全變分2范數有限差分小波域成像測井圖像缺陷修復算法

林光明,張 健,張 順

(1.武漢理工大學 計算機科學與技術學院, 湖北 武漢 430070; 2.武漢理工大學 信息工程學院,湖北 武漢 430070; 3.華北油田測井公司,河北 任丘 062550)

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全變分2范數有限差分小波域成像測井圖像缺陷修復算法

林光明1,張 健2,張 順3

(1.武漢理工大學 計算機科學與技術學院, 湖北 武漢 430070; 2.武漢理工大學 信息工程學院,湖北 武漢 430070; 3.華北油田測井公司,河北 任丘 062550)

針對超聲成像測井中因各種不確定因素而導致測井圖像中出現帶狀異常區域的現象,通過分析修復異常區域所采用的常規方法尤其是小波域修復方法的不足,文章提出了一種能夠有效解決該類問題的全變分2范數有限差分小波域超聲測井圖像修復算法。首先,設計基于圖像相鄰行相關值與絕對誤差值相結合的“鏈條”異常區域自動識別算法,實現對異常區域的準確定位;然后，針對全變分小波域圖像修復過程中出現的“分片常數”效應,設計一種全變分2范數有限差分小波域修復算法來有效消除該影響。通過實際測井資料處理結果與標準測井圖像效果的比對，證明該算法進一步提升了針對“鏈條”異常區域的修復效果,為后期圖像資料中該類狀況的修復提供了有效的解決方案。

2范數;有限差分;改進;全變分小波域;缺陷修復

0 引 言

超聲成像測井技術在工程上應用較為廣泛。當今世界上最先進的測井技術是美國研發的三維特征測井方法,該方法利用井下陣列傳感器沿井眼縱向、徑向掃描從而采集大量的層數據信息,再根據采集到的數據使用圖像處理方法獲得井眼附近的三維圖像或井壁的二維圖像[1],因此,所獲得的目標圖像比曲線方式更加直觀、精確和方便。

但由于超聲成像測井設備在移動測繪成像過程中,受制于井下阻力不均勻的干擾,會出現驟停現象,而由于測井電纜彈性形變的存在,導致在驟停深度上測井設備會反復進行掃描成像,相應的深度測量儀器也不停地在勻速運動,造成測井數據與深度位置的不匹配,將會在測井圖像中出現帶狀分布區域,稱為“鏈條效應”[2]。

為解決該問題,文獻[3]采用偏微分方程方式對超聲成像測井獲得的圖像進行修復;文獻[4]利用總體變分模型(TV模型)對測井圖像進行修復;文獻[5]利用成像紋理設計了測井成像的修復算法。后續學者也提出了許多改進方法并取得了一定效果,但總體上這些修復方案在針對曲線或面積較小圖像區域修復時效果較好,而當圖像異常或區域較大時則效果不佳。

因此,本文提出了一種基于圖像相鄰行絕對誤差的帶狀區域自動識別算法,在實現對該類區域準確定位的同時,借助于小波域在圖像修復方面的優勢,設計了一種全變分2范數有限差分小波域成像測井修正算法,以期能夠較好地解決該類問題。

1 “鏈條效應”分布區域自動識別方法

在進行超聲成像測井圖像修復過程中,“鏈條”區域的確定是該修復過程中的重要環節,若無法準確定位“鏈條”的異常區域,則圖像修復算法將無法準確應用。由于“鏈條”區域是測井成像儀器在同一深度進行重復掃描所形成的異常區域[2],因此在該區域中相鄰兩行數據的相關性非常好;根據這個特性,對于鏈條區域的自動識別可采用基于相鄰行相關值與絕對誤差值相結合的自動識別方法。

“鏈條”異常區域如圖1所示。

圖1 “鏈條”異常區域

假設成像測井圖像資料的起始深度為D1st,而結束深度為D1end,則從超聲成像測井圖像資料的起始深度D1st開始計算。“鏈條”異常區域的自動識別算法步驟如下：

(1) 讀取當前圖像深度行D1cur的超聲成像測井圖像數據A(D1cur,k),然后計算與其相鄰m行圖像數據A(D1cur+m,k)的相關值,即:

(1)

其中,N為成像測井儀器對井壁掃描1圈的采樣點數;A(D1cur+p,k)為與深度D1cur相鄰p行的圖像數據。

(2) 判斷步驟(1)中計算得到的m個相關值是否都大于相關值閾值Rmax,即

(2)

若(2)式中R(D1cur)≤Rmax,則說明深度行D1cur不在鏈條異常區域,跳轉步驟(1),令D1cur=D1cur+1,繼續對下一行圖像進行判別;若(2)式成立,則記錄滿足條件的m′≤m值,跳轉步驟(3)。

(3) 步驟(2)計算得到m′值,則圖像區域[D1cur,D1cur+m′]為鏈條異常區域的預估值,跳轉步驟(4),利用相鄰行絕對誤差值對圖像鏈條的異常區域進行準確定位。

(4) 讀取當前圖像深度行D1cur的成像測井圖像數據A(D1cur,k),然后計算與其相鄰p行圖像數據A(D1cur+p,k)的列誤差絕對值和,即

(3)

其中,m′的值為上一步計算得到的異常區域的預估值。

(5) 判斷步驟(4)中計算得到的m′個相關值是否都小于閾值Smin，即

(4)

若(4)式中S(D1cur)>Smin,則說明深度行D1cur不在異常區域,跳轉步驟(4),令D1cur=D1cur+1,繼續對下一行圖像進行判別;若(4)式成立,則記錄滿足條件的m″≤m′值。

(6) 輸出D1cur和m″,即為“鏈條”區域的限定值。

上述步驟通過采用基于相鄰行相關值的方式對異常區域進行預估,然后利用絕對誤差值作為補充對異常區域進一步細化,使得定位區域更加準確可靠,為修復算法奠定良好基礎。

2 小波域圖像修復算法

“鏈條效應”產生的主要原因是由于井下阻力不均勻而造成測井數據與深度位置不匹配,工程上常用的方法是根據“鏈條”區域上下邊緣的測量數據進行插值得到[6]。實踐證明,這種插值方法在處理較窄“鏈條”時能夠得到很好的效果,但當“鏈條”區域過大時則修復效果不佳。文獻[7]提出了一種全變分小波域圖像修復算法,但是在實際應用該修復算法時發現,在小波穩態解中會出現“分片常數”效應,影響圖像修復的效果。本文結合2范數采用有限差分方法對該小波域圖像修復算法進行改進。

2.1 全變分小波域圖像修復算法模型

假設圖像可表述為:

(5)

其中,u0(x)為成像測井原始圖像;n(x)為圖像噪聲,一般實驗環境下取為高斯白噪聲。假設圖像大小為n×m,則z(x)的標準正交小波變換形式為:

(6)

在小波變換圖像表示中,β={βj,k}為小波系數。需要注意的是,該模型中并未區分系數的高、低頻,這樣處理的原因為:① 簡化計算;② 該模型在高、低頻范圍內允許出現一定系數的丟失。在實際應用中,噪聲與數據丟包情況不可避免,造成的后果是小波系數的丟失;而剩余的系數又要受到噪聲的干擾。為準確表述小波域圖像,文獻[8]提出含噪聲的全變分小波域圖像修復算法模型為:

(7)

其中,當不存在噪聲時，λ=0;若j、k∈D,其中D屬于圖像待修復區域,則λj,k=0;若j、k?D,則λj,k為正常數。引入時間變量t，采用梯度下降法可求得小波系數為:

(8)

圖2 全變分特性

圖2表征的是3條單調遞增的曲(直)線函數。若u∈[a,b],并且函數在[a,b]范圍內單調遞增,滿足u(a)=α,u(b)=β,那么上述3種曲線函數的全變分結果都相同,即

(9)

從圖像形態學的角度上分析這3條線段是完全不同的,特別是利用(7)式進行修復時,小波域系數與曲率的計算不在同一個域中。因而,采用全變分方式修復圖像時會導致小波系數穩態值中出現“分片常數”效應,進而影響圖像修復效果。

2.2 改進型全變分小波域圖像修復算法模型

圖像修復在像素域上的主要工作是修正異常區域的像素值[8-9],而在小波域上的主要工作是補充經過小波變換之后缺失的系數。如前所述,全變分小波修復方式在穩態時存在“分片常數”效應,這會直接影響修復效果。而全變分小波域修復方式因其具備較強的邊緣保持能力,適應于異常“鏈條”區域較窄情況下的修復;但當異常“鏈條”區域較寬時,該算法平滑性的不足容易產生邊緣階梯效應。而2范數∫|u(β,x)|2dx同全變分∫|u(β,x)|dx相比正好相反,圖2中3條曲線的2范數關系為:

(10)

其各向同性擴散系數與沿梯度的擴散系數一致,不會產生階梯效應，但是會導致邊緣模糊。綜合這2種方式的優點,對小波域模型進行改進,得到的模型如下:

(11)

其中,j、k∈D,D屬于圖像待修復區域;τ∈[0,1]為權重系數,用來調整全變分與2范數的比重。

2.3 改進算法模型的有限差分求解

假設βD={βj,k|j,k∈D}為“鏈條”異常區域待修復小波系數,采用有限差分方式求解如下:

(12)

若母波函數φ滿足(11)式,那么(12)式由分部積分可得:

(13)

為簡化公式表示,令

(14)

計算過程中需要在小波域與像素域之間進行轉換。首先在像素域中進行計算,對于“鏈條”異常區域的每個點(i,j)有:

(15)

然后將像素域轉換至小波基投影,即

(16)

改進算法的有限差分求解步驟如下：

(2) 若i

(3) 令βold=βnew,并根據(14)～(16)式計算“鏈條”異常區域像素域到小波基投影。

(4) 對于每個像素點(j,k),更新其小波系數，即

(17)

其中

(18)

(5) 更新算法偏差E=‖βnew-βold‖2,并令i=i+1,轉步驟(2)。

(6) 終止條件滿足,終止算法并輸出修復后的小波參數βD={βj,k|j,k∈D}。

3 仿真結果與分析

仿真數據資料來自阿爾7井的超聲成像測井圖像。阿爾7井位于內蒙古自治區二連盆地,隸屬于華北油田二連公司。原始圖像、“鏈狀區域”自動定位識別仿真圖以及采用3種不同類型小波算法修復效果的對比如圖3所示。仿真參數采用Daubechines 9/7雙正交小波;圖像噪聲參數選取λ=0.05[10-11];仿真硬件平臺配置為AMD A10-5 800 K的CPU 、8 G內存、Windows7旗艦版操作系統(由于圖內空間有限,故圖中“全變分2范數有限差分”簡稱為“全變分2范數”)。

從圖3可以看出,原始測井圖像存在較明顯的“鏈條”異常區域,這在實際成像測井圖像中是普遍存在的;通過“鏈條”區域自動識別算法準確辨別出的異常區域,黑線位置即為“鏈條”區域。如前所述,2范數小波趨向于圖像修復的平滑處理而全變分小波側重于邊緣保持,2范數小波給出的修復結果非常平滑,紋理間的邊界相對模糊;全變分小波則注重于邊緣的保持,因此修復后的圖像紋理特征更加清晰;全變分2范數小波的修復結果介于兩者之間,較好地平衡了圖像修復的平滑性與邊緣保持的要求。綜上所述,全變分2范數小波在原有小波域特性的基礎上較好地提升了圖像修復的效果。

圖3 異常區域自動識別及3種小波算法效果比對

下面從客觀角度對比全變分2范數小波、全變分小波以及2范數小波修復方法[12]在成像測井圖像修復過程中,峰值信噪比(PeakSingaltoNoiseratio,PSNR)與小波系數丟失率[13]的特征關系,如圖4所示。

圖4 PSNR與小波系數丟失率特征關系

由圖4可知,全變分2范數小波修復算法的峰值信噪比值明顯優于其他2種修復算法的,而受損原始圖像的PSNR值最低。這說明應用該3種算法修復受損圖像都達到了一定的效果,而全變分2范數小波算法的修復效果明顯優于另外2種算法的。同時,隨著小波系數丟失率的上升,3種算法所得PSNR值都有所下降,說明圖像受損越嚴重,其PSNR值也越低。

在對比算法運行效率方面,得到在同等條件下算法運行時間隨小波系數丟失率增加而變化的關聯曲線,如圖5所示。為穩定仿真結果,算法運行時間的取值為每種算法各自運行40次的平均值[14-15]。

從圖5可以看出,隨著小波系數丟失率的上升,3種算法的運行時間都在增加，說明圖像受損越嚴重,算法的運行時間越長,這符合客觀現實。2范數小波修復算法在小波系數丟失率低于20%時,其算法的運行時間皆短于其他2種算法;當小波系數丟失率處于20%～30%范圍之內,其運行時間高于全變分2范數小波修復時間而低于全變分小波修復時間;當小波系數丟失率達30%以上時,其運行時間比另外2種算法大幅增加;而后兩者的變化趨勢相似,但全變分2范數小波修復算法的運行時間總體低于全變分小波修復算法,原因是改進的算法提高了修復效率。

圖5 算法運行時間對比結果

4 結 論

本文針對成像測井圖像中存在帶狀異常區域現象且利用常規修復算法效果不理想的情況,引入并改進了原有全變分小波域圖像修復算法,提出了一種基于全變分2范數有限差分的小波域圖像修復算法并進行了仿真與對比實驗。該算法考慮了小波系數的方向選擇性、傳遞性和聚集性;較好地解決了擁有較大帶狀異常區域的成像測井圖像缺陷修復問題;同時在充分考慮圖像結構性的基礎上,有效去除了“分片常數”效應;實驗結果驗證了該算法的有效性與魯棒性。實踐證明，本文算法在修復效果與運行效率等方面均優于常規算法,能更好地提高真實超聲圖像的修復性能，為超聲成像測井缺陷圖像修復提供了一種新的有效思路,是一種有效可行的修復方法。

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(責任編輯 胡亞敏)

A total variational wavelet domain logging image defect inpainting algorithm based on two norm and finite difference method

LIN Guangming1,ZHANG Jian2,ZHANG Shun3

(1.College of Computer Science and Technology, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China; 2.College of Information Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China; 3.Huabei Oilfield Well Logging Company, Renqiu 062550, China)

Aiming at the phenomenon that in the process of ultrasonic image logging, the zonal abnormal region will appear in the images due to several uncertain factors, the inefficiency of normal ways including wavelet domain restoration way especially to clear away the zonal abnormal region is analyzed, and an effective total variational two norm finite difference wavelet domain ultrasonic logging images inpainting algorithm is put forward to solve this problem. Firstly, a kind of automatic recognition algorithm about chain abnormal region based on adjacent rows and absolute error value is proposed, which realizes the accurate location of imaging zonal region effectively. Then, aiming at the presence of “piecewise constant” effect in the process of the total variational wavelet domain image restoration, the total variational two norm finite difference wavelet domain ultrasonic logging images inpainting algorithm is proposed to eliminate the impact effectively. By comparing the experimental results of the actual logging image data processing with the standard logging image data, it is shown that this algorithm improves the inpainting effect and provides an effective solution for the inpainting of similar problems in image materials in the later stage.

two norm; finite difference; improvement; total variational wavelet domain; defect inpainting

2015-04-27；

2015-09-16

國家自然科學基金資助項目(41374148;41372155);湖北省自然科學基金青年基金資助項目(2014CFB248)和湖北省教育廳科技計劃資助項目(Q20111306)

林光明(1985-),男,山東青島人,武漢理工大學碩士生;

張 健(1981-),男,湖北荊州人,博士,武漢理工大學講師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.010

TP391

A

1003-5060(2016)10-1347-06