非對易量子效應對線性諧振子能級分裂影響的探討

買買提阿布都拉·艾克木 阿布來提·吉力力

(和田師范專科學校理學院；和田師范專科學校數學與信息學院， 新疆 和田 848000)

?

非對易量子效應對線性諧振子能級分裂影響的探討

買買提阿布都拉·艾克木 阿布來提·吉力力

(和田師范專科學校理學院；和田師范專科學校數學與信息學院， 新疆 和田 848000)

非對易空間的量子效應是在弦的尺度下的一種物理效應。由于這種效應的出現，引起了量子力學中的物理量的一系列變化。本文研究了在平面內運動的諧振子的坐標-坐標和動量-動量算符的非對易行為對諧振子能級分裂的影響。為此,我們首先給出了該體系在一般對易空間中的薛定諤方程和哈密頓量算符的能量本征值。然后，在此基礎上得到了該體系在非對易空間和非對易相空間中的薛定諤方程，進而推導出了諧振子能量的期望值。看出了在非對易空間和非對易相空間的能級分裂表達式均包含因非對易引起的修正項。從分析結果得出如下結論：非對易效應對諧振子的能級有一定的影響。

非對易量子力學；諧振子；能級分裂

引 言

近年來,自從弦理論與非對易理論之間的關系揭示以后,有關非對易空間各種物理問題的研究引起了理論物理學界的廣泛關注,所以不少人們理論和方法方面做了大量的研究[3-16]。研究結果顯示, 非對易效應對一些物理現象有較明顯的影響。研究非對易問題的主要來源于量子場論，然而，在量子力學的框架下研究一些可解模型的非對易空間效應也是非常有意義的工作。

本文中，我們討論的是在非對易量子力學中研究諧振子的能量本征值問題。首先回顧在對易量子力學中的諧振子的薛定諤方程和哈密頓量，通過產生-消滅算符給出了能量本征值。然后，我們工作的重點是把單諧振子量子力學的產生-消滅算符推廣到非對易量子空間中服從玻色-愛因斯坦統計的玻色子系統。假設在非對易空間中產生-消滅算符形式不變的情況下，運用非對易空間的基本關系式，找出產生-消滅算符的對易關系。再用對易空間的產生-消滅算符表示非對易空間的產生-消滅算符，得到一組滿足玻色-愛因斯坦統計的非對易空間的產生-消滅算符。用這組算符表示哈密頓量，進而討論能量本征值在非對易量子空間的分裂。

1 在對易平面中諧振子的能級分裂

在量子力學中，坐標和動量的算符有如下的對易關系[1-2]：

[xi,xj]

[xi,pj]=ihδij;(i,j=x,y)

(1)

[pi,pj]=0

一個質量為m的諧振子在(x,y)平面運動，它的哈密頓量算符為

(2)

對于這個系統，定態薛定諤方程是

(3)

為了計算方便，引進一個新的表象-占有數表象來討論薛定諤方程的解，為此我們引入粒子的產生-消滅算符。因為粒子數空間的產生-消滅算符可以表示成坐標和動量空間中的坐標和動量的線性組合[1],

(4)

可以發現這組算符彼此對易，并且滿足如下對易關系[1-2]：

(5)

=(Nx+Ny+1)hω

(6)

=(nx+ny+1)hω

(7)

Nx,Ny算符的本征值為nx,ny=0,1,2,…。顯然，零點的能量絕對值不是為零,而是hω。

2 在非對易平面中諧振子的能級分裂

在非對易空間中，對易關系如下給出[3-4]

(8)

(9)

根據星乘的意義，只要做一個Bopp變換來轉變成普通的乘法。這時Bopp代換式[5-9]是

(10)

在非對易平面中，諧振子的哈密頓量算符是

(11)

因此，式(10)代入(11)時，哈密頓算符變成為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

上面的(ζα，Pα)滿足如下的關系：

[ζα，Pβ]=iδαβ

(16)

式(14)和(15)代入(11)式，哈密頓算符可以如下寫出：

(17)

進一步定義下面的產生-消滅算符(ɑα,ɑβ)：

(18)

在非對易情況下，粒子數算符也應當服從玻色=-愛因斯坦統計，即

(19)

=[Nα+Nβ+h0(Nα-Nβ+1]hΩ

(20)

=[nα+nβ+h0(nα-nβ)+1]hΩ

(21)

這就是非對易平面中諧振子的能級分裂式。

3 非對易相平面上諧振子的能級分裂

空間-空間與動量-動量同時非對易的情況與只有空間-空間非對易的情況不同。非對易相空間中對易關系如下給出[5-10]:

(22)

(23)

(24)

在非對易情形下，粒子數算符應該服從玻色-愛因斯坦統計。式(23)代入式(11)式，相關的Hamilton算符變成為

(25)

其中

(26)

(27)

現在我們討論諧振子哈密頓量的能量在非對易相平面的本征值問題。諧振子在非對易相平面中運動,上式(25)還是一個通常的量子力學問題.這個問題的解可以仿照上一部分的方法得到。在此平面中，可以得到兩個頻率的Hamilton算符

=[Nα+Nβ+h0(Nα-Nβ)+1]hΩ

(28)

=[nα+nβ+h0(nα-nβ)+1]hΩ

(29)

這就是非對易相平面中諧振子的能級分裂表達式。

4 結 論

[1] 曾謹言．量子力學[M]．北京：科學出版社,2007：225-235

[2]W.Greiner.QuantumMechanicsanintroduction[M].Springer-VerlagBerlin，2001：157-182

[3]N.SeibergandE.Witten.StringTheoryandNoncommutativeGeometry[J] .hep-th/9908142

[4]M.Chaichian,M.M.Sheikh-Jabbar,iA.Tureanu.HydrogenAtomSpectrumandtheLambShiftinNoncommutativeQED[J].hep-th/0010175

[5]LiKang，WANGJian-Hua，CHENChi-Yi.RepresentationofNoncommutativePhaseSpace[J].ModernPhysicsLetterA, 2005, 20 ( 28): 2165- 2174.

[6] 王劍華,李康,劉鵬.非對易相空間中各項同性諧振子的能級分裂[J].高能物理與核物理, 2006,30(5):387-391.

[7] 王劍華,王亞輝.磁場中的帶電粒子在非對易相空間中的能級[J]陜西工學院學報,2007,23(2).

[8]LiKang．DulatS.TheAharonov-Bohmeffectinnon-commutativequantummechanics[J].EarPhysJC，2006，46(3)：825-828．

[9]DulatS,LiKang.Quantumhalleffectinnon-commutativequantummechanics[J].EurPhysJC，2009，60(1)：163-168．

[10] 王亞輝,郭海英,王建華.帶電諧振子在非對易空間中的能級[J]宜春學院學報,2008,30(2)5-7.

[11] 王亞輝,王建華,黃文登.電磁場中帶電粒子在非對易相空間的能級[J].原子核物理評論,2008,25(3)218-222.

[12]Sayipjamal.Dulat,KangLi.CommutatorAnomalyinnon-commutativequantummechanics[J]ModernPhysicsLetterA， 2006, 21( 39): 2971- 2976

[13] 孫萍，王建華，馬凱.帶電諧振子在非均勻外場中的非對易能級[J]，新疆大學學報(自然科學版),2009，26(4)：462-467

[14]SayipjamalDulat,KangLi.LandauProblemsinnon-commutativequantummechanics[J].AcceptedbyHEP&NP, 2007.

[15] 王建華,李康；非對易相空間中角動量的分裂[J].高能物理與核物理,2006,30(11)153-157.

[16] 王建華,李康，劉鵬，劉子葉；非對易相空間中帶電諧振子的能級分裂[J].浙江大學學報(理學版),2007,34(3)294-298.

2015-08-04

本文為國家自然科學基金項目(11465018，61501026)，新疆維吾爾自治區高校科研計劃重點項目(XJED2014I058)和和田師范專科學校校級科研計劃項目(1076512113)。

買買提阿布都拉 艾克木(1970-)，男,維吾爾族，碩士，副教授。研究方向：電磁場論和量子場論的研究。