特征參數對DSMC方法模擬聲場中顆粒碰撞的影響

郭孝武, 凡鳳仙, 胡曉紅, 蘇明旭

(1.上海理工大學 能源與動力工程學院,上海 200093;2.上海理工大學 上海市動力工程多相流動與傳熱重點實驗室,上海 200093)

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特征參數對DSMC方法模擬聲場中顆粒碰撞的影響

郭孝武1,2, 凡鳳仙1,2, 胡曉紅1,2, 蘇明旭1,2

(1.上海理工大學 能源與動力工程學院,上海 200093;2.上海理工大學 上海市動力工程多相流動與傳熱重點實驗室,上海 200093)

直接從顆粒受力和運動出發,基于直接模擬蒙特卡洛(DSMC)方法建立顆粒碰撞模型,模擬聲場中顆粒的碰撞過程,通過改變模擬條件,探討DSMC方法中的特征參數(取樣顆粒的數目權重、網格數目、時間步長)對顆粒碰撞率和計算時間的影響.結果表明:頻率越大,顆粒容積份額變化越迅速,顆粒空間分布越不均勻;數目權重的增加對顆粒碰撞率影響較小,而對計算時間的影響顯著,使其迅速減少;網格數目增加,碰撞率降低,計算時間則先迅速降低,隨后在低頻時基本不變,高頻時略有上升.研究還發現:隨著碰撞時間步長的增加,低頻聲場中碰撞率單調增加,高頻聲場中碰撞率先增加而后出現波動;碰撞時間步長的增加將引起計算時間減少,減少量在碰撞步長較小時最為明顯.

聲場; 顆粒; 碰撞; 直接模擬蒙特卡洛方法; 特征參數

目前,用于聲凝并的數值模擬方法可歸納為區域算法、矩量法和直接模擬蒙特卡洛(direct simulation Monte Carlo,DSMC)方法[8].其中,DSMC方法立足于氣體分子運動論,將所計算的實際顆粒場用取樣顆粒場進行置換,對每一個取樣顆粒賦予一個數目權重(即取樣顆粒所代表的真實顆粒數目),跟蹤取樣顆粒的運動軌跡,通過概率的方法判斷碰撞是否發生,并對碰撞后的顆粒凝并事件進行處理,該方法可以方便地分析多分散顆粒凝并的動態過程以及粒徑演變規律[9-12].2006年,Sheng等[9]利用常體積Monte Carlo方法在初始顆粒及團聚體均為球形的前提下,研究了行波聲場中液態PM2.5的聲凝并,發現數值模擬結果在一些情況下與實驗吻合較好,而當顆粒初始粒徑分布發生改變時,則與實驗存在明顯差異;2007年,他們引入分形維數以描述顆粒團聚體的形狀和結構,將上述聲凝并模型推廣到固體顆粒的聲凝并中[10].與Sheng等[9-10]在顆粒通用動力學方程和凝并核函數的基礎上建立聲凝并模型不同,凡鳳仙等[11-13]從顆粒運動方程出發,利用DSMC方法研究PM2.5在行波聲場中的碰撞特性[11]、在駐波聲場中的碰撞和凝并規律[12-13].顆粒碰撞是其發生凝并的基礎和前提,然而,在利用DSMC方法處理顆粒碰撞時,3個特征參數(時間步長、取樣顆粒的數目權重、計算區域內的網格數目)需要人為設定,這些特征參數的取值將影響到計算精度[14-16].時間步長與取樣顆粒的數目權重越小,計算越精確,然而隨之出現的是計算代價的增加;若在一個網格范圍內判斷顆粒碰撞的發生,則計算區域內的網格數目也將對計算結果和計算代價帶來影響.因此,本文基于DSMC方法,在不同特征參數條件下對聲場中顆粒的碰撞過程進行數值模擬,確定特征參數對顆粒碰撞率和計算時間的影響,為利用DSMC方法準確、高效地研究PM10,PM2.5的聲凝并提供參考.

1 聲場中顆粒動力學模型

為利用DSMC方法研究聲場中顆粒的碰撞過程,作出如下簡化假設:

a. 聲場為一維平面駐波聲場,聲波波動方向為水平方向;

b. 由于煙氣的物性參數和空氣類似,且其壓力不太高,將氣體介質視為理想空氣;

c. 顆粒為剛性球體,忽略顆粒的轉動;

d. 由于聲輻射壓力的作用效果極其微弱[17],不考慮聲輻射壓力;

e. 顆粒碰撞在各網格內進行,且為二元碰撞,為著重考慮顆粒的碰撞,暫不考慮其凝并,認為顆粒碰撞后彈開;

f. 在顆粒碰撞過程中,顆粒發生滑移時所受摩擦力遵守庫侖摩擦定律.

1.1 聲波波動方程

由Navier-Stokes方程,可推導出無旋、無粘流體中x向駐波聲場的波動方程為

(1)

式中:ufx為聲波引起的流體介質振動速度;x為位置坐標;t為時間;ua為速度振幅;k為波數,k=ω/c,c為聲速;ω=2πf,f為聲場頻率.

習慣上常用聲壓級和頻率描述聲場,聲壓級與速度振幅ua的關系為

(2)

式中:L為聲壓級,dB;Pr為參考聲壓,Pr=210-5Pa.

1.2 顆粒運動方程

設重力方向為z向,與x和z垂直的方向為y向,流體攜帶顆粒沿y向以一定速度通過聲場空間.根據牛頓第二定律,顆粒運動方程可寫為

其中:式(3a)等號右邊4項依次為Stokes力的x向分量、壓力梯度力、虛擬質量力、Basset力;式(3b)等號右邊為Stokes力的y向分量;式(3c)等號右邊3項分別為Stokes力的z向分量、重力、浮力.式中:mp為顆粒質量;mf為與顆粒等體積的流體質量;ufy和ufz分別為流體速度的y,z向分量;upy與upz分別為顆粒速度的y,z向分量;ρp為顆粒密度;g為重力加速度;t′為時間變量;Cc為Cunningham修正系數,其表達式為[13]

式中,Kn為Knudsen數,Kn=2lm/dp,lm為氣體分子平均自由程,m.

1.3 描述顆粒碰撞的DSMC方法

對含有大量PM10,PM2.5的氣固懸浮體系施加駐波聲場,顆粒間的碰撞不可避免.為了準確地描述聲場中顆粒的行為規律,理想的方法是跟蹤到每一個顆粒,通過顆粒運動軌道來判斷顆粒碰撞,但當顆粒量很大時,這種方法的計算量將是非常驚人的.由于顆粒數目龐大,利用顆粒軌道判斷碰撞的方法難以勝任.解決這一問題的一個行之有效的途徑是采用DSMC方法.由于DSMC方法處理的是遠低于真實顆粒數目的取樣顆粒,從而大大降低了計算量,特別適于在較大規模顆粒量和較大區域范圍內對小粒徑顆粒、較稀的氣固兩相流動進行模擬研究.在DSMC方法的前提下,不同研究者的處理和計算方法不盡相同,較常用的是將計算區域劃分成若干個網格,在同一網格內判斷顆粒之間是否發生碰撞,本文也采用該方法.

(5)

取樣顆粒i與同一網格中其他顆粒的總碰撞概率Pi可表示為

式中,N為取樣顆粒i所在網格的取樣顆粒總數.

采用修正的Nanbu方法[19]判斷顆粒碰撞的發生,即對于任意取樣顆粒i,在滿足Pi<1的前提下,利用[0,1)區間上均勻分布的隨機數R,選擇同一網格內的候選被碰取樣顆粒j為

j=int[RN]+1

(7)

式中,int[RN]表示RN的整數部分.如果R滿足

(8)

則認為取樣顆粒i與j發生碰撞.此時,保持顆粒位置不變,顆粒碰撞后速度根據動量定理計算[19],即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 數值計算方法

2.1 邊界條件與計算參數

取λ2k×1 mm×1 mm的三維空間為計算區域,其中λ2k表示頻率f=2 kHz時對應的聲波波長,沿x向將計算區域劃分為若干個大小相等的網格.由聲波的周期性和本文采用的聲波頻率(f=2,4,6 kHz)可知,對x,y,z這3個方向的邊界均可采用周期性邊界條件[13]進行處理,對各個取樣顆粒采用相同的數目權重,主要計算參數見表1.其中:T為氣體溫度;p為氣體靜態壓力;np為顆粒數目濃度;Δt為求解顆粒運動的時間步長.本文通過試算確定Δt,表1中給出的Δt滿足3種計算頻率下顆粒運動的計算精度要求.

表1 數值計算參數

2.2 顆粒運動方程的求解

采用定步長四階Runge-Kutta算法對式(3)進行求解.其中,Basset力與顆粒經歷的運動過程有關.將流體速度和顆粒速度基于經歷的時間步離散,可實現Basset力的數值求解.例如,在時間區間0～t3離散為0～t1,t1～t2,t2～t3的情況下,如果這3個時間區間對應的流體與顆粒速度增量分別為Δufx0,Δufx1,Δufx2與Δupx0,Δupx1,Δupx2,則t3時刻顆粒受到的Basset力FB可按下式求解[20]:

(16)

顆粒運動軌跡可由各時間步長內顆粒的位移疊加得到,根據二階隱式Adams插值算法,顆粒的位移Sp可表示為

式中,up為顆粒速度.

2.3 數值計算流程

圖1 計算流程

3 結果與討論

3.1 聲場中顆粒容積份額的演變

圖2 不同頻率的聲場中顆粒容積份額的演變

3.2 特征參數對碰撞率和計算時間的影響

3.2.1 數目權重對碰撞率和計算時間的影響

3.2.2 網格數目對碰撞率和計算時間的影響

圖3 數目權重對碰撞率和計算時間的影響

圖4 網格數目對碰撞率和計算時間的影響

3.2.3 碰撞時間步長對碰撞率和計算時間的影響

圖5 碰撞時間步長對碰撞率和計算時間的影響

4 結 論

綜合考慮顆粒受到的Stokes力、壓力梯度力、虛擬質量力、Basset力、重力和浮力,建立顆粒運動模型,基于DSMC方法模擬聲場中顆粒的碰撞過程,獲得顆粒碰撞率和計算時間受DSMC方法中特征參數(時間步長、數目權重、網格數目)的影響規律,得到以下結論:

a. 相同聲場作用時間下,頻率越大,顆粒容積份額變化越迅速,顆粒空間分布也越不均勻;聲場頻率對碰撞率有顯著影響,而對計算時間的影響很小.

b. 取樣顆粒數目權重增加,顆粒碰撞率的變化很小,計算時間則迅速降低;網格數目增加,碰撞率降低,計算時間先迅速降低,而后低頻時基本不變,高頻時略有上升.

c. 隨著碰撞時間步長的增加,低頻聲場中顆粒碰撞率單調增加,高頻聲場中顆粒碰撞率先增加而后出現波動;計算時間減少,減少量在碰撞步長較小時最為明顯.

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(編輯:丁紅藝)

Influence of Characteristic Parameters in the Simulation of Acoustic Particle Collision Using DSMC Method

GUO Xiaowu1,2, FAN Fengxian1,2, HU Xiaohong1,2, SU Mingxu1,2

(1.School of Energy and Power Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China; 2.Shanghai Key Laboratory of Multiphase Flow and Heat Transfer in Power Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

An inter-particle collision model was established based on the direct simulation Monte Carlo (DSMC) method as well as the force analysis and the motion equation.The collision process of the particles in acoustic field was examined.Through changing the numerical simulation conditions,the influences of the characteristic parameters,such as the weight value of the number of sampling particles,the cell number and the time-step size used in DSMC method,on the particle collision rate and computational time were discussed.The results show that the higher the acoustic frequency is,the more rapidly the particle volume fraction changes and the more unevenly the particles are distributed in space.The increase of the weight value of the number has a small effect on the collision rate,but it significantly reduces the computational time.As the cell number increases,the collision rate decreases,whereas the computational time decreases rapidly at first and then almost keeps constant at lower acoustic frequency and increases slightly at higher acoustic frequency.It is also found that as the time-step size for determining the inter-particle collision increases,the collision rate increases monotonously at lower frequency,while it increases at first and then fluctuates at higher frequency.The increase of the time-step size results in the decrease of the computational time and the decrease is more obvious with a smaller time-step size.

acoustic field; particle; collision; direct simulation Monte Carlo method; characteristic parameter

1007-6735(2016)05-0419-08

10.13255/j.cnki.jusst.2016.05.003

2016-01-25

國家自然科學基金資助項目(51206113,51176128,51576130);上海市科委科研計劃資助項目(13DZ2260900)

郭孝武(1988-),男,碩士研究生.研究方向:氣固兩相流數值模擬.E-mail:ross_2015@163.com

凡鳳仙(1982-),女,副教授.研究方向:燃燒源污染物排放控制、氣固流動與傳遞.

E-mail:fanfengxian@hotmail.com

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