基于互信息的深證股票復雜網絡拓撲性質分析

胡振華,覃子龍,楊燕

(中南大學商學院,長沙410083)

基于互信息的深證股票復雜網絡拓撲性質分析

胡振華,覃子龍,楊燕

(中南大學商學院,長沙410083)

文章針對以往在非線性系統中不當使用線性系統統計指標——Pearson相關系數來構建復雜網絡的方法,以深證股票為研究對象,使用在非線性系統中衡量隨機變量之間相關性的指標——互信息來構建復雜網絡并分析了該網絡的拓撲性質,認為深證股票復雜網絡具有小世界特征和無標度特征,深證股票緊密程度高,市場信息傳遞效率也較高,社團結構呈現第二產業集聚、第三產業分散的特點,股票收益率的波動與產業鏈具有更大的相關性,網絡對隨機故障具有較高的魯棒性,而對蓄意攻擊具有高度的脆弱性。

非線性系統;信息熵;互信息;復雜網絡;拓撲性質

0 引言

國內外大量的研究表明,金融市場具有參與要素眾多、內部結構復雜等特點,在本質上是一個典型的非線性動力學系統,如收益率“尖峰厚尾”的分布特征、收益率波動的集聚現象等[1,2]。非線性理論對此提供了新的研究范式,其中網絡科學把金融市場視為一個系統,認為系統內的個體是非勻質的,以異質的個體為節點,以個體之間存在的一定關系為邊,構建出相應的復雜網絡模型[3,4]。構建股票復雜網絡模型主要采用兩種方法:閾值法[5]和拓撲約束法[6],這兩種方法均以Pearson相關系數為基礎。在計算Pearson相關系數時,除了要求兩個變量符合聯合正態分布外,更要求兩個變量之間呈直線相關關系。而股票收益率時間序列數據大多呈現出“尖峰厚尾”的特征,并不服從正態分布的假設;并且在上述方法中,以線性系統中的統計指標為基礎來建立非線性系統模型,其適用性也值得商榷,可能產生潛在的估計錯誤風險。事實上,起源于信息論的互信息概念,可用于衡量非線性系統中兩個或多個變量之間的相關關系,目前已經被廣泛應用于生物基因、水文、經濟等諸多領域。本文以信息熵和互信息為基礎,以深證100指數為研究對象,闡明股票復雜網絡模型的構建過程,并分析該復雜網絡的拓撲性質。

1 信息熵和互信息

1.1 信息熵

信息熵的概念隸屬于信息論領域,由熱力學熵的概念泛化而來,Shannon首先定義了信息熵作為某件事情不確定性的度量。對于離散型隨機變量X,其信息熵H(X)的定義式為:

其中,p(x)為x每種取值的概率,對于底數b的不同取值意味著信息熵H(X)有不同的量綱,以下不再贅述。對于連續型隨機變量X,其信息熵H(X)的定義式為:

二維推廣,對于離散型、連續型的隨機變量X、y,分別有:

其中,p(x，y)為X、y的聯合概率,f(x，y)為X、y的聯合概率密度函數。

1.2 互信息

互信息用于度量兩個或多個變量所共享的信息量,互信息越大則變量間的相關性越強,反之則反然。對于離散型、連續型的二維隨機變量X、y,其定義式分別為:

其中,pX(x)、py(y)分別為X、y的邊緣概率, fX(x，y)、fy(x，y)分別為X、y的邊緣概率密度函數。

根據上述公式,易得:

1.3 信息熵和互信息的估計

對信息熵和互信息的估計主要采用兩種方法:參數方法和非參數方法。使用參數方法時,首先需假定概率密度函數的形式,再根據樣本數據估計出其中的各項參數,進而求得信息熵和互信息。但在實際應用中,或者概率密度函數通常難以得知,或者參數方法無法處理非線性不規則的聯合分布,使得參數方法的應用受到極大限制,而發展出的非參數方法得到更為廣泛的應用。

常見的非參數方法有直方圖法[7]和核函數法[8]。直方圖法是把區間或者區域劃分成若干個bin,進而估計概率密度函數,求得信息熵和互信息的方法。該方法簡單易行,但精度較低,只適用于低維數據,計算誤差主要來源于bin的數量的選擇,換而言之,與bin的區間寬度h有關。核函數法是在每個樣本點上疊置一個核函數,將所有核函數疊加而作為概率密度函數的一個估計,求得信息熵和互信息的方法。該方法計算復雜度高,精度也高,但只適用于小樣本的情形,當樣本量較大時,核參數的估計將會變得十分困難。值得一提的是,為了避免聯合概率密度函數的估計,可以較為方便的通過Copula熵來估計互信息[9,10]。

2 基于互信息的深證股票復雜網絡模型構建

鑒于時間序列的樣本數據規模通常較大,本文舍棄核函數法估計信息熵和互信息;在將信息熵和互信息轉換為歐氏空間距離時,為了保持分子、分母計算口徑的一致性,本文舍棄了Copula熵法估計互信息,統一選用直方圖法估計信息熵和互信息,進而構建相應的復雜網絡。本文所有的數據處理和分析通過Matlab 7.11.0、Mathematica 9.0和Ucinet6實現。

2.1 數據來源與預處理

本文選取深證100指數作為分析對象,選取指標為每日收盤價。其中,深證100指數來自深圳證券交易所網站(http://www.szse.cn)發布的成分股,數據下載時間為2014年6月23日。股價數據的時間跨度為2011年1月4日至2014年3月31日,共783個觀測日,74,895個觀測數據,數據來源為銳思數據庫(http://www.resset.cn)。對因上市時間較晚、停牌時間較長以及其他原因使得數據缺失較多的10支成分股數據予以剔除,對剩下90支股票的缺失數據采用線性插值法予以補齊。

2.2 構建股票復雜網絡

(1)計算股票的對數收益率

其中,Rx(t)表示股票X第t期的對數收益率,px(t)表示股票X第t期的收盤價。

(2)采用等距法計算兩兩股票X、y的信息熵和互信息

①計算bin的最優寬度h*[11]

對于股票X,有:

其中,n為樣本規模,σx為Rx的樣本標準差,同理可得

②估計概率密度函數

構造Rx的M個bin區間設Rx落在區間上的樣本點數量為ui,則有Rx的概率密度函數:

其中,N為Ry的bin區間數量,vi為Ry落在區間上的樣本點數量,wij為Rx落在區間、Ry落在區間[ymin+(j-1)上的樣本點數量。

③計算信息熵和互信息

依據式(2)、式(4)分別計算H(X)、H(y)和H(X，y),依據式(7)計算I(X，y)。

(3)計算歐氏距離

由于互信息不完全滿足三角不等式,還需將其轉換為歐氏空間距離d(X，y),計算公式為[12]:

(4)構建復雜網絡

由于閾值法具有一定的主觀性,并且閾值過低起不到良好的過濾冗余信息的效果;最小生成樹的生成方法又存在信息過濾過度的問題;而平面最大過濾圖不僅保留了最小生成樹所包含的網絡層級結構,還包含了網絡內部結構的其他大量信息[13],因此本文使用平面最大過濾圖來生成相應的復雜網絡。

以股票為節點,以歐氏空間距離為邊,設復雜網絡共包含V個節點,以平面最大過濾圖的方法來構建相應的復雜網絡的步驟為[13]:初始網絡不含任何連邊,將d(X，y)按降序排列,逐次將d(X，y)所對應的邊加入網絡,當且僅當生成的網絡仍是可平面圖時加入該邊,否則取消這條邊的加入,直至網絡包含3(V-2)條邊,生成的深證股票平面最大過濾圖PMFG如圖1所示。

圖1 深證股票復雜網絡PMFG

3 深證股票復雜網絡的拓撲性質分析

3.1 小世界特性

較多復雜網絡都具有與相同規模隨機網絡相當的較小的平均路徑長度,同時又具有與相同規模規則網絡相當的較大的平均聚類系數,復雜網絡所表現出的這種統計特性就是小世界特性。根據平面最大過濾圖的生成規則, PMFG的平均度必然為以此為標準,生成相同規模的ER隨機圖和最近鄰耦合網絡,PMFG與它們的拓撲性質對比見表1。可以看到, PMFG既具有與ER隨機圖相近的平均路徑長度,又具有與最近鄰耦合網絡相近的平均聚類系數,小世界特征十分明顯。平均路徑長度刻畫了某個節點平均需要經過多少個節點即可到達另一個節點,PMFG較小的平均路徑長度說明深證股票市場的信息傳遞效率較高;平均聚類系數刻畫的是某個節點的任意兩個鄰居節點也互為鄰居的可能性,PMFG較大的平均聚類系數說明深證股票的緊密程度較高。

表1 復雜網絡PMFG和隨機網絡、規則網絡的拓撲性質對比

3.2 無標度特性

不同于隨機變量常見的鐘形分布,大部分取值位于均值/峰值的附近,或者說落在以特征標度為中心的一個相對較小的區間里。現實中的很多復雜網絡的大部分節點度都比較小,但也存在少數較大的節點度,即服從“長尾”分布,不存在單一的特征標度,這一統計特性就是復雜網絡的無標度特性。如圖2(a)所示,復雜網絡PMFG的度分布很不均勻,大多數節點的度數都很小,一半以上股票的度數為2;但也有少量度數較大的Hub節點,節點度最高的股票是樂視網,度數達到66,也就是說,該股票與網絡中近75%的股票有連接,存在相關關系。如圖2(b)所示,在雙對數直角坐標系下,其度分布大致在一條斜率為-1.1708的直線附近,亦即PMFG的度分布服從參數為γ=1.1708的冪律分布。

圖2 復雜網絡PMFG的度分布

3.3 社團結構

很多實際網絡都具有社團結構,即整個復雜網絡由若干個社團構成,每個社團內部的節點之間連接相對緊密,社團之間的節點之間連接相對稀疏。模塊度Q是常用來衡量社團劃分質量的指標[14],其上限為1,通常認為只要Q值大于0.3就說明網絡存在明顯的社團結構[15]。Ucinet6在劃分社團結構時采用的是Girvan-Newman算法,該算法是以邊介數為社團間瓶頸的社團發現算法[16]。當PMFG劃分為8個社團時,模塊度Q取得最大值0.427,相應的社團結構及其行業分布如圖3、表2所示,其中行業分類依據為中國證券監督管理委員會2012年頒布的《上市公司行業分類指引》。

圖3 復雜網絡PMFG的社團結構

表2 復雜網絡PMFG社團的行業分布

從表2中可以看到,除社團1和社團2的節點成員較少外,其余社團的行業分布呈現如下兩個特點:①第二產業呈現集聚的特點,其中制造業(C)基本占了各個社團節點成員數量的一半,甚至絕大多數;②第三產業呈現分散的特點,尤其是金融業(J)和房地產業(K)幾乎出現在各個社團中。以上社團結構特點說明:其一,第二產業在國民經濟中仍占據著舉足輕重的地位;其二,第三產業在廣度、深度上都取得了長足的發展,在國民經濟和社會發展中的地位日益突出;其三,相較于行業,股票收益率的波動應與產業鏈具有更大的相關性。股票網絡的社團結構劃分對于組合投資具有重要意義,投資者應當盡量將資金投資于不同社團的股票以分散投資風險,增強投資的穩定性,僅僅依賴股票的行業歸屬等直觀信息進行決策是不可靠的。

3.4 魯棒性與脆弱性

當復雜網絡受到攻擊時,網絡的連通程度就會受到破壞,傳輸能力也會受到影響[17]。為了分析復雜網絡PMFG的魯棒性與脆弱性,考慮兩種節點去除策略[18]:①蓄意攻擊策略,即從去除網絡中度最高的節點開始,依次去除部分度最高的節點;②隨機故障策略,即完全隨機地去除網絡中的部分節點。f為去除的節點數占復雜網絡PMFG總節點數的比例,S為最大連通子圖的相對大小,L為平均路徑長度,各指標的變化趨勢如圖4所示,其中對于隨機故障策略取50次獨立實驗的平均值?？梢钥吹?由于復雜網絡PMFG具有無標度特征,對隨機故障具有較高的魯棒性,最大連通子圖的相對大小下降得較為緩慢,平均路徑長度的變化則并不顯著;但是,對于蓄意攻擊具有高度的脆弱性,去除網絡中少量度最高的節點就可破壞網絡的連通性,在去除40%左右的節點時,S就趨緊于0了。由于股市對經濟的波動是異常敏感的,因此搜集關鍵股票節點的信息,掌握經濟沖擊股市的方式和范圍,對維持股市的穩定、防止遭受惡意破壞、保持國家經濟的穩健發展都有著十分重要的意義。

圖4 復雜網絡PMFG的魯棒性與脆弱性

4 結論

復雜網絡的建模方法對于非線性系統的分析提供了一種新的研究方法,但以往以線性系統中的Pearson相關系數為基礎構建復雜網絡的方法與非線性系統的建模初衷是不相吻合的。本文以深證股票為研究對象,以非線性系統中衡量兩個變量相關關系的互信息指標為基礎,構建了復雜網絡PMFG。

通過對其拓撲性質進行分析,認為復雜網絡PMFG具有小世界特征,說明深證股票市場的信息傳遞效率較高,股票的緊密程度也較高;網絡中大多數的節點度數很小,但也存在少量Hub節點,具有無標度特征;網絡具有明顯的社團結構,呈現第二產業集聚、第三產業分散的特點,股票收益率的波動與產業鏈具有更大的相關性;網絡對隨機故障具有較高的魯棒性,而對蓄意攻擊具有高度的脆弱性。

在以往對以Pearson相關系數為基礎構建的復雜網絡的研究中,復雜網絡同樣具有明顯的社團結構,但顯示的是股票收益率的波動與行業具有更大的相關性[19]。本文的結論與此有所區別,該差異可能來自于以下幾個原因:研究方法的差異導致結論的差異、我國股票市場的有效程度不如美國等發達國家、我國的產業結構仍處在不斷調整的過程中。因此,就我國股票網絡的社團結構及其內部構成還有待進一步的分析。

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(責任編輯/亦民)

F830.91

A

1002-6487(2016)20-0160-04

胡振華(1962—),男,湖南邵陽人,教授,研究方向:金融計量、貨幣政策。覃子龍(1982—),男,湖南張家界人,博士研究生,研究方向:復雜網絡、金融計量。