雙相勵磁8/6極開關磁阻電動機轉矩數學模型

李 波，肖林京，孫傳余，文藝成，肖 楠，陳忠霞

(山東科技大學，青島 266590)

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雙相勵磁8/6極開關磁阻電動機轉矩數學模型

李 波，肖林京，孫傳余，文藝成，肖 楠，陳忠霞

(山東科技大學，青島 266590)

為研究雙相勵磁8/6極開關磁阻電動機轉矩特性，文章根據電機原理和等效磁路法，給出了雙繞組間自感、互感公式；利用開關磁阻電動機磁路分割法，求解了8/6極開關磁阻電動機的氣隙磁導，進而推導出電機的轉矩模型公式。最后，通過有限元仿真結果，證明了轉矩數學模型的正確性。研究表明：該轉矩數學模型能正確描述8/6極開關磁阻電動機無位置偏移時的轉矩輸出特性。

開關磁阻電動機；雙相勵磁；數學模型；有限元分析

0 引 言

開關磁阻電動機[1-2](以下簡稱SRM)，作為一種新型電機，因結構簡單、工作可靠、維護量小、啟動性能及調速性能優越等優點，受到了研究學者的廣泛關注。

8/6極SRM從勵磁方式可分為單相勵磁和雙相勵磁，文獻[3-4]針對上述兩種不同的勵磁方式，對其自感、互感及轉矩輸出特性進行了理論及實驗分析，研究表明雙相勵磁模式較單相勵磁模式，具有平均轉矩高、輸出平穩性好的優點。

轉矩性能是SRM領域的研究重點，對SRM調節轉速、穩定旋轉等具有重要意義，文獻[5]針對8/6極SRM，在建立樣機仿真模型，獲取并分析仿真數據的基礎上，給出了自互感模型、磁鏈模型以及轉矩模型，但上述模型為基于該樣機仿真數據的擬合模型，并未給出關于電機具體參數的數學公式。文獻[6]針對8/6極單繞組磁懸浮SRM，借鑒文獻[7-10]的磁路分割法，通過建立等效磁路模型、求解氣隙磁導，推導出了電機轉矩模型。由于8/6極磁懸浮SRM和8/6極SRM具有相同的定轉子齒極結構，即而借鑒8/6極磁懸浮SRM的氣隙磁導求解方法，并應用到8/6極SRM氣隙磁導的計算研究中。

文章針對雙相勵磁8/6極SRM，在Maxwell 2D仿真分析的基礎上，建立了等效磁路模型，并推導出自互感表達式；再利用磁路分割法給出了齒間氣隙磁導求解方法及磁導公式，藉此推導出雙相勵磁8/6極SRM的轉矩數學模型；最后通過有限元仿真對比，驗證了該數學模型的正確性。

1 SRM原理

雙相勵磁8/6極SRM，包括電機定子、電機轉子和勵磁繞組，且兩相繞組共同通電，為電機轉子提供電磁吸引力。如圖1所示，AB相勵磁繞組通電后，在定轉子齒間形成電磁通路，產生電磁吸引力，驅動電機轉子逆時針轉動。

定義逆時針旋轉方向為正，定轉子齒極正對時，轉子位置角為0，則AB相導通時，A相轉子位置角θa∈[-π/12，0]，B相轉子位置角θb∈[-π/6，-π/12]，D相轉子位置角θd∈[0，π/12]，且有關系θb=θa-π/12，θd=θa+π/12，圖1中所示為θa=-π/24的位置。

圖1 雙相勵磁8/6極SRM原理圖

2 SRM有限元分析

本文采用Maxwell 2D有限元仿真軟件，建立雙相勵磁8/6極SRM的二維模型，選擇材料，定義邊界條件，添加繞組激勵，設置運動參量，最后完成瞬態磁場的仿真分析。其中，二維電機模型參數設置如下：定子鐵心外半徑30 mm，內半徑19.1 mm，定子軛環厚度4.9 mm，定子齒極高6 mm，定子齒極寬7.45 mm；轉子鐵心外半徑19 mm，內半徑5.36 mm，轉子軛環厚度5 mm，轉子齒極高8.64 mm，轉子齒極寬7.41 mm；軸向長度1 000 mm，各相繞組匝數50。

Maxwell 2D針對雙相勵磁8/6極SRM，進行磁路仿真分析，當AB相繞組導通且 時，其磁路與磁密分布分別如圖2、圖3所示。

圖2 電機磁路分布圖圖3 電機磁密分布圖

由圖2知，AB相繞組磁力線主要經由AB相相鄰定轉子齒極及AD相相鄰定轉子齒極，形成閉合磁路，少量磁力線經由AB相相對定轉子齒極和AC相定轉子齒極，形成閉合磁路。

由圖3知，AB相磁力線主要集中于A相、B相、D相定轉子齒極處，極少量分布在C相定轉子齒極處。且仿真發現，隨著θa減小，C相定轉子齒極處磁密會有所增加，但相較于A相、B相、D相仍可忽略不計。

3 SRM轉矩數學模型

為簡化雙相勵磁8/6極SRM轉矩求解，忽略漏磁通、定子交鏈轉子軛部磁通、磁鋼磁導和磁路飽和現象，并假設SRM電機轉子處于平衡位置。

以8/6極SRM的AB相繞組勵磁為例，認為AB相通電過程中，磁力線僅經由A、B、D三相支路導通，即忽略C相定轉子齒間氣隙磁導，并繪制其等效磁路圖，如圖4所示：Na為A相繞組匝數；ia為A相繞組電流；Nb為B相繞組匝數；ib為B相繞組電流；Pa1，Pa2和φa1，φa2分別為A相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量；Pb1，Pb2和φb1，φb2分別為B相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量；Pd1，Pd2與φd1，φd2分別為D相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量。

圖4 AB相等效磁路圖

由電機齒極結構的對稱性，可知Pa1=Pa2，Pb1=Pb2，Pd1=Pd2，且φa1=φa2，φb1=φb2，φd1=φd2，根據AB相等效磁路圖，可得AB相繞組自感、互感表達式：

(1)

式中：La為A相繞組自感；Lb為B相繞組自感；Mab為AB相繞組互感；P0=Pa+Pb+Pd；Pa=Pa1=Pa2；Pb=Pb1=Pb2；Pd=Pd1=Pd2。

根據文獻[6-10]，求解氣隙磁導時，利用磁路分割法，將齒間磁路分割為正對部分的直線磁路和非正對部分的橢圓磁路。

圖5 磁路分割圖

當SRM轉子無位置偏移時，其氣隙磁導[6]：

(2)

根據雙相勵磁8/6極SRM原理可知，A相轉子位置角θa∈[-π/12，0]，帶入式(2)，得A相齒間氣隙磁導Pa：

(3)

同理可知，D相轉子位置角θd∈[0，π/12]，且有θd=θa+π/12，則D相齒間氣隙磁導Pd：

(4)

對于B相齒間氣隙磁導 ，已知其轉子位置角θb∈[-π/6，-π/12]，且θb=θa-π/12。如圖1所示，當θb∈[-π/8，-π/12](即θa∈[-π/24，0])時，B相定轉子齒極既有正對部分，又有非正對部分，與A、B相同理求解，即有：

(5)

當θb∈[-π/6，-π/8](即θa∈[-π/12，-π/24])時，B相轉子齒與B相定子齒完全偏離，僅有非正對部分氣隙磁導，如圖6所示，此時氣隙磁導式(2)不再適用，Pb求解方式如下。

圖6 B相氣隙磁路示意圖

根據文獻[7]，非正對部分微元磁導公式：

(6)

式中：dP2為非正對部分微元磁導；dt為非正對部分微元長度。

首先假設：(1) B相轉子齒與B相定子齒完全偏離時，非正對部分微元磁導仍符合式(6)；(2) 忽略B相轉子齒與C相定子齒間的氣隙磁導。根據圖6可知，非正對部分微元磁導dP2的積分長度t∈[(|θb|-π/8)r，π/8·r]。

將積分長度上下限，帶入式(6)，并化簡得：

(7)

整合式(5)和式(7)，得：

(8)

已知雙相勵磁8/6極SRM，AB相繞組儲能式Wab：

(9)

得雙相勵磁8/6極SRM轉矩公式T(θa)：

(10)

聯立式(1)、式(3)、式(4)、式(8)、式(10)，并化簡，得電機轉矩數學模型：

(11)

式中：

f0=fa+fb+fd。

4 仿 真

以雙相勵磁8/6極SRM為仿真對象，利用Maxwell2D有限元仿真軟件，得到θa∈[-15°,0°]過程中，電機轉矩與θa間的仿真輸出轉矩曲線。另，依據轉矩數學模型式(11)，利用MATLAB軟件，繪制轉矩T(θa)與θa間的模型計算轉矩曲線。通過對比仿真輸出轉矩與模型計算轉矩的擬合效果，驗證轉矩數學模型的正確性。

雙相勵磁8/6極SRM仿真模型，分別設定AB相勵磁繞組電流ia=ib=2A，ia=ib=3A，進行瞬態仿真，則仿真輸出轉矩與模型計算轉矩的對比情況如圖7所示。由圖7對比可知，仿真輸出轉矩與模型計算轉矩擬合效果良好，即轉矩數學模型式(11)能較準確地描述雙相勵磁8/6極SRM導通周期內的轉矩輸出情況。

圖7 仿真輸出轉矩與模型計算轉矩對比圖

但曲線繪制過程中發現，模型計算轉矩曲線為非連續曲線，間斷點為[-7.5°,T(-7.5°)]，原因在于：氣隙磁導Pb在θa=-7.5°處，連續不可導，而轉矩T(θa)求解時，需對Pb求導，繼而導致了轉矩T(θa)在該點處不連續。由圖7中亦可看出，由間斷采樣數據繪制出的模型計算轉矩曲線在[-7.5°,T(-7.5°)]點處并不圓滑。

5 結 語

文章通過研究雙相勵磁8/6極SRM轉矩數學模型，得出如下結論：

(1) 轉矩數學模型式(11)能較準確地描述雙相勵磁8/6極開關磁阻電機的轉矩輸出情況；(2) 式(11)為非連續函數，間斷點為[-7.5°,T(-7.5°)]，由此導致，當轉子位置角θa趨近于-7.5°時，實際輸出轉矩與公式計算可能存在一定偏差。

[1] 吳建華.開關磁阻電機設計與應用[M].北京:機械工業出版社,2000.

[2] 甘醇,吳建華,王寧,等.一種零電壓保持開通的開關磁阻電機再生制動控制策略[J].電機與控制學報,2015,19(9):8-15.

[3] 高潔,張鶴旭,米彥青.計及互感的開關磁阻電機單雙相勵磁靜態性能分析[J].電機與控制學報,2012,16(11):45-51.

[4] 弓鏘,曲爾光,劉艷芳.8/6極開關磁阻電機兩相勵磁電磁轉矩分析[J].現代電子技術,2012,35(12):176-178.

[5] 林委.計及互感的8/6極開關磁阻電機轉矩估算模型研究[D].重慶：重慶大學,2014.

[6] 嵇小輔,馬滔,項倩雯.8/6極單繞組磁懸浮開關磁阻電機建模與分析[J].微電機,2014,47(6):9-14.

[7] TAKEMOTO M,SUZUKI H,CHIBA A,et al.Improved analysis of a bearingless switched reluctance motor[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2001,37(1):26-34.

[8] 張京軍,龍榮,張海軍,等.開關磁阻電機徑向電磁力解析建模及有限元分析[J].煤炭學報,2012,37(4):700-704.

[9] 孫玉坤,吳建兵,項倩雯.基于有限元法的磁懸浮開關磁阻電機數學模型[J].中國電機工程學報,2007,27(12):33-40.

[10] 楊艷,鄧智泉,曹鑫,等.無軸承開關磁阻電機徑向電磁力模型[J].電機與控制學報,2009,13(3):377-382.

Torque Mathematic Model of 8/6 Switched Reluctance Motor with Two-Winding Excitation

LIBo,XIAOLin-jing,SUNChuan-yu,WENYi-cheng,XIAONan,CHENZhong-xia

(Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China)

In view of the torque of 8/6 switched reluctance motor (SRM) with two-winding excitation, the stator winding's self and mutual inductance were deduced based on the principle of 8/6 SRM and the method of magnetic equivalent circuit. Utilizing the method of magnetic field division, the gap permeance of 8/6 SRM was solved, and then the mathematic model of torque was derived. Finally, based on the results of finite-element analysis, the validity of the mathematic model was verified. The studies show that the mathematic model of torque can describe the output characteristics of 8/6 SRM correctly when the motor stays balanced.

switched reluctance motor; two-phase excitation; mathematic model; finite-element analysis

2016-01-13

山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金(BS2013NJ015)；青島市博士后研究人員應用研究項目(01020120521)；青島市應用基礎研究計劃項目(15-9-1-66-jch)

TM352

A

1004-7018(2016)08-0019-03

李波(1991-)，男，碩士研究生，研究方向為磁懸浮技術。