巧用整體思想妙解難題

范洪雷

巧用整體思想妙解難題

范洪雷

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，根據研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養思維的靈活性、敏捷性.在代數式的化簡求值時常用此法.

我們可從一道例題說起：

例1（蘇科版《數學》教材七年級上冊，第82頁議一議）

求代數式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中

【分析】此題x，y的值已知，所以可以直接代入求值，但是計算過程煩瑣.我們通過觀察發現，所求代數式之間都有（x-2y），所以把（x-2y）看成一個整體a，合并后再求值.

解：設x-2y=a，

原式=5a-3a+8a-4a=6a，

【分析】根據條件顯然無法計算出x，y的值，只能考慮在所求代數式中構造出的形式，再整體代入求解.

【點評】根據條件的結構特征，合理變形，構造出條件中含有的模型，然后整體代入.從整體上把握解的方向和策略，使復雜問題簡單化.

例3已知代數式x2+x+3的值是5，求代數式-3x2-3x+6的值.

【分析】當所求代數式的項與已知代數式中相應的項成倍數關系時，可考慮用整體代入求值.本題可把x2+x看成整體，進行整體代入.

解：因為x2+x+3=5，所以x2+x=2，所以

-3x2-3x+6

=-3（x2+x）+6

=-3×2+6

=0.

【點評】整體代入求值時，關鍵要分清所求代數式與已知代數式之間的關系，適當變形后再整體代入計算.

【分析】從表面看本題是一道常規的化簡求值題，其常規解法就是先化簡所給的式子，然后求出a的值，最后代入求值.但當我們將所給式子進行化簡后，發現有“a2-a”這樣一個整體，此時就可以不求a的值，進行整體代入求值會更簡便.

=（a-2）（a+1）

=a2-a-2，

所以，當a2-a-1=0時，即a2-a=1，

原式=1-2=-1.

【點評】分式化簡求值中經常運用整體思想，有些問題，從表面上看需要求出相關量，但實質上若從整體上把握這些量之間的關系，思路更為明朗，解法更為巧妙.

【分析】所要計算的四個括號中有相似的結構，可把其中兩個分別看作一個整體，用相應字母代替，使運算簡化.

【點評】本題直接計算非常復雜，根據題目結構特點進行整體設元，從而使運算變得簡便.

例6已知x2-x-1=0，試求代數式-x3+ 2x+2008的值.

【分析】考慮所求式有3次方，而已知式可變形為x2=x+1.這樣由乘法的分配律可將x3寫成x2·x=x（x+1）=x2+x，這樣可將3次降為2次，再進一步變形即可求解.

解：因為x2-x-1=0，所以x2=x+1，則

-x3+2x+2008

=-x2·x+2x+2008

=-x（x+1）+2x+2008

=-x2+x+2008

=-（x2-x-1）+2007

=2007.

【點評】本題是初中階段很少接觸到的三次方程，那么用初中階段的知識直接解題是肯定行不通的，所以這個時候我們就要考慮如何降次，所需解題的技巧性還是很強的，同學們還可考慮更高次的方程該如何解決.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）