直擊中考——二次函數的應用

二次函數在中考中的考點很多，經常以拉分題形式出現在卷末.下面以今年的中考題為例，讓我們一起來看看中考從哪些角度考查這類題型.

一、二次函數的幾何型應用

例1 （2016·江蘇泰州）二次函數y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，若線段AB在x軸上，且AB為[23]個單位長度，以AB為邊作等邊△ABC，使點C落在該函數y軸右

【考點】等邊三角形、二次函數.

【分析】由題意，點C滿足兩個條件，一是△ABC是等邊三角形，二是點C在函數y軸右側的圖像上.設點C的坐標為（a，a2-2a-3），過點C作AB的垂線段CD，根據△ABC是等邊三角形，AD=[3]，可得CD=3，列出關于a的方程，求出a的值，得出點C的坐標.

解：如圖2，過點C作CD⊥AB，垂足為D.

設點C坐標為（a，a2-2a-3），

∴CD=[a2-2a-3].

∵△ABC是等邊三角形且AB=[23]，

∴AD=[3]，∴CD=3，

∴[a2-2a-3]=3.

∴a2-2a-3=3，得出a=1±[7].

圖2

或a2-2a-3=-3，得出a=0或a=2.

∵a>0，∴a=1+[7]或2.

∴點C坐標為（1+[7]，3）或（2，-3）.

【總結】題中的點C滿足兩個條件，若先設點A的坐標，根據等邊三角形的線段關系得出點C的坐標，再代入拋物線的解析式中，此種做法顯得繁瑣且方程難以解出，因此解題時如若遇到這種情況，不妨換種思路，先利用點C在拋物線上的條件設出點C的坐標，再結合等邊三角形的知識列出方程，你會發現“柳暗花明又一村”.

二、二次函數的代數型應用

例2 （2016·江蘇揚州）某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元（a>0）.未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天降1元.通過市場調研發現，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件.在這30天內，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數t（t為正整數）的增大而增大，a的取值范圍應為 .

【考點】利潤問題、二次函數.

【分析】根據題意可以先列出第t天繳納電商平臺推廣費用后的利潤關于天數t的函數，再根據利潤隨天數的增大而增大的條件，結合二次函數的圖像與性質、天數t的范圍，列出關于a的不等式，求出a的取值范圍.

解：由題意，第t天繳納電商平臺推廣費用后一件時裝的利潤為（70-a-t）元，第t天時裝的銷量為（20+4t）件，設第t天獲得的利潤為y元，則y=（70-a-t）（20+4t）=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

∵此二次函數圖像——拋物線的開口向下，且當0≤t≤30時，y隨t的增大而增大，∴拋物線頂點的橫坐標應大于或等于30，

∴-[260-4a-8]≥30，解得：a≤5.

∵a>0，∴a的取值范圍是：0

【總結】此題有兩大關鍵，一是正確列出利潤y關于天數t的函數，二是結合圖像及性質確定拋物線對稱軸的范圍.突破此兩大難點，需要對知識點的熟練掌握和一定的分析問題的能力.

三、二次函數的綜合型應用

例3 （2016·江蘇南京）圖中是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α，β，且tanα=[12]，tanβ=[32]，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系.

（1）求點P的坐標；

（2）水面上升1m，水面寬多少？（[2]取1.41，結果精確到0.1m）

【考點】三角函數、二次函數.

【分析】（1）根據三角函數的意義，過點P作OA的垂線段PB，設PB為x，用x表示OB、AB，由OA=4，列出方程求出x，寫出點P的坐標.

（2）根據拋物線經過點O、A、P，求出拋物線的解析式，當縱坐標為1時，求出相應的兩個橫坐標，從而求出水面的寬度.

解：（1）如圖，過點P作PB⊥OA，垂足為B.

設PB=x，在Rt△POB中，∵tanα=[12]，∴[PBOB]=[12]，∴OB=2x，同理：AB=[23]x，

∵OA=4，∴2x+[23]x=4，可得x=[32]，

∴OB=3，PB=[32]，點P的坐標為[3，32].

（2）設此拋物線表示的二次函數為y=ax2+bx.由函數y=ax2+bx 圖像經過（4，0）、[3，32]可得[16a+4b=0，9a+3b=32，]解得[a=-12，b=2.]

∴拋物線的解析式為y=-[12]x2+2x.

當水面上升1m 時，水面的縱坐標為1，即-[12]x2+2x=1，解得x1=2-[2]，x2=2+[2].

∴x2-x1=2+[2]-（2-[2]）=2[2]≈2.8.

答：水面寬度約為2.8m.

【總結】本題結合拋物線經過原點解析式的特征，運用待定系數法來求解，當然也可以用交點式（雙根式）或一般式求解.其次把實際問題抽象到數學問題，把求水面的寬度轉化為求點的坐標，再利用拋物線上點的坐標與距離之間的關系求出水面的寬度.此類題目若能順利轉化為數學問題，求解過程一般不會太難.

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）