一節(jié)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的數(shù)學(xué)課*

●邱友會(huì) 李德安

(曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

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一節(jié)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的數(shù)學(xué)課*

●邱友會(huì) 李德安

(曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

創(chuàng)新教育的理論及重要性無(wú)需質(zhì)疑.數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，在理論上已取得較大的進(jìn)步，但在教學(xué)實(shí)踐中卻舉步為堅(jiān).筆者就高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，從實(shí)踐中給出培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一個(gè)實(shí)例，希望能對(duì)創(chuàng)新教育的實(shí)踐起到一個(gè)拋磚引玉的作用.

探究;推廣;創(chuàng)新

培養(yǎng)創(chuàng)新人才，形成創(chuàng)新型社會(huì)，要從學(xué)生抓起，從課堂開(kāi)始.數(shù)學(xué)課在培養(yǎng)創(chuàng)新能力中，更多體現(xiàn)在知識(shí)概念的傳授中，體現(xiàn)在一題多解與多題一解的探究中.其實(shí)，數(shù)學(xué)課堂更應(yīng)該關(guān)注知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，打開(kāi)學(xué)生聯(lián)想的思維.當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的理論雖取得了很大進(jìn)步，但在現(xiàn)實(shí)中卻少有人實(shí)踐，大多情形仍在應(yīng)試教育的“怪圈”中轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去.同時(shí)，多數(shù)教師認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是很難實(shí)現(xiàn)的.

事實(shí)上，執(zhí)教者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是有條件的，土壤是成熟的，它是可能的.關(guān)鍵是教師要有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.執(zhí)教者有幸在曲靖市第一中學(xué)上了這樣一節(jié)終生難忘的課，下面再現(xiàn)課堂實(shí)錄及評(píng)析，供同仁參考.

1 課本習(xí)題解法研究

圖1

問(wèn)題 人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》習(xí)題3.4B組第2題：如圖1所示，樹(shù)頂A離水平視線a米，樹(shù)上另有一點(diǎn)B離水平視線b米，在點(diǎn)C處看此樹(shù)上的點(diǎn)A,B，離此樹(shù)多遠(yuǎn)時(shí)視角最大？

師:哪位同學(xué)談?wù)勛约旱慕夥?該問(wèn)題課前已留作思考問(wèn)題).

生1(舉手)：我想到2種解法.

師:好！請(qǐng)簡(jiǎn)單地把解法展示給大家.

生1(通過(guò)投影儀)將2種解法展示如下：

解法1 (應(yīng)用三角)設(shè)樹(shù)與水平視線相交于點(diǎn)O,則

∠OCB=α, ∠OCA=β,

∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α.

設(shè)OC=x,則

于是

(1)

由已知a>b,x>0,故由式(1)知tanθ>0,θ為銳角，由基本不等式得

由三角函數(shù)知識(shí)得

故

解法2 (應(yīng)用坐標(biāo))設(shè)樹(shù)與水平視線的交點(diǎn)為O，以樹(shù)所在的直線為y軸、OC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則由題意得A(0,a),B(0,b).不妨設(shè)C(x,0)(其中x>0)是x軸正向上的一點(diǎn)，則由線到線的角公式得

以下同解法1(略).

2 推廣研究

圖2

師:生1的解法非常好，既簡(jiǎn)單又清楚.下面再給大家提供一種解法.

解法3 (應(yīng)用平面幾何)如圖2，作過(guò)點(diǎn)A,B且與射線OC相切的圓Q，切點(diǎn)設(shè)為M，射線OC上除點(diǎn)M外，其余點(diǎn)均在⊙Q外，故∠ACB的最大值為∠AMB.作QP⊥AB于點(diǎn)P，則

在Rt△BPQ中，

即

師:除此之外還可以用向量或應(yīng)用余弦定理等方法求解，課堂上對(duì)解題的方法暫時(shí)不作探究，請(qǐng)感興趣的同學(xué)課后繼續(xù)研究.我們知道數(shù)學(xué)的解題方法是無(wú)止境的，只要你感興趣，只要你肯研究，就一定還有方法.此問(wèn)題能否推廣，即能否推廣為更具普遍性的結(jié)論.

評(píng)析 教師又給出了平面幾何中的靈活解法，可以看出教師解題功底的深厚.但在此處又不過(guò)多探究解題方法，而是將繼續(xù)探究放在課后，體現(xiàn)了課堂教學(xué)向課后的延續(xù)，也彰顯著教師對(duì)課堂的掌控能力.此處雖有“點(diǎn)”可挖，但本節(jié)課的重點(diǎn)不在此.為突出本節(jié)課的探究重點(diǎn)，故將該“點(diǎn)”延續(xù)到課后.

生2：可以推廣為地面上一點(diǎn)到墻上2個(gè)定點(diǎn)的最大視角.

生3：推廣為2條互相垂直直線上，其中一條有2個(gè)定點(diǎn)，另一條上動(dòng)點(diǎn)看2個(gè)定點(diǎn)的最大視角問(wèn)題.

評(píng)析 教師的提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的思考及精練的概括.學(xué)生的回答趨于對(duì)問(wèn)題的理解及再認(rèn)識(shí).

師:非常好！能否由此得出一個(gè)定理？

學(xué)生沉默，一片茫然……

師:什么是定理？

生(部分)：經(jīng)過(guò)證明是真命題的都是定理.

師:是的！我們不要把定理看作是神秘不可觸摸的東西，只要是經(jīng)過(guò)證明的真命題都是定理，當(dāng)你所得到的真命題有用時(shí)，它就是有價(jià)值的定理.本節(jié)課我們就來(lái)探究此習(xí)題得出的定理.

評(píng)析 教師的點(diǎn)撥，使嚴(yán)肅的定理變得生活化.很多時(shí)候，學(xué)生不敢探究，不敢得出新結(jié)論，就是出于內(nèi)心的敬畏與恐懼，總是感覺(jué)定理很“神秘”.教師“蜻蜓點(diǎn)水式”的提問(wèn)，使學(xué)生自然走上了探究之路.

圖3

定理1 設(shè)直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，A,B∈l1，C∈l2，∠ACB=θ，|OA|=m，|OB|=n，m>n，A,B在l2的同一側(cè)，則θ為銳角且

評(píng)析 教師規(guī)范語(yǔ)言，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行提煉，輕松得到定理1，此處的推廣是一次自然提煉.

3 引申研究得出新定理

師:同學(xué)們看看我們提煉出的定理1滿足的條件是什么？

生(齊聲)：定理1滿足的條件是有2條互相垂直的直線，其中一條直線在垂足的同一側(cè)有2個(gè)定點(diǎn)，另一條直線上的點(diǎn)到這2個(gè)定點(diǎn)視角最大值問(wèn)題.

師(追問(wèn))：中學(xué)數(shù)學(xué)哪一部分知識(shí)具備這樣的條件呢？

生(齊聲)：圓錐曲線——橢圓、雙曲線(還有小部分聲音說(shuō)拋物線).

圖4

師:我們先看看橢圓中有沒(méi)有互相垂直的2條直線，其中一條上有2個(gè)定點(diǎn)，在另一條上看這2個(gè)定點(diǎn)的最大視角會(huì)怎樣？

生4(舉手)：有呀！對(duì)稱軸上2個(gè)焦點(diǎn)、頂點(diǎn)等都滿足您所說(shuō)的條件.

師:好的！不妨設(shè)橢圓準(zhǔn)線和y軸相交于點(diǎn)M(如圖4)，A,B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，P為準(zhǔn)線上的點(diǎn)，則

將它們代入定理得

設(shè)∠APB=θ，則

sinθ≤e或θmax=arcsine，

如此美妙的結(jié)論，學(xué)生情緒紛紛高漲.

師(進(jìn)一步啟發(fā)激勵(lì))：同學(xué)們，圓錐曲線的一些特征線、特征點(diǎn)非常有利于作這樣的探究.請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚳矗?/p>

在此,執(zhí)教者本想試一試，目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)，然而學(xué)生竟然探究發(fā)現(xiàn)新的定理，這充分體現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)新能力是不可小覷的.

評(píng)析 教師循循善誘的引導(dǎo)，將學(xué)生的探究點(diǎn)放在了圓錐曲線上.在圓錐曲線中，滿足問(wèn)題條件的載體較多，具備條件的特征點(diǎn)、特征線更多.教師從本人已掌握的結(jié)論，先得出橢圓中的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，讓學(xué)生驚喜與振奮.帶著這份激動(dòng)之情，教師還時(shí)間給學(xué)生，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，迎接挑戰(zhàn)，感受樂(lè)趣.

4 學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)新定理

學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的探究思考，竟然有學(xué)生發(fā)現(xiàn)新定理.

生5到黑板上演示了其發(fā)現(xiàn)的新定理.

證明 如圖5,設(shè)θ=∠FQO，則

圖5 圖6

生6對(duì)定理3進(jìn)一步抽象概括為一般性結(jié)論：2條互相垂直的直線，其中一條上的動(dòng)點(diǎn)視另一直線上的定點(diǎn)與該點(diǎn)與垂足間的中點(diǎn)的視角為θ，則

……

評(píng)析 教師還時(shí)間給學(xué)生，學(xué)生還驚喜給教師.每位學(xué)生的視角不同、出發(fā)點(diǎn)不同，自然就有不同的發(fā)展探究之路.教學(xué)需要啟發(fā)，創(chuàng)新需要頓悟.時(shí)間很寶貴，時(shí)間的分配很重要.學(xué)生在創(chuàng)新時(shí)，一定要有屬于自己的探究之路.

5 課后評(píng)析

本節(jié)課執(zhí)教者和學(xué)生都在創(chuàng)新的激情中分享新的東西，這使大家真正認(rèn)識(shí)到：創(chuàng)新在中學(xué)數(shù)學(xué)中是現(xiàn)實(shí)的，中學(xué)生也具備創(chuàng)新能力.但在常規(guī)的課堂中，無(wú)論教師還是學(xué)生基本沒(méi)有創(chuàng)新的意識(shí)，也沒(méi)有創(chuàng)新的精神，更多的是忙于應(yīng)試教育之中.這樣教師和學(xué)生都缺乏創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)，一定程度上可以說(shuō)培養(yǎng)創(chuàng)新能力沒(méi)有良好的土壤，我們?cè)趺茨転樯鐣?huì)培養(yǎng)符合時(shí)代需求的創(chuàng)新性人才呢？

1)本節(jié)課的問(wèn)題是教材上的習(xí)題，從學(xué)生熟悉的問(wèn)題出發(fā)，解決問(wèn)題后，關(guān)鍵是結(jié)論的有效遷移，看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.中學(xué)數(shù)學(xué)每一部分內(nèi)容，都有相關(guān)的題目與相關(guān)的結(jié)論，看似雜亂無(wú)章，卻聯(lián)系緊密.課堂不僅僅是傳授知識(shí)的場(chǎng)所，更是聯(lián)系知識(shí)的平臺(tái).教師要經(jīng)常給學(xué)生提供這樣的平臺(tái).

2)一堂好課的標(biāo)準(zhǔn)是什么？標(biāo)準(zhǔn)很多，并不唯一，而且仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智.教育要促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，一堂好課一定是適合學(xué)生發(fā)展的課.發(fā)展的核心在創(chuàng)新，創(chuàng)新就在身邊，從課堂開(kāi)始，從教師的鉆研開(kāi)始，從學(xué)生的實(shí)踐開(kāi)始.

3)詞有詞根，題亦有題根.應(yīng)試教育重視題根的應(yīng)用，素質(zhì)教育重視題根的聯(lián)系.為了在短時(shí)間內(nèi)獲得高分，應(yīng)用、實(shí)用很重要，從而做題的數(shù)量很關(guān)鍵；為了真正地培養(yǎng)創(chuàng)新能力，聯(lián)系、聯(lián)想很重要，從而做題的質(zhì)量很關(guān)鍵.教師要在應(yīng)試環(huán)境下，做好素質(zhì)教育，除了要有執(zhí)著的精神，更要有一顆平靜的心.在課堂教學(xué)中，教師不要急功近利，盯著提高學(xué)生分?jǐn)?shù)不放，這樣只能使教師的目光越來(lái)越短淺，學(xué)生的心胸也越來(lái)越狹窄.教師要樹(shù)立如下正確的基本觀念：①潛能開(kāi)發(fā)觀；②問(wèn)題探究觀；③學(xué)生主體觀；④行為實(shí)踐觀；⑤個(gè)體差異觀；⑥師生合作規(guī)；⑦生命發(fā)展觀；⑧評(píng)價(jià)過(guò)程觀.有著正確的觀念，在遵循教育規(guī)律下，開(kāi)展探究學(xué)習(xí).那么，分?jǐn)?shù)其實(shí)只是提升能力、拓展思維、培養(yǎng)創(chuàng)新的一個(gè)附屬品.

4)認(rèn)知的理論有行為主義理論、格式塔理論、皮亞杰理論、社會(huì)建構(gòu)主義理論、信息加工理論等等.課堂教學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)建立在怎樣的理論上？應(yīng)該將知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理認(rèn)知發(fā)展的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合，而不局限在怎樣的認(rèn)知理論;幫助學(xué)生形成知識(shí)塊，便于將知識(shí)存貯在記憶中，有效地加以利用，形成能力.正如美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納所說(shuō)：“獲得的知識(shí)如果沒(méi)有完美的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí).一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”

?2015-10-26；

2015-11-13.

云南省曲靖市教育局、曲靖師范學(xué)院教育科學(xué)規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新研究”(QJQSKT2015001).

邱友會(huì)(1967-)，男，云南馬龍人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)課堂中的創(chuàng)新實(shí)踐.

O124.1

A

1003-6407(2016)03-11-04