涉及實零點的亞純函數Picard型定理

徐成雨, 劉曉俊

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

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涉及實零點的亞純函數Picard型定理

徐成雨, 劉曉俊

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

利用亞純函數的正規理論和值分布理論的基本概念、研究方法以及研究成果,并以Marty正規定則為基礎,對零點均是實數的亞純函數的Picard型定理進行了研究,得到:設d∈N+,f是復平面上的超越亞純函數,若存在M≥0,使得f滿足f的零點均為實數;f的極點重級至少為3;當=0時,必有,則f ′-zd有無窮多個零點.

亞純函數; 正規族; 實零點;Picard型定理

1 問題的提出

1959年Hayman[1]證明了Picard型定理(定理1).

定理1 設k∈N+,f為復平面上的亞純函數,若f≠0且f(k)(z)≠1，則f≡C,C為常數.

1979年Gu[2]證明了對應的正規定則(定理2).

2013年童曉麗等[3]首先考慮將“f(z)≠0”減弱為“f(z)的零點分布在一條給定的直線上”,得到了定理3.

定理3 設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,有:

b. f的零點分布在一直線上;

c. f的極點重級m≥3;

d. f ′(z)≠1.

則F在D上正規.

2015年洪蘇敏等[4]又將定理3中的條件“f′(z)≠1”改為“f′(z)≠zd”,得到定理4.

定理4 設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,有:

a.f的零點分布在一直線上;

c. f的極點重級m≥3;

d. f ′(z)≠zd,這里d∈N+.

則F在D上正規.

2008年Pang等[5]利用擬正規定則將定理1條件中的“f(z)≠0”減弱為“f零點除了有限個之外均為重級零點”,并將例外值推廣到“不恒為零的有理函數”,得到定理5.

定理5[5]設f為復平面上的超越亞純函數,且其零點除了有限個之外均為重級零點,R?0是有理函數,則f ′-R有無窮多個零點.

2012年Chang[6]又進一步利用擬正規定則,討論了當f在零點處導數一致有界的情況,得到了定理6.

定理6 設f為復平面上的無窮級亞純函數,若f ′(z)≠1,則Mf=f ′(f-1(0))={f ′(z):z∈,f(z)=0}無界.

本文在定理6的基礎上增加一些條件,利用正規定則將定理6的結果推廣到更為一般的情況,從而得到與定理4相對應的Picard型定理(定理7).

定理7 設d∈N+,f是復平面上的超越亞純函數,若存在M≥0,使得f滿足:

a. f的零點均為實數;

b. f的極點重級至少為3;

則f ′-zd有無窮多個零點.

2 主要的引理

引理1[7]設f為復平面上的無窮級亞純函數,則存在an→∞,正數列δn→0,使得f#(an)→∞,S(Δ(an,δn),f)→∞.

引理2[8]設F為區域D內的亞純函數族,k∈N+,h(z)(?0)在D內全純,若對于任意的f∈F,有f(z)≠0,f(k)(z)≠h(z),則F在D內正規.

引理3[9]設{fn}為區域D內的亞純函數族,{φn}是D內的全純函數列且在D上內閉一致收斂到φ,其中,φ(z)≠0,∞.若對任意的n∈N和任意的z∈D,有fn(z)≠0,f ′n(z)≠φn(z),則{fn}在D內正規.

引理4[10]設f是復平面上的超越亞純函數,k∈N+且k≥2,ε>0,則對于所有的r>e且r?E,其中,集合E?(e,∞)且其對數密度為0(在這里,E僅取決于f,k,ε),有

其中

引理5[1]設av(v=1,2,…,q)為q(q>2)個有窮判別的復數,則有

引理6[11]設f為上有窮級亞純函數,則對于f的每一個非直接漸近值a,存在zn,使得f(zn)→a,且f′(zn)=0.

引理7[12]設f是上的亞純函數,其有限臨界值和漸近值是一個有界集合,則存在正數r0,使得當>r0和>r0時,有

(1)

且有

于是,有

(4)

(5)

(7)

(8)

因此,由式(7)得

(9)

于是,由式(1),(2),(6),(7)和(9)得

3 定理7的證明

現證明定理7.

證明 分兩種情形討論.

情形1f為無窮級超越亞純函數.

記zn=xn+iyn,下面再分兩種情形討論.

情形1.1 xn→∞.

(10)

(11)

情形1.2 xn→x0∈,yn→∞.

(12)

將z=xn代入式(12),得

情形2 f為有窮級超越亞純函數.

情形2.1 f只有有限個實零點.

由于f的零點個數有限,則有

(13)

由引理4、引理5和Nevanlinna第一基本定理,得

由于f為超越亞純函數,因此,f′-zd有無窮多個零點.

情形2.2f有無窮多個實零點.

(15)

(16)

故f ′-zd有無窮多個零點,定理7得證.

[1] HAYMAN W K.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] GU Y X.A normal criterion of meromorphic families[J].Scientia Sinica,Mathematical Issue(I),1979,1:267-274.

[3] 童曉麗,劉曉俊.零點位于直線上的亞純函數的正規定則[J].上海理工大學學報,2014,36(4):362-365.

[4] 洪蘇敏,劉曉俊.零點分布在直線上的亞純函數的正規定則[J].上海理工大學學報,2016,38(3):211-217.

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[6] CHANG J M.On meromorphic functions whose first derivatives have finitely many zeros[J].Bulletin of the London Mathematical Society,2012,44(4):703-715.

[7] NEVO S,PANG X C,ZALCMAN L.Quasinormality and meromorphic functions with multiple zeros[J].Journal d′Analyse Mathématique,2007,101(1):1-23.

[8] 顧永興,龐學誠,方明亮.正規族理論及其應用[M].北京:科學出版社,2007.

[9] PANG X C,NEVO S,ZALCMAN L.Quasinormal families of meromorphic functions Ⅱ[M]∥EIDERMAN V Y,Samokhin M.Selected Topics in Complex Analysis.Operator Theory:Advances and Applications.Switzerland:Birkh?user Basel,2005,158:177-189.

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[11] BERGWEILER W,EREMENKO A.On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order[J].Revista Matemática Iberoamericana,1995,11(2):355-373.

[12] Bergweiler W.On the zeros of certain homogneous differential polynomials[J].Arch Math,1995,64(3):192-202.

(編輯:石 瑛)

Picard Theorem of Meromorphic Functions with Real Zeros

XU Chengyu, LIU Xiaojun

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

By virtue of some fundamental concepts,analysis methods and research results about the theories of value distribution and normal family for meromorphic functions and based on Marty’s criterion for normality,the Picad theorem of meromorphic functions with real zeros was discussed and it is proved:letd∈N+,fbe a transcendental meromorphic function on the complex plane,if there existsM≥0,so that forf,all zeros offare real number,all of whose poles have multiplicity at least 3 andf(z)=0?,thenf ′-zdhasinfinitezeros.

meromorphicfunction;normalfamily;realzero;Picardtheorem

1007-6735(2016)05-0414-05

10.13255/j.cnki.jusst.2016.05.002

2016-04-25

國家自然科學基金青年基金資助項目(11401381)

徐成雨(1992-),女,碩士研究生.研究方向:復分析.E-mail:chengyuxu5928@sina.com

劉曉俊(1982-),男,副教授.研究方向:復分析.E-mail:xiaojunliu2007@hotmail.com

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