《簡單的線性規劃》教學設計

王丹

一、教學指導思想與理論依據

線性規劃是利用數學為工具，來研究在一定的人、財、物、時、空等資源條件下，如何安排，達到用最少的資源取得最大的效益。目前所學的線性規劃只是規劃論中極小的一部分，但這部分內容，也能體現數學的工具性、應用性，為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數學建模法。重點是介紹線性規劃的有關概念和利用圖解法求解。難點是圖解法求最優解的探索過程。

二、教學背景分析

1.教學內容分析

本課時是本節內容的第二課時，是本節的核心內容。第一課時即二元一次不等式表示平面區域，為本課時的學習做好了知識上的準備。第三課時線性規劃的應用更是以本課時內容為基礎展開的。

2.學生情況分析

本節課是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解，進一步了解二元一次不等式組在解決實際問題中的應用。如果直接向學生介紹目標函數的幾何意義，考慮到他們的接受能力，用數學游戲來滲透，設置一系列問題，激發學生的探索欲望。

3.教學方式：自主探究、合作探究及教師引導相結合。

4.教學手段：計算機輔助教學。

三、教學目標設計

1.知識與技能：了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念；會用圖解法求線性目標函數的最大值、最小值。

2.情感、態度與價值觀：培養學生觀察、聯想、作圖和滲透化歸，用數學的意識和解決實際問題的能力。通過對“線性規劃”的歷史及應用的大致介紹，使學生感受數學的文化價值。

四、教學過程設計

（一）引入：組織學生做選盒子的游戲活動

師：在下圖的方格中，每列（x）與每行（y）的交匯處都放有一個盒子，每次你只能選其中的一個盒子，每個盒子對應一個分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數和列數有關，且每次的關系式在變化，你會選哪個盒子分值最高？

第一次：分值=x+y（即：列數+行數）

第二次：分值=y-2x（即：行數-列數×2）

師：出圖3，在圖中找出函數b=2x+y的最大值？

學生沿用上面計算的方法顯然很復雜，于是學生的思維產生“結點”，引出課題，提出何為線性（即為一次的），怎么規劃（即求函數的最值），這是本節課的研究重點。

（二）獨思共議，引導探究方法

引導學生由特殊到一般，分析目標函數的函數值。

師：出圖4，學生合作探究討論如下問題：

問題1：點（1，1）所對應的b值為多少？還有哪些點所對應的b值與之相同？

問題2.哪些點所對應的b值為6？

問題3.有沒有點對應的b值為200？

問題4.b的取值應滿足什么條件？

問題5.哪個點所對應的b值最大？為什么？

問題6.如何求出b的最大值？

b的幾何意義是什么？

學生：b實質上為與陰影區域有公共點的這些斜率為-2的直線在y軸上的截距。

師：如果這個問題重新給你，還用不用再找一個點試一試呢？（不用）那解決該題的方法是什么呢？

（三）變式思考，深化探究思路

已知x-4y≤-33x+5y≤25x≥1，求z=2x+y的最大值和最小值.

（設計意圖：由特殊到一般，利用數形結合，尋求解題思路。）

通過學生將直線化成斜截式的直線形式，做直線并平移，觀察縱截距的最大值的回答過程。

由圖3找出最大值的鋪墊，學生就很自然地得到了解決線性規劃問題的圖解法。

一般的，已知某個二元一次不等式組，如何求目標函數z=Ax+By（B≠0）的最值？

（四）形成一般方法

1.畫；2.移；3.求；4.答。

思考題：學生的午餐和晚餐關系著學生的身心健康，某校高一年級，一個單位的營養配餐中有如下成分：

午餐（個/單位）：碳水化合物12，蛋白質6，維生素C為6。

晚餐（個/單位）：碳水化合物8，蛋白質6，維生素C為10。

午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白質和維生素C分別為64個單位、42個單位和54個單位才能滿足學生正常成長的營養需要。一份午餐為10元，晚餐為16元，求預定多少單位午餐和晚餐所用費用最節省的情況下滿足營養要求。

師生活動，建立數學模型

（五）回顧歷史，感受文化

“線性規劃之父”——“丹齊克”

“數學的戰爭”——“波斯灣戰爭”