奧運(yùn)與二次函數(shù)

今年是奧運(yùn)年，中國運(yùn)動健兒在里約奧運(yùn)會上再創(chuàng)佳績.可你們知道嗎，奧運(yùn)還與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)有“深厚”的聯(lián)系呢.下面圍繞二次函數(shù)這一部分內(nèi)容，以奧運(yùn)為載體，談?wù)勊鼈冎g的密切聯(lián)系.

一、 比賽項(xiàng)目與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會的賽場上，人、球或其他物體在空中運(yùn)動的某一段過程形成的軌跡可以看成拋物線，我們以跳水和足球?yàn)槔?

例1 如圖1，2016年里約奧運(yùn)會，某運(yùn)動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是拋物線y=-[256]x2+[103]x（如圖建立直角坐標(biāo)系，圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為 米.

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為多少米.

【解答】∵y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是[25，23]，

∴運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如圖2，在某場足球比賽中，球員甲從球門底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為3m時達(dá)到最高點(diǎn)，此時足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

[圖2]

（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，問此飛行中的足球能否進(jìn)球門？（不計(jì)其他情況）

（2）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門？

【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）求出當(dāng)x=2時，拋物線的函數(shù)值，與2.52米進(jìn)行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），

設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

則拋物線是y=-[112]（x-4）2+3，

當(dāng)x=0時，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]<2.44，

故能射進(jìn)球門；

（2）當(dāng)x=2時，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

∴守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，

當(dāng)y=2.52時，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球員甲的射門.

二、 商品與二次函數(shù)

里約當(dāng)?shù)氐纳痰暧泻芏鄪W運(yùn)紀(jì)念品，店家為了獲得更多利潤，要對紀(jì)念品做出合適的定價.

例3 奧運(yùn)會某紀(jì)念品的進(jìn)價為每件40美元，如果售價為每件50美元，每天可賣出210件；如果售價超過50美元但不超過80美元，每件紀(jì)念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件；如果售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件.設(shè)每件紀(jì)念品的售價為x美元，每天的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)每天的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）每件紀(jì)念品的售價定為多少美元時，每天可獲得最大利潤？每天最大利潤是多少美元？

【分析】（1）當(dāng)售價超過50美元但不超過80美元時，每件紀(jì)念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件，y=260-x，50≤x≤80；當(dāng)售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件，y=420-3x，80

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式.

（3）分別求出兩段函數(shù)的最大值，然后作比較.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，可以列出函數(shù)關(guān)系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）當(dāng)50≤x≤80時，w=-x2+300x-10400，

當(dāng)x=80時有最大值，最大值為7200，

當(dāng)80

當(dāng)x=90時，有最大值，最大值為7500，

故售價定為90美元，每天利潤最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會上有很多簽約的贊助商，在奧運(yùn)會期間他們的廣告無處不在.

例4 如圖3，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=xcm.[圖3]

某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積，進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.

【解答】設(shè)包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

∴S=4ah+a2=4[2]x·[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

∵0

∴當(dāng)x=8時，S取得最大值384cm2.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）