果a=-2，那么意味著x＞-2，此時只有兩個整數(shù)解了，說明a≠-2，只能比-2小，然后再考慮把a逐步向左移動，觀察a=-3是否可行，比-3小些是否也行，最終通過數(shù)軸探究出-3≤a<-2.

【說明】“數(shù)形結(jié)合”是極其重要的思想方法，我們在解含有字母的不等式時，盡可能借助數(shù)軸探尋解集，化抽象為直觀，找到解題的突破口.

例5（2015·徐州）若函數(shù)y=kx-b的圖像如圖2所示，則關(guān)于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集為（）.

A.x＜2B.x＞2

C.x＜5D.x＞5

圖2

【解析】在求解關(guān)于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集時，不妨把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= k（x-3）-b大于零時x的取值范圍，不難發(fā)現(xiàn)，與題中給我們提供的函數(shù)y=kx-b相比，自變量x相差3，其余都一樣，借用“自變量加減左右移”的口訣，可以把y=k（x-3）-b的圖像看作是由y=kx-b的圖像向右平移3個單位得到的，由于y=kx-b與x軸的交點為（2，0），所以函數(shù)y=k（x-3）-b與x軸的交點為（5，0）.又因為k＜0，y隨x的增大而減小，所以解集是x＜5.

【說明】在解一元一次不等式（組）時，可以結(jié)合一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，巧妙解題，解決此類問題關(guān)鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點，如交點、原點等.

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學(xué)、江蘇省無錫市張涇中學(xué)）