單面柱聲子晶體板低頻帶隙特性與機理分析

張昭++蘇開創+韓星凱

摘要： 基于有限元法計算分析散射體材料屬性和散射體形狀對單面柱板結構局域共振型聲子晶體帶隙特性的影響，并通過計算單胞位移特征模式解釋聲子晶體帶隙特性變化的物理機理.結果表明：散射體的密度和彈性模量以及散射體形狀通過改變聲子晶體單胞局域狀態，對聲子晶體帶隙特性產生很大影響.總結聲子晶體板結構低頻帶隙特性變化規律，為工程減振降噪提供參考.

關鍵詞： 聲子晶體； 散射體； 基體； 帶隙特性； 位移特征模式； 密度； 彈性模量； 減振降噪

中圖分類號： O481.1； TB535 文獻標志碼： A

0 引 言

聲子晶體是由一種或幾種彈性材料周期排列在基底材料中形成的一類人工復合材料.[1]周期性復合材料或結構的聲子晶體可以阻擋某些頻率的彈性波傳播，這種現象稱為聲子晶體帶隙或禁帶.[2]頻率落在帶隙范圍內的彈性波理論上在聲子晶體中被禁止傳播，對應到有限尺寸的聲子晶體周期結構，帶隙頻率范圍內的彈性波在傳播過程中會產生指數衰減.[3]研究認為，聲子晶體帶隙產生的機理有2種：布拉格散射型和局域共振型.[4]前者主要是結構的周期性起主導作用，當入射彈性波的波長與結構的特征長度（晶格常數）相近時，將受到結構強烈的散射；后者則是單個散射體的共振特性起主導作用.[5]LIU等[6]提出局域共振型聲子晶體理論.根據局域共振理論，相同特征長度的局域共振型聲子晶體帶隙頻率要低于布拉格散射型聲子晶體帶隙頻率2個數量級[7]，這使得聲子晶體小尺寸控制大波長成為可能.為實現低頻減振降噪領域聲子晶體的實際應用，目前出現針對各種聲子晶體結構[8-11]的研究，其中關于Lamb波在聲子晶體板結構中傳播[12-14]的研究尤其引人注意，特別是橡膠吸聲層聲子晶體結構廣泛應用于潛艇等水下裝備，用于吸收干擾聲波或噪聲[15].YU等[16]提出一種極具應用前景的局域共振型單面柱板結構聲子晶體，對該結構聲子晶體低頻帶隙特性受部分幾何參數影響進行計算研究和物理解釋.除聲子晶體單胞幾何參數外，材料參數和散射體形狀對聲子晶體帶隙特性也可能有很大影響，對其進行研究將非常有利于低頻帶隙特性聲子晶體的實際應用.

本文采用有限元法，使用多物理場分析軟件COMSOL建立單面柱板結構聲子晶體單胞模型，計算分析聲子晶體散射體材料密度、彈性模量和改變射體形狀對聲子晶體帶隙特性的影響；同時使用多物理場分析軟件COMSOL計算聲子晶體單胞位移特征模式，給出聲子晶體帶隙特性變化的物理解釋.這些計算和分析可為這種極具前景的聲子晶體板結構的實際應用鋪平道路，也為其他類似具有低頻帶隙特性的局域共振型聲子晶體結構的設計和應用提供參考.

1 聲子晶體帶隙計算的有限元法

利用多物理場分析軟件COMSOL求解彈性波在聲子晶體中的波動方程.由于聲子晶體是周期結構，依照Bloch定理，計算可在一個單胞內完成.[17]對模型劃分網格后，單胞離散形式的特征值方程為

2 帶隙特性計算和位移特征模式分析

首先，將本文計算結果與文獻[16]對比驗證本文計算方法準確性.圓柱散射體聲子晶體單胞有限元模型見圖1，單胞基體底面（正方形）邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，圓柱散射體半徑r=4.5 mm.基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼，材料參數見表1.

使用多物理場分析軟件COMSOL計算得到的聲子晶體帶隙特性見圖2.圓柱散射體半徑r=4.5 mm時計算得到的聲子晶體第一帶隙數據與文獻[16]對比結果見表2.由此可以看出：第一帶隙中心頻率、帶寬和截止頻率誤差都很小，驗證本文模型和計算方法準確可信.

取散射體半徑r=4 mm，單胞模型其他幾何尺寸不變.單胞的基體材料為橡膠，散射體材料以鋼為基準，改變散射體材料的密度，計算分析聲子晶體帶隙特性變化規律，結果見圖3.

由圖3可知：散射體密度對第一帶隙截止頻率影響很小幾乎可以忽略，但對第一帶隙起始頻率影響很大；當散射體密度很小時，幾乎沒有帶隙產生；而散射體密度足夠大時，就會產生明顯帶隙，且散射體密度大于7 000 kg/m3后，第一帶隙起始頻率下降變得平緩，產生的低頻帶隙帶寬慢慢趨于穩定.

計算聲子晶體單胞的位移特征模式，進而分析散射體材料的密度變化影響聲子晶體帶隙特性的物理機制.分別計算散射體密度為1 000，3 000，5 000，11 000，15 000和19 000 kg/m3時的聲子晶體帶隙（第一帶隙）起始頻率和截止頻率頂點對應波矢點的6組單胞位移特征模式，見表3.

由此可以發現：隨著散射體密度逐漸增大，起始頻率頂點對應波矢點的單胞振動能量集中從基體上轉移到散射體上，呈現明顯的局域狀態，而截止頻率頂點的單胞位移特征模式幾乎沒有變化.由此可以解釋上面計算得到的帶隙特性隨散射體密度變化規律（見圖3）：當散射體密度增大時，根據簡單彈簧模型公式f=k/m/2π，起始頻率的單胞散射體振子（振動能量集中的部分）質量逐漸變大而截止頻率的單胞基體振子（此時單胞振動能量總是集中在單胞基體的4個邊角上）質量幾乎不變，彈簧剛度總是散射體和4個基體角邊相連接的基體部分的剛度且幾乎保持不變，故聲子晶體帶隙起始頻率降低而截止頻率基本不變，低頻帶隙曲線打開變寬.

仍取散射體半徑r=4 mm，單胞模型其他幾何尺寸不變.單胞的基體材料為橡膠，散射體材料以鋼為基準，改變散射體材料的密度，計算分析聲子晶體帶隙特性變化規律，結果見圖4.

由圖4可知：改變散射體彈性模量，其他保持不變，第一帶隙起始頻率和截止頻率隨彈性模量的增

大逐漸變大.當散射體彈性模量大過橡膠基體的彈

性模量1.175×105 Pa后，截止頻率的變大速率明顯更快，產生的低頻帶隙帶寬明顯變大.當散射體彈性模量大于1.175×107 Pa后，聲子晶體帶隙趨于穩

定.

計算散射體彈性模量為1.175×103，1.175×104，1.175×105，1.175×106，1.175×107，1.175×108 Pa時的聲子晶體帶隙（第一帶隙）起始頻率和截止頻率頂點對應波矢點的6組單胞位移特征模式，見表4.由此可以看出：隨著散射體彈性模量逐漸增大，起始頻率頂點對應波矢點的單胞位移特征模式單胞振子在散射體上由大變小.彈簧部分是與散射體振子相連接的基體橡膠，其彈性模量不變，根據簡單彈簧模型公式f=k/m/2π，m變小而k不變.截止頻率單胞振子由鋼散射體轉移到橡膠基體的4個角上，彈簧部分總是位于與散射體相連接的橡膠基體上，故m變小且變化很大，k不變.這也可解釋前文計算得到的聲子晶體帶隙特性隨散射體彈性模量的變化規律（見圖4），當散射體彈性模量變大時，起始頻率和截止頻率均變大但截止頻率變化更顯著，低頻帶隙打開變寬.

除圓柱散射體幾何尺寸大小（圓柱散射體半徑和高度）會影響聲子晶體帶隙特性外，散射體的幾何形狀也可能會對聲子晶體帶隙特性有重要影響.為此，把散射體幾何形狀由圓柱體改為長方體，單胞有限元模型見圖5，長方散射體的高度h=10 mm保持不變，改變長方散射體的底面（正方形）邊長，計算得到帶隙特性變化規律見圖6，且與圓柱散射體聲子晶體帶隙特性作對比，見圖7.

由圖6和7可以看到：散射體底面邊長對第一帶隙起始頻率影響不大，但對第一帶隙截止頻率有很大影響，與圓柱散射體情況下圓柱半徑對第一帶隙的影響一致.

對比發現，散射體的高度和體積相同時，2種聲子晶體的第一帶隙起始頻率幾乎相同，但長方散射體聲子晶體的第一帶隙截止頻率明顯大于圓柱散射體聲

子晶體，因此長方散射體聲子晶體比圓柱散射體聲子晶體有更好的低頻帶隙特性.

聲子晶體帶隙特性，二者起始頻率和截止頻率對比見表5.由此可知：等高等體積的長方散射體聲子晶體帶隙特性明顯優于圓柱散射體聲子晶體.計算2種散射體截面的剛度見表6，分別對比二者起始頻率帶隙頂點對應波矢點的單胞位移特征模式和截止頻率帶隙頂點對應波矢點的單胞位移特征模式見表7.由表7可知，關于起始頻率帶隙頂點對應波矢點的單胞位移特征模式，二者都是彎曲振動，但由于長方散射體截面抗彎剛度略大于圓柱散射體截面抗彎剛度，導致前者帶隙起始頻率略大于后者且相差不大；關于截止頻率帶隙頂點對應波矢點的單胞位移特征模式，長方散射體聲子晶體單胞主要是基體的扭轉和彎曲振動，圓柱散射體聲子晶體單胞主要是基體的彎曲振動，故前者的總剛度明顯大于后者，導致長方散射體聲子晶體帶隙截止頻率明顯高于圓柱散射體聲子晶體帶隙截止頻率.

3 聲學應用實例

綜合前文研究結果，在實際常用材料中選用最優材料組合，采用合適的聲子晶體單胞構型，得到低頻帶隙性能最優的聲子晶體板用于聲學降噪隔聲.漢語的聲能密度一般都集中在200～700 Hz，實際常用材料見表8.

為得到低頻彈性波帶隙，基體材料采用橡膠，分別選用鎢、銅、鋼、鋁作為散射體材料；聲子晶體單胞采用低頻帶隙特性更好的長方散射體單胞構型，散射體底邊邊長b=9 mm，其他幾何參數不變.計算得到4種聲子晶體帶隙特性見表9.對比發現：鋁作為散射體材料得到的聲子晶體帶隙特性明顯不如另外3種材料；鎢、銅、鋼分別作為散射體材料時，都能符合漢語聲能密度集中在200～700 Hz頻率范圍的降噪隔聲要求.銅和鋼的密度遠小于鎢，鋼遠比銅經濟且輕質，因此，基體材料為橡膠、散射體材料為鋼的長方散射體單面柱板結構聲子晶體是降噪隔聲最佳方案.

取8×8聲子晶體有限周期板考察振動傳輸特性，驗證單面柱板結構聲子晶體設計和帶隙特性計算的有效性.選擇基體材料為橡膠、散射體材料為鋼的長方散射體聲子晶體板，8×8聲子晶體板結構幾何模型見圖8.使用COMSOL軟件進行頻率響應分析，從板的一端輸入幅值為單位值的位移頻譜，x軸正方向為位移頻譜方向，頻率范圍為100～1 500 Hz，得到板另一端即輸出端的位移響應平均值，結果見圖9.

由圖9可知：帶隙頻率范圍內聲子晶體周期板減振效果明顯，且頻響分析減振頻率范圍和前文計算得出的帶隙范圍幾乎重合，驗證本文單面柱板結構聲子晶體設計和帶隙計算的有效性.

4 結 論

（1）單面柱板結構聲子晶體材料參數中，散射體的密度和彈性模量足夠大時，都會產生優良的低頻帶隙，二者對聲子晶體帶隙特性有很大影響.

（2）將單面柱板結構聲子晶體散射體形狀改變為長方體，發現等高等體積散射體條件下，長方散射體聲子晶體比圓柱散射體聲子晶體具有更好的低頻帶隙特性.

（3）從聲子晶體單胞位移特征模式可以得出，聲子晶體帶隙特性隨散射體材料密度和彈性模量變化規律可以用簡單彈簧振動模型來解釋，簡單彈簧模型的振子質量發生變化（彈簧剛度幾乎不變），進而導致聲子晶體帶隙特性改變.改變散射體形狀，保持散射體體積和材料常數不變，結合聲子晶體帶隙頂點對應波矢點的單胞位移特征模式，可以認為單胞振動截面剛度的變化導致聲子晶體帶隙的變化.

（4）計算對比得出以鋼為散射體、橡膠為基體的長方散射體單面柱板結構聲子晶體能很好地應用于實際聲學低頻降噪隔聲，說明合理選用材料組合和單胞構型，聲子晶體可以在工程實際中發揮重要作用.

參考文獻：

[1]

溫熙森， 溫激鴻， 郁殿龍， 等. 聲子晶體[M]. 北京： 國防工業出版社， 2009.

[2] 郁殿龍. 基于聲子晶體理論的梁板類周期結構振動帶隙特性研究[D]. 長沙： 國防科學技術大學， 2006.

[3] 劉耀宗， 孟浩， 李黎， 等. 基于遺傳算法的聲子晶體梁振動傳輸特性優化設計[J]. 振動與沖擊， 2008， 27（9）： 47-50. DOI： 10.3969/j.issn.1000-3835.2008.09.012.

LIU Y Z， MENG H， LI L， et al. Optical design of phononic crystal beams for attenuating vibration propagation[J]. Journal of Vibration and Shock， 2008， 27（9）： 47-50. DOI： 10.3969/j.issn.1000-3835.2008.09.012.

[4] 舒海生， 劉少剛， 王威遠， 等. 集中質量邊界條件下聲子晶體桿的縱向振動傳遞特性研究[J]. 振動與沖擊， 2012， 31（19）： 113-117. DOI： 10.3969/j.issn.1000-3835.2012.19.025.

SHU H S， LIU S G， WANG W Y， et al. Transmission characteristics of longitudinal vibration of a phononic crystal rod with concentrated mass boundary condition[J]. Journal of Vibration and Shock， 2012， 31（19）： 113-117. DOI： 10.3969/j.issn.1000-3835.2012.19.025

[5] ZHAO H， LIU Y， WANG G， et al. Resonance modes and gap formation in a two-dimensional solid phononic crystal[J]. Physical Review B： Condensed Matter， 2005， 72（1）： 012301. DOI： 10.1103/PhysRevB.72.012301.

[6] LIU Z Y， ZHANG X X， MAO Y W， et al. Locally resonant sonic material[J]. Science， 2000， 289（5485）： 1734-1736. DOI： 10.1126/science.289.5485.1734

[7] WANG P， CHEN T N， YU K P， et al. Lamb wave band gaps in a double-sided phononic plate[J]. Journal of Applied Physics， 2013， 113（5）： 053509. DOI： 10.1063/1.4790301.

[8] LIU Z， CHAN C T， SHENG P. Three-component elastic wave band-gap material[J]. Physical Review B： Condensed Matter， 2002， 65（16）： 165116. DOI： 10.1103/PhysRevB.65.165116.

[9] OUDICH M， LI Y， ASSOUAR B M， et al. A sonic band gap based on the locally resonant phononic plates with stubs[J]. New Journal of Physics， 2010， 12（2）： 201-206. DOI： 10.1088/1367-2630/12/8/083049.

[10] HSU J C， WU T T. Lamb waves in binary locally resonant phononic plates with two-dimensional lattices[J]. Applied Physics Letters， 2007， 90（20）： 201904-1-201904-3. DOI： 10.1063/1.2739369.

[11] HSU J C. Local resonances-induced low-frequency band gaps in two-dimensional phononic crystal slabs with periodic stepped resonators[J]. Journal of Physics D： Applied Physics， 2011， 44（5）： 055401. DOI： 10.1088/0022-3727/44/5/055401.

[12] CHENG Y， LIU X J. Three dimensional multilayered acoustic cloak with homogeneous isotropic materials[J]. Applied Physics A， 2009， 94（1）： 25-30. DOI： 10.1007/s00339-008-4882-7.

[13] HSU J C， WU T T. Lamb waves in binary locally resonant phononic plates with two-dimensional lattices[J]. Applied Physics Letters， 2007， 90（20）： 201904. DOI： 10.1063/1.2739369.

[14] 陳阿麗， 郭鳳丹， 汪越勝. 一維準周期聲子晶體板中蘭姆波的禁帶特性分析[J]. 功能材料， 2015， 46（19）： 19046-19051. DOI： 10.3969/j.issn.1001-9731.2015.19.010.

CHEN A L， GUO D F， WANG Y S. Study on the band gaps of the Lamb wave in one-dimensional quasi periodic phononic crystal plates[J]. Journal of Functional Materials， 2015， 46（19）： 19046-19051. DOI： 10.3969/j.issn.1001-9731.2015.19.010.

[15] 趙宏剛， 溫激鴻， 楊海濱， 等. 一種含柱形空腔結構橡膠層的吸聲機理及優化[J]. 物理學報， 2014， 63（13）： 134303-1-134303-6. DOI： 10.7498/aps.63.134303.

ZHAO H G， WEN J H， YANG H B， et al. Acoustic absorption mechanism and optimization of a rubber slab with cylindrical cavities[J]. Acta Physica Sinica， 2014， 63（13）： 134303. DOI： 10.7498/aps.63.134303.

[16] YU K， CHEN T， WANG X. Band gaps in the low-frequency range based on the two-dimensional phononic crystal plates composed of rubber matrix with periodic steel stubs[J]. Physica B： Condensed Matter， 2013， 416： 12-16. DOI： 10.1016/j.physb.2013.02.011.

[17] 黃佳， 尹進， 張昭， 等. 圓管型局域共振聲子晶體三維構型振動帶隙研究[J]. 計算力學學報， 2015， 32（3）： 353-358. DOI： 10.7511/jslx201503009.

HUANG J， YIN J， ZHANG Z， et al. Study on the 3D polarization band gaps of pipe-shaped locally resonant phononic crystals[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2015， 32（3）： 353-358. DOI： 10.7511/jslx201503009.

[18] 黃佳， 尹進， 張昭， 等. 基于聲子晶體的層疊式方柱型減振結構設計[J]. 計算機輔助工程， 2015， 24（2）： 53-58. DOI： 10.13340/j.cae.2015.02.010.

HUANG J， YIN J， ZHANG Z， et al. Vibration of reduction structure design with stacked square columns based on phononic crystal[J]. Computer Aided Engineering， 2015， 24（2）： 53-58. DOI： 10.13340/j.cae.2015.02.010.