Lee-Carter模型外推預測死亡率及偏差糾正

吳曉坤,李姚潔

(華北電力大學數理學院,河北保定071003)

Lee-Carter模型外推預測死亡率及偏差糾正

吳曉坤,李姚潔

(華北電力大學數理學院,河北保定071003)

Lee一Carter模型是人口死亡率預測的常用模型,泊松最大似然估計法是該模型參數估計廣為采納的方法,模型中與時間相關的因子可建立時間序列模型并進行外推,進而實現死亡率的預測。由于時間因子與死亡率之間的非線性性,簡單的外推會帶來死亡率預測的低估偏差。這個偏差可以通過對數正態分布的性質進行糾正或者隨機模擬方法進行無偏預測。

Lee一Carter模型;死亡率預測;對數正態分布;隨機模擬;偏差

0 引言

Lee和Carter(1992)[1]提出的形式簡潔、適用廣泛的死亡率模型:

稱為Lee-Carter模型。在Lee和Carter(1992)[1]后有很多學者對其進行了改進與完善,現在已經成為世界各國預測死亡率的常用模型。國內的很多研究者也將Lee-Carter模型用于中國人口死亡率的預測[2-5]。

國內外很多的研究與應用在利用人口數據建立模型并估計其中的未知參數后,利用指數?對數互為逆變換的性質得死亡率本身的預測,這對變換在確定性數值間運算是正確的,但是在隨機情形下卻并不合適,將產生系統性的預測偏差。

1 參數估計

在形如式(1)的Lee-Carter模型中X表示X歲,t表示t時期,μx(t)為t時期X歲的死亡力,建模時常直接使用中心死亡率mx(t),mx(t)=dxt/e trxt,其中dxt為死亡人數,e trxt為平均年中人口數;αx為特定年齡x的總體死亡率因子; βx為年齡別x的死亡率變化因子,度量x歲人的死亡率隨時間的變化強度;κt為時間因子,度量t時期所有年齡死亡率的改善水平;εxt為誤差項。

本文利用《中國人口統計年鑒》和《中國人口和就業統計年鑒》提供的數據,整理出從1994年到2010年中國人口分年齡性別的死亡數據,年齡組從0歲(每一年齡一組)到90歲以上組。依據這些基礎數據建立中國人口死亡率Lee-Carter模型,估計方法采用泊松最大似然方法。由于模型參數眾多,并呈非線性關系,這里采用牛頓-拉夫遜算法(具體估計與計算方法可見于(Pitacco,Denuit和Haberman etal)[6]),并借助統計軟件R實現。

利用最大似然方法估計參數首先要設定死亡人數的分布,本文假定死亡人數服從泊松分布,這是最為常見的一種假定,在此設定下參數的對數似然函數為:

其中,λxt=erxtexp(αx+βxκt)。根據最大似然估計原理與牛頓-拉夫遜算法,參數的最大似然估計迭代算法為:

其中,θ(i)代表參數θ的第i步的迭代值,θ(i)可以是似然函數中的任意參數或參數向量。在本文的問題中,令,代入具體的參數得參數的最大似然估計迭代算法,可以參考Pitacco,Denuit和Haberman et al[6]:

每一步計算后都要對參數進行調整,以確保所估計參數具有可識別性:

參數估計的結果如圖1和圖2所示。

圖1 男性模型參數估計

圖2 女性模型參數估計

2 簡單外推預測

模型參數中κt是死亡率中與時間相關部分,在觀測時期t1，t2，...，tn,對應的參數κt的估計值構成一個時間序列,建立時間序列ARIMA模型,則可以根據模型對未來的κt進行預測。Lee和Carter(1992)[1]以及之后的許多研究者發現帶漂移項的隨機游走適合序列κt的建模,即:

這里d為漂移項,ξt～N(0，σ2)為誤差項,服從均值為0、方差為σ2的正態分布。

對κt的估計值建立時間序列模型并進行外推預測,可以得到:

3 無偏外推預測

簡單外推預測之所以存在偏差是因為死亡率與時間序列因子κt之間的非線性關系。由于它們之間的非線性關系,導致無法由κt的無偏估計經簡單的κt與μxtn之間的函數關系得到死亡率μxtn,μx(tn+m)等的無偏估計。這是因為:

如果μxtn為已知數,則式(13)服從參數為(lnμxtn+的對數正態分布。其均值為:

可以用

來估計tn+m時的死亡率,?與一般可以為d與σ2無偏估計,其中:

估計式(15)與式(12)明顯的區別在于式(15)包含隨

機誤差項ξt的方差,而式(15)是根據死亡率的統計分布的均值式(14)得到的,所以具有無偏性。而式(12)是有系統偏差的,即使μxtn為常數,式(12)仍然有偏差。對于未來tn+m時的死亡率的預測,本文建議使用不存在系統偏差的式(15)。

本文比較了有偏差預測與無偏差預測,其結果詳見圖3與圖4。這里分別使用式(12)與式(15)對2020年的死亡率進行預測,以對數形式及真實值形式進行結果比較。圖3為男性的預測結果,其中的點線代表的是有偏差的式(12)的預測結果,從圖形中可以看出預測結果偏低。相應的對于以上兩種預測的出生整值預期壽命分別為76.77與77.04,帶系統偏差的預測要高出無偏預測大約0.27歲。

圖3 預測2020年男性死亡率

圖4 預測2020年女性死亡率

對于女性,相應的預測結果是類似的,只是偏差更小一些。兩種預測方法下,出生整值預期壽命分別為81.76與81.85,相差大約0.09歲。不管是男性還是女性,總的來說,帶系統偏差的預測會低估死亡率,這在養老金領域的預測中經常被忽視,因為低估死亡率會增加預期壽命,會使人們面對老年危機的時候更加謹慎。然而,死亡率預測并不是僅僅供養老保險領域應用,所以有必要對預測的偏差進行糾正。

根據前面表達式可以對未來任意年份的死亡率進行預測,在此不再一一給出結果。

不管是男性還是女性,從圖3和圖4直觀上看,帶系統偏差的預測低估的死亡率并不明顯,這可能也是具有系統性偏差預測能夠被接受的一個原因。其實不然,這是因為死亡率本身在絕大多數年齡都很小,所以造成了這樣的感覺。在下文中給出另一種無偏預測方法的同時采用另一種度量差異的方式來比較不同預測的不同,就可以看出其中明顯的差異。

4 隨機模擬預測的無偏性

另外一種得到無偏估計的方法是隨機模擬法,利用計算機隨機模擬技術不但可以得到死亡率的均值,當模擬次數足夠大時可以認為模擬所得到的死亡率的隨機樣本的分布為死亡率總體的分布。根據式(13),如果有了μxtn或者其估計值,利用估計的βx和d值,每模擬一個ξt就會得到一個μx(tn+m),只要模擬的次數足夠大,就可以利用模擬得到的所有μx(tn+m)值的平均值代替它的理論均值。這種方法思路簡單易懂,其中復雜的模擬計算過程由計算機完成。在具體的模擬過程中在式(13)中取m值為10(這樣可以預測得到2020年的死亡率,類似的,取不同的m值可以得到其它任意年份的死亡率);βx與d需要把數據代入模型根據最大似然估計算法和外推算法(式(4)—式(9)和式(16))進行估計得到中的σ2也需要估計得到(式(16))。首先模擬產生正態變量每產生一個模擬值代入式(13)就可以得到一個模擬的預測值,為了保證最后結果的穩定性,一般需要模擬的次數很大,比如1萬次、10萬次等。最終對模擬值求平均就得到所隨機模擬預測的死亡率。在模擬次數很大時,模擬結果與無偏估計式計算所得結果非常接近。這里不再與簡單估計結果進行直接的比較,本文計算了模擬預測與簡單預測之差,同時也計算了進行糾正的無偏預測與簡單預測之差,這兩個差值本文稱之為低估量;另外也分別計算了這兩個低估量與糾正的無偏預測和模擬預測之比,本文稱之為相對低估量。結果詳見圖5和圖6。

從圖5左圖中可以看出男性人口死亡率預測中簡單預測在高齡組會低估死亡率0.001到0.002,在0歲低估量接近0.001,其余低估量低于0.001;從圖5右圖中可以看出低齡組(0～10歲)的低估死亡率百分比在15%～5%之間,在10～30歲左右和60歲以上低估量百分比大約在2%～5%之間,其余年齡低估百分比較低。雖然簡單外推預測的絕對低估量不高,最大0.002左右,尤其在0歲外的低齡組更是非常接近于0,但是從相對低估量來看則是低齡組偏高,最高可達15%。因為死亡率本身的絕對水平很低,所以絕對低估量也很低,但高達5%～15%的相對低估偏差卻是不能忽視的。

圖5 預測2020年男性死亡率偏差比較

圖6 預測2020年女性死亡率偏差比較

圖6 是女性預測結果,由于女性死亡率比男性更低一些,在絕對偏差圖中所顯示偏差為真實偏差的10倍。女性死亡率預測中定性的結果與男性類似,只是不管是絕對量還是相對量都低于男性,但相對低估量在一些年齡仍可高達6%,大多數年齡在2%左右。因此我們應該糾正簡單外推的低估偏差。

5 總結

利用人口統計數據建立Lee-Carter死亡率模型后,在利用模型進行死亡率的單值預測時,常用的簡單外推預測存在系統的低估偏差。這個偏差可以通過對數正態分布的性質或者運用隨機模擬的方法進行糾正。通過理論分析與模擬計算發現:死亡率本身的值很小導致低估量的絕對值很小,但是相對量卻不容忽視。因此建議利用Lee-Carter模型進行死亡率的單值預測時使用糾正的無偏預測或模擬預測。

[1]Lee R D,Carter L R.Modeling and Forecasting USMortality[J].Journalof the American Statistical Association,1992,87(419).

[2]韓猛,王曉軍.Lee一Carter模型在中國城市人口死亡率預測中的應用與改進[J].保險研究,2010,(10).

[3]李志生,劉恒甲.Lee一Carter死亡率模型的估計與應用——基于中國人口數據的分析[J].中國人口科學,2010,(3).

[4]盧仿先,尹莎.Lee一Carter方法在預測中國人口死亡率中的應用[J].保險職業學院學報,2005,(6).

[5]王曉軍,黃順林.中國人口死亡率隨機預測模型的比較與選擇[J].人口與經濟,2011,(1).

[6]Pitacco E,DenuitM,Haberman S,etal.Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business[M].UK:Oxford University Press,2009.

(責任編輯/易永生)

C921

A

1002-6487(2016)20-0019-03

國家社會科學基金重大項目(13&ZD164);教育部人文社科青年基金資助項目(15y JCZH186);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2014MS163;2014ZD47);河北省社會科學基金資助項目(HB15LJ005)

吳曉坤(1978—),男,河北灤南人,博士,講師,研究方向:統計與保險精算。