基于多重分形的我國股票波動特征研究

張廣林+黃潔儀+陳胡松+陳仁蓮

【摘要】本文對上證指數收盤指數的收益率進行統計性描述，發現其呈現“尖峰胖尾”現象;采用Hurst指數檢驗法，運用軟件分析出上證指數存在多重分形波動特征。并采用多重分形區趨勢法（MF-DFA法），做出上證指數收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數α的關系圖，得出我國股票存在多重分形現象，有著顯著長記憶性，且效果圖優于文[5]，進而說明時間的選取影響著分形效果。

【關鍵詞】多重分形 ?統計性檢驗 ?多重分形譜 ?波動特征

自1990年上交所成立以來，證券市場呈現出現晚、發展快，是一個典型的新興市場。期間經歷了各種風雨，2015年6月更顯現“A股巨震”、“千股跌停”，一次次反映出我國金融體系的不成熟。基于此，金融市場的研究備受關注，而Peters[1]于1994年提出的分形市場假說（FMH）給金融市場的探索開辟了另一條道路。文[2]對歐美等國的證券市場的研究結果表明大多數市場具有明顯的分形特征：自相似性、顯著的Hurst指數。文[3]對我國滬深兩市實證發現，股票價格的波動按照不同的統計尺度體現出自相似性，并呈現出“尖峰厚尾”的穩定分布特征。文[4]給出貴金屬市場的多重分形結構由長自相關性和“厚尾”概率決定。文[5]運用MF-DFA法，得出滬深300股指期貨收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數α的關系圖，進而說明收益率序列的標度指數也將不同。

本文從統計性檢驗和多重分形譜兩個方面對上證指數的波動特征進行分析并探究其影響因素，得出在選取樣本數據不同的時間段下，其效果圖優于文[5]，進而說明時間段的選取影響著分形效果。

一、數據描述

本文選用樣本數據為同花順行情系統中的2010年8月2日至2016年8月1日的上證指數收盤指數。

首先對所得原始數據進行數據分析與預處理，剔除異常數據，余1458個有效數據。選用對數收益率為本文研究對象，即

Rt（τ）=lnP（t+τ）-lnP（t）（1）

式中：Rt（τ）為時間標度τ下t時刻的收益率;τ=1、5、22（對應為日、周、月）;P（t）為t時刻價格。

二、統計性描述

樣本中共1458個日數據，291個周數據，66個月數據，采用J-B檢驗對數收益率是否滿足正態性假定進行統計性描述，結果如圖1.1-3.

圖1.1 上證指數日對數收益率分布的直方圖

圖1.2 上證指數周對數收益率分布的直方圖

圖1.3 上證指數月對數收益率分布的直方圖

表1.1 上證指數日、周、月對數收益率J-B統計量結果

表1.1為上證指數日、周、月對數收益率J-B統計檢驗結果。若變量符合正態分布，則K=3。而日、周、月數據的K值顯著大于3，且呈現逐漸減小的趨勢;P值也趨于零，這說明三組數據離正態分布的假設距離甚遠。

對表1.1的變量，由上圖1知，月收益率最接近正態分布。然而，在圖1.3中可以看出，在月收益率0.15附近取值的概率遠大于正態分布下該點的概率。進而可知上證指數的日、周、月對數收益率均呈現明顯的“尖峰厚尾”現象，不符合正態分布特征。

三、數據處理

（一）多重分形區趨勢法（MF-DFA）

Peng[6]等人在1994年研究DNA機理時采用消除趨勢波動分析法（DFA）去分析時間序列的長自相關性。但DFA法僅適合分析一維的單重分形時間序列。2002年，Kantelhardt，J.W[7]等將多重分形和DFA結合，提出多重分形趨勢波動分析方法（MF-DFA），其可以刻畫時間序列在不同時間標度下的多重分形特征，步驟如下：

考察時間序列{x（t）}（t=1，2，…，N）的q階配分函數Xq（s）：

Xq（s）=<|x（t+τ）-x（t）|q>，t=1，2，…，N-τ（2）

當q=2時，即為趨勢消除波動分析法（DFA）[6]。而MF-DFA的前三步與DFA相同，這里省略，詳見文獻[8]。

第四步：對所有時間序列子區間取平均，即得q階波動函數：

Xq（s）=[? ? （3）

第五步：對同一q，描繪Xq（s）對s的雙對數曲線：

若q不變，Xq（s）隨s的增大而增大。多項式的階數m的變化也影響著Xq（s），且有s≥m+1。

如果時間序列X（t）具有標度特性，則Xq（s）與s成冪律關系：

（4）

且Xq（s）與s的雙對數曲線以線性關系存在，即：

（5）

式中：h（q）為廣義赫斯特指數（Hurst）。當h（q）為q的函數時， 時間序列X（t）具有多重分形特性;當h（q）=0.5時，序列{X（t）}不相關。

（二）赫斯特（Hurst）指數檢驗

Hurst指數檢驗上述上證指數收益率序列，不妨取q∈[-10，10]的整數，運用MF-DFA法可得廣義Hurst指數，如圖3.1。

圖3.1 上證指數q-Hurst圖

由圖3.1知，q的變化影響著Hurst指數h（q）。當τ=1、5、22時，h（q）總是隨著q的增大而減小，因而可知上證指數在不同時間標度下存在多重分形特征。同時，觀察到q=0的右邊可能存在一個拐點，q=0的左邊有h（q）>0.5，從而說明上證指數存在長期記憶性，而當h（q）<0.5，說明市場還存在反持續性。

（三）MF-DFA多重分形譜（MFS）分析

稱α為局部分維或奇異指數，若定義α為序列中不同小區域內的生長概率，且令有相同α值的小區域構成一個子集。用f（α）表示有相同α值的子集的分形維或者奇異譜。奇異譜f（α）隨α變化的曲線就是多重分形譜，其反映出α概率分布特征。因此，如果找到f（α）與α對應關系，那么可以描述出某一時間序列的多重分形譜。所以對式（5）進行勒讓德變換：

α=h（q）+qh（q） （6）

f（α）=q[α-h（q）]+1 （7）

運用軟件，對上證指數τ=1、5、22（日、周、月）的收益率作MF-DFA分析。其中，s為10～N/4天，q取[-10，10]中的整數，結果如圖3.2。

由圖3.2知：a）上證指數收益率序列多重分形譜接近于對稱。τ=1時，α∈（2.9983，3.0035）。b）α隨著時間標度的增加逐漸增大，f（α）的取值變化為（0.9915，1.0032），且當約q=0時取得最大值，進而得f（α）是一條光滑的曲線，故收益率序列的標度指數也將不同。

由圖3.1和3.2知，上證指數q-Hurst圖和收益率Rt（τ）的MF-DFA分析圖比文[5]中的圖顯著，這說明時間段的選取影響著以上兩個方面。進而再次驗證時間序列中的多重分形行為存在兩種成因：一是時間序列大小幅波動中不同的長范圍相關性造成的;另一是波動中的“胖尾”概率分布引起的效應[9]。

圖3.2τ=1時A股收益率Rt（τ）的MF-DFA分析

四、總結

綜上，對上證指數的收益率進行統計性描述和Hurst指數分析，知其呈現“尖峰胖尾”現象，且存在多重分形波動特征。運用軟件分析出上證指數存在多重分形特征，進而知其存在顯著長記憶性，且其收益率序列的標度指數也不同。在選取樣本數據不同時間段下，其效果圖比文[5]顯著，進而說明時間段的選取影響著分形效果。顯著的長記憶性特征使得我國股票市場具有較大的風險性，具體表現在價格的連續同向波動，即波動呈現某種集群性，最終出現了“千股跌停”的現象。

參考文獻

[1]Peters Edgar E.Fractal market analysis： applying chaos theory to investment and Economics[M].New York： John Wiley & Sons press，1994，216-237.

[2]Peters，E.Fractal market analysis：applying chaos theory to investment and economics[M].New York：John Wiley & Son Lnc.，1994.

[3]譚潔.分形理論在滬深股市研究中的應用[J].系統工程，2010， 4，15-23.

[4]孫夢野，王仲君.基于多重分形的貴金屬市場風險研究[J].華中師范大學，2015，49（6）：831-837.

[5]陳仁蓮.多重分形在滬深300股指期貨市場的應用研究[J].市場研究，2016，6：43-45.

[6]Peng C-K，Buldyrev S V，et al.Mosaic organization of DNA nucleotides[J].Physical Review E，1994，（2）：1685-1689.

[7]Kantelhardt，J.W.Kantelhardt，S.A.Zschiegner，A.Bunde，S.Havlin，E.Koscielny-Bunde，and H.E.Stanley，Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J].Physical A，2002（316）：87-114.

[8]徐化兵.基于分形市場假說的中國A股波動特征分析——以滬深300指數為例[D].南京航空航天大學碩士論文，2011.

[9]苑瑩，莊新田.基于多重分形的金融市場復雜特特性分析及應用：以中國股票市場為研究對[M].北京：中國經濟出版社，2012.

基金項目：廣東石油化工學院大學生創新創業培育計劃項目（2015pyA027）。

作者簡介：陳仁蓮，女，講師，研究方向：分形幾何，統計。