國際油氣價格與匯率動態(tài)相依關(guān)系研究:基于一種新的時變最優(yōu)Copula模型

姬 強，劉炳越,2，范 英

(1.中國科學(xué)院科技政策與管理科學(xué)研究所能源與環(huán)境政策研究中心，北京 100190;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)統(tǒng)計與金融系，安徽合肥 230026;3.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100190)

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國際油氣價格與匯率動態(tài)相依關(guān)系研究:基于一種新的時變最優(yōu)Copula模型

姬 強1，劉炳越1,2，范 英3

(1.中國科學(xué)院科技政策與管理科學(xué)研究所能源與環(huán)境政策研究中心，北京 100190;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)統(tǒng)計與金融系，安徽合肥 230026;3.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100190)

本文提出一個新的時變最優(yōu)Copula模型，可以準(zhǔn)確識別二元時間序列任意時點最優(yōu)的相依結(jié)構(gòu)。該模型構(gòu)造了半旋轉(zhuǎn)copula以刻畫非對稱的反向相依關(guān)系，并引入獨立性的無分布檢驗證實相依關(guān)系的存在性。同時，我們對能源商品市場(原油、天然氣)、外匯市場間動態(tài)相依關(guān)系進(jìn)行了實證分析，實證結(jié)果表明跨市場相依結(jié)構(gòu)類型確實是時變的，突發(fā)事件往往是相依結(jié)構(gòu)突變的主因。另外，時變最優(yōu)Copula模型的主要優(yōu)勢在于不僅能夠捕捉相依方向和相依強度的動態(tài)性，還能有效捕捉相依結(jié)構(gòu)類型的動態(tài)性。

尾部相依；跨市場協(xié)同運動；時變最優(yōu)Copula模型

1 引言

2008年金融危機爆發(fā)后，國際資本市場風(fēng)險加大，市場間傳染效應(yīng)凸顯，如何刻畫跨市場動態(tài)相依關(guān)系，特別是極端事件下的相依結(jié)構(gòu)成為構(gòu)建資產(chǎn)投資組合和市場風(fēng)險管理的重要內(nèi)容。Copula模型由于可以捕捉非線性的相依關(guān)系以及尾部相依性(極端風(fēng)險相依)，成為度量市場協(xié)同運動的有力工具，在市場相依結(jié)構(gòu)分析中得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]。

關(guān)于copula方法的早期研究主要采用靜態(tài)、單一copula方法，研究問題集中在股票、外匯、債券等金融領(lǐng)域以及風(fēng)險管理領(lǐng)域[6-13]。而對copula方法的改進(jìn)主要從兩個方面展開：①構(gòu)造多個copula的凸組合形成混合copula模型[14-15]；②對單一copula相依參數(shù)構(gòu)建時變方程[15-18]。由于以往的研究主要集中在金融市場內(nèi)部，得到的結(jié)論通常是市場存在非對稱的正向協(xié)同運動關(guān)系，這種非對稱的正相依結(jié)構(gòu)由已有的copula方法進(jìn)行刻畫非常合適。但是，跨市場間相依關(guān)系往往會呈現(xiàn)反向關(guān)系，比如美元匯率貶值往往會伴隨以美元定價的大宗商品價格的上漲[19-21]。然而，大部分常用的非對稱copula函數(shù)無法刻畫此類反向協(xié)同運動關(guān)系，而對稱的正態(tài)copula或t copula雖然能夠刻畫反向協(xié)同運動，但限定市場間相依結(jié)構(gòu)具有對稱性，很難刻畫極端風(fēng)險下的非對稱現(xiàn)象。同時，采用只能度量同漲(跌)的上(下)尾相依函數(shù)進(jìn)行分析，往往會忽略跨市場中可能存在的反向極值相依，從而得出不存在極端協(xié)同運動的結(jié)論，與實際情況不符。因此，本文主要解決如何確定跨市場動態(tài)相依結(jié)構(gòu)以及尾相依度量等問題，特別是對市場間反向不對稱相依關(guān)系進(jìn)行有效刻畫。

本文提出一種新的時變最優(yōu)Copula模型，能夠有效度量在市場極端風(fēng)險下的跨市場動態(tài)相依關(guān)系。主要貢獻(xiàn)如下：①構(gòu)造半旋轉(zhuǎn)Gumbel copula函數(shù)，對市場間非線性、非對稱的反向協(xié)同運動進(jìn)行刻畫。②引入獨立性的無分布檢驗，提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動的時變最優(yōu)Copula識別方法，準(zhǔn)確識別每個時間點上的最優(yōu)匹配的copula模型。③以能源市場(原油、天然氣)、外匯市場(美元)為例，采用時變最優(yōu)Copula模型分析跨市場間的正向和反向動態(tài)相依結(jié)構(gòu)。

下文主要分為以下幾部分：第二節(jié)，我們構(gòu)建了時變最優(yōu)Copula模型的理論框架；第三節(jié)，我們以能源市場、外匯市場為例進(jìn)行實證分析；最后是結(jié)論。

2 模型方法

由于受到市場基本面、突發(fā)事件和外部信息流入等多維因素的交互影響，市場間相依結(jié)構(gòu)是隨時間動態(tài)變化的，其較高的復(fù)雜性意味著采用單一、靜態(tài)的copula函數(shù)很難準(zhǔn)確并完整地刻畫這一動態(tài)特性。因此，本節(jié)首先根據(jù)Patton[22]的想法，構(gòu)造了半旋轉(zhuǎn)Gumbel函數(shù)，彌補了Gumbel copula(或旋轉(zhuǎn)Gumbel)只能刻畫正向相依結(jié)構(gòu)以及上尾(或下尾)相依的不足。其次，在此基礎(chǔ)上，提出數(shù)據(jù)驅(qū)動的時變最優(yōu)Copula識別方法，對不同市場間的時變相依結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫。

2.1 copula函數(shù)建模

Copula是一個多元分布函數(shù)，其邊緣分布是[0, 1]區(qū)間的均勻分布。二元copula的嚴(yán)格定義為：若隨機變量U,V～Uniform(0, 1)，則二維隨機向量(U,V)的聯(lián)合分布為一個copula函數(shù)，記為(U,V)～C。根據(jù)Sklar[23]，二元隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F可表示為：

F(x,y) = C(FX(x),FY(y))

(1)

其中FX和FY為(X, Y)的邊緣分布，C是描述(X, Y)間相依結(jié)構(gòu)的copula函數(shù)。若所有的累積分布函數(shù)可微，則(X,Y)的聯(lián)合密度f可表示為：

f(x,y)=c(u,v)·fX(x)·fY(y)

(2)

我們采用Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)來刻畫市場相依關(guān)系的強度和方向。同時，根據(jù)Joe[24]，我們采用copula捕捉下尾和上尾相依函數(shù)以度量市場正向極端協(xié)同運動，即隨機變量X、Y，其累積分布函數(shù)分別為FX、FY，對應(yīng)的copula函數(shù)為C(u,v)，則對于較小的α(比如0.05)。

τLL(α) =Pr(X

(3)

(4)

另外，參照下尾和上尾相依形式，我們提出左上尾和右下尾相依函數(shù)以度量市場反向極端協(xié)同運動如下:

τLU(α) = Pr(XFY-1(1-α))

(5)

τUL(α) = Pr(X>FX-1(1-α) | Y

(6)

其中，τLL(α)、τUU(α)、τLU(α)和τUL(α)分別表示下尾相依、上尾相依、左上尾相依以及右下尾相依。顯然，下尾相依τLL(α) 和上尾相依τUU(α)僅能刻畫市場間同向極端協(xié)同運動，而左上尾相依τLU(α)和右下尾相依τUL(α)則能度量市場間反向極端協(xié)同運動。為了捕捉跨市場間非對稱的左上尾相依τLU(α)和右下尾相依τUL(α)，本文對Gumbel copula函數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)展(具體見2.1.1節(jié))。

2.1.1 Copula半旋轉(zhuǎn)變換及其相依性質(zhì)

一般地，常用的copula函數(shù)有Normal、t、Gumbel等。其中，Normal copula和t copula均可以描述對稱的正、負(fù)相依性，但Normal copula不具有尾部相依，而t copula具有對稱的尾部相依。Gumbel copula可以描述非對稱的正相依性，且具有上尾相依，而旋轉(zhuǎn)Gumbel(生存Gumbel)能夠捕捉下尾相依。為捕捉非對稱的左上尾τLU(α)和右下尾相依τUL(α)等極端相依，我們構(gòu)造了半旋轉(zhuǎn)Gumbel copula函數(shù)如下。

可以證明，當(dāng)U～Uniform(0,1)時，1-U～ Uniform(0,1)。為捕捉各種類型的跨市場相依關(guān)系，我們給出定理1～定理3的嚴(yán)格證明。其中，定理1給出了半旋轉(zhuǎn)Gumbel copula分布的具體形式，定理2探討了Gumbel類copula與Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，定理3給出了左上尾、右下尾相依與copula函數(shù)之間的關(guān)系。

定理1：對于Gumbel copula分布COG(θ)，如果二元隨機向量(U, V)滿足U, V～Uniform(0,1)且(U, V)～COG(θ)，令ciG(u,v;θ)為copula CiG(u,v;θ)的密度函數(shù)(i∈{O,R1,R2})，則:

(1-U,V)～CR1G(θ),CR1G(u,v;θ)=v-COG(1-u,v;θ), cR1G(u,v;θ) = cOG(1-u,v;θ), θ∈ΘG

(7)

(U,1-V)～CR2G(θ), CR2G(u,v;θ) = u-COG(u,1-v;θ), cR2G(u,v;θ) = cOG(u,1-v;θ), θ∈ΘG

(8)

證明：記(U, V)～COG(θ)，則COG(u,v;θ) = Pr(U≤u,V≤v)。令U′=1-U，V′=V，由copula定義，有(U′, V′)～CR1G(θ)，則:

CR1G(u,v;θ)=Pr(U′≤u,V′≤v)= Pr(1-U≤u,V≤v)=Pr(V≤v) -Pr(U<1-u,V≤v)=v-COG(1-u,v;θ)

同理，

CR2G(u,v;θ) = u-COG(u,1-v;θ)

cR1G(u,v;θ) = cOG(1-u,v;θ), θ∈ΘG

cR2G(u,v;θ) = cOG(u,1-v;θ), θ∈ΘG. #

定理2：Copula CiG(θ)(i∈{O,R})只能擬合具有正相依關(guān)系的隨機向量，而Copula CiG(θ) (i∈{R1,R2})只能擬合具有負(fù)相依關(guān)系的隨機向量。

證明：根據(jù)引理1，

同理，

定理3：對于任一Cij, i∈{O,R1,R,R2}, j∈{N,t,G}(當(dāng)i=O時, j∈{N,t,G}；當(dāng)i∈{R1,R,R2}時, j=G)，對于較小的α(比如0.05)，其尾相依函數(shù)可表示為：

(9)

(10)

證明：由copula，可以得到相應(yīng)的隨機變量X和Y均不超過給定的分位數(shù)的概率，即：

C(u,v)=Pr(X≤FX-1(u),Y≤FY-1(v)), 因此，對任意給定的Cij(u,v;θ)，i∈{O,R1,R,R2}，j∈{N,t,G}，其左上尾相依函數(shù)為：

同理，

2.1.2 Copula性質(zhì)總結(jié)

本節(jié)通過copula密度函數(shù)圖(圖1～2)對各種copula函數(shù)的適用范圍給出更直觀的描述，并總結(jié)各copula函數(shù)的性質(zhì)(詳見表1)。Normal、t、R1Gumbel、R2Gumbel copula函數(shù)可以刻畫跨市場反向協(xié)同運動；而Normal、t、Gumbel、R Gumbel copula可以刻畫市場正向協(xié)同運動。其中，Normal copula沒有尾相依性，t copula有對稱的尾相依性，R1Gumbel、R2Gumbel、Gumbel和R Gumbel分別具有非對稱的左上尾、右下尾、上尾和下尾相依。總之，我們的copula集合可以捕捉各種類型的跨市場相依結(jié)構(gòu)。

圖1 Normal和t copula密度函數(shù)

圖2 Gumbel-類copula密度函數(shù)

FamilyParameterDistributionDependenceTailDependenceNormal(-1,1)對稱正、負(fù)相依無t(-1,1),(2,∞)對稱正、負(fù)相依全部尾相依Gumbel(1,∞)非對稱正相依上尾相依R1Gumbel(1,∞)非對稱負(fù)相依左上尾相依RGumbel(1,∞)非對稱正相依下尾相依R2Gumbel(1,∞)非對稱負(fù)相依右下尾相依

2.1.3 Copula參數(shù)估計及其擬合優(yōu)度檢驗

(11)

(12)

對于copula建模而言，除了參數(shù)估計外，另外一個重要的問題是檢驗真實的未知copula是否為已選的copula類型，從而有如下檢驗，

T1: H0:C∈C={Cθ:θ∈Q} vs. H1: C?C

其中Q為R上的開子集。如果真實的未知copula屬于C，則存在唯一的θ∈Q，使得C∈C。進(jìn)行T1檢驗需要基于如下函數(shù)，

(13)

2.2 時變最優(yōu)Copula建模

常用的時變copula模型大多是對單一copula的相依參數(shù)建模[15-18]。這些時變copula模型均為固定copula函數(shù)類型不變，而僅僅允許copula相依參數(shù)隨時間動態(tài)變化。允許copula相依結(jié)構(gòu)類型變化的研究中，Guégan和Zhang Jing[28]采用二元分割程序檢測copula相依類型的變化，另外機制轉(zhuǎn)移copula模型可以通過引入狀態(tài)變量，描述不同機制下的相依結(jié)構(gòu)類型[29-30]。本文提出數(shù)據(jù)驅(qū)動的時變最優(yōu)Copula識別方法，其建模過程分為最優(yōu)copula建模和時變建模兩步。時變最優(yōu)Copula建模過程如下。

2.2.1 最優(yōu)copula建模過程

在最優(yōu)copula建模過程中，要明確兩點：第一，樣本序列正、負(fù)相依關(guān)系的顯著性。第二，對應(yīng)于正、負(fù)相依關(guān)系的可選copula集。因此，首先需要根據(jù)樣本對(X, Y)的相依關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計推斷。對于序列長度為n的隨機向量(X, Y)，我們建立如下兩個檢驗：

T2: H0: τ=0 vs. H1: τ<0

(14)

T3: H0: τ=0 vs. H1: τ>0

(15)

因此，最優(yōu)copula的求解算法如下：

步驟1:采用GARCH(1,1)模型擬合t時刻子樣本(時間t為子樣本最后一個點)，進(jìn)而得到[0,1]區(qū)間的均勻分布序列。

步驟5: 從{N,t}中選擇t時刻最優(yōu)的copula。

2.2.2 時變建模過程

滾動窗口分析是時間序列分析的常用方法，大量文獻(xiàn)采用滾動窗口方法對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象或市場特征進(jìn)行動態(tài)分析[32-35]。同樣，我們采用滾動窗口分析完成時變最優(yōu)Copula模型的時變建模過程。參考Fan Jianqing和Gu Juan[33]和Aloui等[35]，將窗口長度固定為250天，近似一年的交易期。從實證結(jié)果來看，將窗寬選取為250天的簡化處理并不妨礙我們得出一般化結(jié)論。另外，對于各時間窗口內(nèi)最優(yōu)擬合的copula是否能夠準(zhǔn)確刻畫二元序列間相依關(guān)系，我們進(jìn)行了擬合優(yōu)度檢驗。

3 實證分析

本節(jié)我們采用時變最優(yōu)Copula模型對國際原油市場、天然氣市場與美元匯率市場協(xié)同運動進(jìn)行實證分析。采用copula模型進(jìn)行能源市場與外匯市場間相依關(guān)系的研究還十分有限[36-38]。本文中，能源市場選取Brent原油價格(OIL)和Henry Hub天然氣價格(GAS)，數(shù)據(jù)來源于美國能源信息署；外匯市場選取美元指數(shù)(USDX)，數(shù)據(jù)來源于美國聯(lián)邦儲備銀行。樣本期從2000年1月4日至2014年8月22日。

3.1 數(shù)據(jù)與描述性統(tǒng)計

表2展示了石油、天然氣以及美元指數(shù)日收益序列的描述性統(tǒng)計。在整個樣本期，這些序列均為偏態(tài)(非對稱)分布，且具有明顯的波動聚集現(xiàn)象，JB統(tǒng)計量均顯著地拒絕了序列分布的正態(tài)性假設(shè)。各收益序列以及收益平方序列的Ljung-Box統(tǒng)計量表明各收益序列存在顯著的條件異方差，LM檢驗統(tǒng)計量也表明各收益序列存在明顯的ARCH效應(yīng)。以上檢驗結(jié)果表明，我們對各收益序列構(gòu)建GARCH(1,1)模型是合理的。

3.2 跨市場協(xié)同運動

整體來看，美元與原油呈強反向協(xié)動關(guān)系，美元與天然氣呈弱反向協(xié)動關(guān)系，而原油與天然氣市場呈正向協(xié)動關(guān)系(見圖3～5)。2008年爆發(fā)的金融危機以及2011年的歐債危機，使得OIL-USDX、GAS-USDX、OIL-GAS市場收益間的階段性協(xié)同運動顯著增強，表現(xiàn)為Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)的值在危機爆發(fā)期明顯增大，并且伴隨危機影響的消除逐漸減弱。在08年～12年的整個經(jīng)濟(jì)危機的大背景下，OIL-USDX、GAS-USDX市場協(xié)動關(guān)系呈“W”型，OIL-GAS則呈“M”型。這也反映了不同市場間信息傳染效應(yīng)的強弱與外生沖擊的強度有直接關(guān)系。另外，與原油市場相比，天然氣市場的全球化程度不高，且其影響機制和影響因素都相對復(fù)雜，因而GAS-USDX市場間的反向關(guān)系整體很微弱。

表2 各市場收益序列的描述性統(tǒng)計及ARCH效應(yīng)檢驗

注：*, **分別表示在5%和1%的水平下顯著。Q,Q2分別表示收益序列、收益平方序列的Ljung-Box檢驗統(tǒng)計量。ARCH表示ARCH效應(yīng)的Lagrange Multiplier檢驗統(tǒng)計量。

在整個樣本區(qū)間內(nèi)，Normal和t copula所占比例較大，說明在大部分時間里市場間具有對稱的相依結(jié)構(gòu)。而在某些特殊時期，OIL-USDX和GAS-USDX市場對中最優(yōu)的copula為R1Gumbel或R2Gumbel，表明能源市場與外匯市場間確實存在非對稱的反向極端相依。比如，在短暫的2008年上半年的金融危機前夕，原油市場與美元市場間最優(yōu)的相依結(jié)構(gòu)為R2Gumbel，Brent原油市場收益傾向大幅上漲而美元市場傾向大幅下跌；而在2011年年中的歐債危機階段，原油市場與美元市場間最優(yōu)的相依結(jié)構(gòu)為R1Gumbel，Brent原油市場收益處于下行風(fēng)險而美元市場處于上行通道。上述實證結(jié)果與現(xiàn)實情況的吻合不僅表明左上尾和右下尾相依的存在性，同時驗證了采用時變最優(yōu)Copula模型研究跨市場極端相依的有效性。

綜上，時變最優(yōu)Copula實證結(jié)果表明，跨市場相依關(guān)系強度具有明顯的動態(tài)特征；相依方向也不總是表現(xiàn)為正或負(fù)相依，有時會出現(xiàn)正、負(fù)相依模式的交替；整個樣本期最優(yōu)的copula相依結(jié)構(gòu)也隨時間動態(tài)變化。因而，本文提出的時變最優(yōu)Copula模型能夠很好地刻畫市場間相依結(jié)構(gòu)模式轉(zhuǎn)變的動態(tài)性，準(zhǔn)確捕捉市場間的動態(tài)相依關(guān)系。

圖3 Brent原油與美元指數(shù)動態(tài)相依圖

圖4 Henry Hub天然氣與美元指數(shù)動態(tài)相依圖

圖5 Brent原油與Henry Hub天然氣動態(tài)相依圖

3.3 TVOC模型的擬合優(yōu)度檢驗

為檢驗TVOC是否在任意時點能夠準(zhǔn)確刻畫市場間相依結(jié)構(gòu)，我們采用2.1.3節(jié)中的擬合優(yōu)度檢驗對每個窗口期最優(yōu)的copula進(jìn)行檢驗，其動態(tài)檢驗p值如圖6所示。我們能夠看出在絕大多數(shù)時間點最優(yōu)copula的擬合優(yōu)度檢驗p值均大于0.05，表明TVOC模型基本可以準(zhǔn)確刻畫跨市場動態(tài)相依特征。

圖6 TVOC模型動態(tài)擬合優(yōu)度檢驗P值

4 結(jié)語

本文提出了一個新的研究市場動態(tài)相依結(jié)構(gòu)的方法—時變最優(yōu)Copula模型，該方法適用于跨市場動態(tài)相依性分析。

研究表明時變最優(yōu)Copula模型能很好地描述極端風(fēng)險下跨市場相依的動態(tài)特征，主要優(yōu)勢在于：1)構(gòu)造的半旋轉(zhuǎn)Gumbel模型能夠有效地刻畫跨市場非對稱的反向相依關(guān)系，彌補了常用的copula函數(shù)(Normal、t、Gumbel)在這方面的缺陷。2)構(gòu)造的時變最優(yōu)Copula模型提供了一個動態(tài)copula函數(shù)集合，能夠動態(tài)捕捉各種類型的跨市場相依模式，彌補了采用單一、靜態(tài)copula函數(shù)在這方面的缺陷。3)時變最優(yōu)Copula模型的動態(tài)性不僅包括了相依方向、相依強度的動態(tài)性，而且還包括相依結(jié)構(gòu)類型的動態(tài)性。

實證結(jié)果表明，在不同條件下，市場間相依關(guān)系的特征及程度都是不同的。在經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)運行期，市場間大多具有對稱的相依性，最優(yōu)的copula通常為Normal和t copula。在此經(jīng)濟(jì)背景下，相依關(guān)系的方向、程度與資產(chǎn)屬性及其內(nèi)部經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)有關(guān)。然而，上述因素導(dǎo)致的跨市場相依關(guān)系往往是弱相依的。相反，在極端事件情景下，市場相依常常是非對稱的，這一時期的市場間相依關(guān)系主要由極端的外部沖擊決定，因而市場收益間相依關(guān)系往往呈現(xiàn)明顯增強的趨勢，市場間風(fēng)險溢出效應(yīng)明顯加大。

因此，本文提出的時變最優(yōu)Copula模型能夠刻畫不同機理影響下的市場間相依關(guān)系，這對于市場投資者和風(fēng)險管理者靈活調(diào)整投資組合策略，規(guī)避投資風(fēng)險以及防范市場風(fēng)險溢出乃至金融傳染等方面具有重要的意義。而且，本文構(gòu)造的半旋轉(zhuǎn)copula在度量非線性非對稱負(fù)相依關(guān)系方面具有較大的優(yōu)勢，能夠為市場風(fēng)險管理者構(gòu)建投資組合進(jìn)行風(fēng)險對沖提供新的分析工具。

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Dynamic Dependence Between International Oil, Natural Gas and Exchange Market Based on a New Time-varying Optimal Copula Model

JI Qiang1, LIU Bing-yue1, 2, FAN Ying3

(1.Center for Energy and Environmental Policy research, Institute of Policy and Management,Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 2.Department of Statistics and Finance, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China; 3.School of Economics & Management, Beihang University, Beijing 100191, China)

In this paper, a new time-varying optimal copula model is proposed to precisely identify the optimal dependence structure of bivariate time series at every time point. In this model, half-rotated copulas, i.e.CR1G(u,v;θ)=v-COG(1-u,v;θ) andCR2G(u,v;θ)=u-COG(u,1-v;θ), are constructed to capture the asymmetric negative dependence, especially for the negative extreme dependence, i.e. lower-upper tailτLU(α)=Pr(XFY-1(1-α)) and upper-lower tail dependenceτUL(α)=Pr(X>FX-1(1-α)|Y

tail dependence; co-movement across markets; time-varying optimal copula

2015-08-12；

2016-03-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(91546109，71133005，71203210)

簡介：范英(1966-)，女(漢族)，河北陽原人，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院院長，博士生導(dǎo)師，研究方向：能源經(jīng)濟(jì)學(xué)、能源市場與碳市場、能源-環(huán)境-經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)建模等，E-mail: ying_fan@263.net.

1003-207(2016)10-0001-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.10.001

F830

A