巧解方程與不等式中的較難題

金楊建

巧解方程與不等式中的較難題

金楊建

在各地中考試卷中，經常會出現有關一次方程與一次不等式的較難題，這些難題帶給我們許多精彩而又巧妙的解法.用這些方法處理這些復雜或難度較大的問題時，會有意想不到的“神奇”效果.

一、求解口訣顯身手

在求不等式組的解集時，往往會用到一些基本口訣.“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”.這種口訣對于確定無參數不等式組的解集最為適用，其實對于確定含參數的不等式組的解集也適用.

方法歸納：解決含參數不等式組解集存在性問題往往有兩步：第一步，化簡不等式組；第二步，利用口訣，結合題意進行判斷.因此，掌握求不等式組解集的口訣，對于解決含參數的不等式組解集的相關問題也很實用.但需要熟練掌握口訣，并且注意等號的取舍.

A.a<-36B.a≤-36

C.a>-36D.a≥-36

二、數形結合出奇效

有時，在處理不等式或不等式組解集中整數解個數相關問題時，口訣往往行不通.這時，則需要借助數軸，利用數形結合的方法進行判斷.

例2（2015·南通）關于x的不等式xb＞0恰有兩個負整數解，則b的取值范圍是（）.

A.-3＜b＜-2B.-3＜b≤-2

C.-3≤b≤-2D.-3≤b＜-2

【解析】解不等式x-b＞0得x＞b，因為不等式有兩個負整數解，所以這兩個負整數解為-1，-2.故b的值不能太大，否則就不一定含有這兩個負數，也不能太小，否則就不止含有這兩個負數.這時，可以利用數軸輔助進行判斷.因為x＞b，所以在數軸上表示時是空心向右.為了包含兩個負整數解-1，-2，空心圈應該在-2與-3之間，這一步我們稱為“初定范圍”，如圖1.

圖1

從圖中可看出，如果空心圈圈在-2處，解集中僅含有一個負整數解-1，不符合題意，故b不能等于-2；如果空心圈圈在-3處，解集中仍含有兩個負整數-1、-2，符合題意，故b可以等于3.所以-3≤b＜-2，這一步我們稱為“再定端點”.故選擇D.

A.-1≤m<0B.-1

C.-1≤m≤0D.-1

【解析】畫出數軸，在數軸上表示出x＜1的解集，如圖2.因為不等式組恰好有兩個整數解，由圖像2知，這兩個整數解是0和-1，

圖2

故m-1應在-2與-1之間（初定范圍）.

如果空心圈在-1處，解集中僅含有一個整數解0，不符合題意，故m-1不能等于-1；如果空心圈在-2處，解集中仍含有兩個整數-1、0，符合題意，故m-1可以等于-2.所以-2≤m-1＜-1（再定端點），解得-1≤m<0，故選擇A.

A.7＜a≤8B.6＜a≤7

C.7≤a＜8D.7≤a≤8

【解析】本題與變式1類似，先求出不等式組的解集為2＜x＜a，然后根據不等式組的解集中只有5個整數解，畫數軸，確定整數解是3，4，5，6，7，最后確定a的取值范圍為7＜a≤8，故答案為A.

A.-1≤m<0B.-1

C.-1≤m≤0D.-1

【解析】本題是直接在2015年湖南永州中考卷的試題基礎上改編而來，只有一個不等號的差異，解題方法基本相同，但“再定端點”這個環節卻有不同.

圖3

因為x≥m-1，故在數軸上表示x≥m-1的解集時應用實心點，即這個點所表示的數值取得到.因此-2＜m-1≤-1，解得-1＜m≤0，故答案為B.

【方法歸納】解決不等式或不等式組解集中整數解個數問題時，往往有三步：第一步，解出各不等式；第二步，畫出數軸，初定范圍；第三步，結合個數，再定端點.定端點時，一定要結合“實心”“空心”圍繞整數點個數進行討論，這樣才能準確得到答案.

A.7＜a≤8B.6＜a≤7

C.7≤a＜8D.7≤a≤8

三、整體思想來幫忙

在不等式組或方程組中，經常需要我們根據已知的條件，求一個代數式的值或范圍，有時甚至是解一個非常復雜的方程.此時，我們往往不能真的去解出未知數的值或解集，也沒有必要去求解.

【解析】兩式相加得3a+b=8，直接得到結果！

【解析】當然，本題也可以解出方程組的解（用m表示），再根據x+y＞0建立不等式，求出m的范圍，但這種方法計算量較大.

若將②-①×2，可得x+y=m-4，又因為x+ y＞0，所以m＞4.

從上述兩題，一眼可得直接法與整體法的優劣，但整體法的思維力度較大.

【解析】新方程組中的x-1相當于原方程組中x，y+1相當于原方程組中y，故即

【方法歸納】“整體思想”是當我們遇到問題時，并不著眼于問題的各個部分，而是將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體與局部之間的內在聯系來解決問題的思想方法.這種方法思維量大，但計算量少，可以實現多思少算的目的.同學們不妨試一試下面這個練習：

上述三種方法是處理方程與不等式中難題的基本方法.對于不同的題目應靈活使用，這樣才能快速而又準確地得到答案，從而在考場中勝人一籌.

練習參考答案

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）