類比思想在數(shù)學中的應用

杜夢真

一、類比的含義

類比推理是從特殊到特殊的推理。是根據(jù)兩對象具有一些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一屬性，從而推出另一個對象也具有與該屬性相同或類似的屬性的推理。其基礎是對象與對象之間有某些相同或相似的性質(zhì)。運用類比推理來啟發(fā)思考所研究的對象具有某種關系或?qū)傩缘姆椒ǚQ為類比法。

那么類比有哪些特征呢？（1）類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在被研究中的事物的屬性，它以已有知識作基礎，喻出新的結(jié)果。（2）類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性。（3）類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但具有發(fā)現(xiàn)功能。

二、類比的類型

1.根據(jù)所依據(jù)的推理形式進行分類

（1）簡單共存類比：它是根據(jù)事物的屬性之間有簡單共存關系而進行的類比。一般來說，由簡單共存類比得到的結(jié)論，其可靠程度較高，但兩種不同的事物畢竟有差別，所以，用這種類比得到的結(jié)論也不能保證完全正確。

（2）因果類比：它是根據(jù)事物的屬性之間可能具有同一種因果關系而進行的類比。在數(shù)學中，運用因果類比較多，由問題條件的相似去猜測結(jié)論的相似就是運用這種類比。因果關系是一種必然的關系，所以因果類比有一定的可靠性，但由于一種原因可產(chǎn)生不同的結(jié)果，或同一結(jié)果也可能由不同的原因造成，所以有時也不能保證這種推理的結(jié)論一定正確。

（3）對稱類比：它是根據(jù)事物的屬性之間具有某種對稱性而進行的類比。運用這種類比時，“相似性”“對稱性”趣兩個概念要作廣義理解，即如果兩個事物之間有某種對應關系，就可以理解為這兩個事物相似。

（4）協(xié)變類比：它又稱為數(shù)學相似類比。它是根據(jù)兩個事物的對象之間具有某種確定的協(xié)變關系，即函數(shù)關系而進行推理的，由一事物具有某種屬性推出另一個事物也可能有相似的屬性。這種類比，由于它的根據(jù)是定量描述兩個事物對象之間的相似關系，因此它比前面提到的類比前進了一大步，現(xiàn)代數(shù)學研究的對象和方法主要運用的就是這種類比。

（5）綜合類比：它是根據(jù)事物的屬性的多種關系的綜合相似而進行的類比。

2.類比法在數(shù)學中的應用方式大致類型

（1）低維與高維類比：一般對高維問題的思索不及低維問題容易，因此為了解決高維問題，常先找出類似的低維問題加以比較，從對低維問題的探索中找到類似的方法與結(jié)論來解決高維問題。

（2）一般與特殊的類比：研究一個比較復雜的問題時，可以先解決這個問題的一個特殊情況，然后對解決特殊情況時所用的方法、所得的結(jié)論進行分析，把它與一般情況進行類比，研究在一般情況下能否作類似處理。

（3）數(shù)與性類比：在數(shù)學研究中，數(shù)和形的類比經(jīng)常在兩個相反的方向上得到應用：既可以通過與“形”的比較去推測“數(shù)”的有關性質(zhì)，又可通過與“數(shù)”的比較去推測“形”的有關性質(zhì)。

（4）有限與無限類比：數(shù)學中有關無限的性質(zhì)一般均可由與有限問題進行類比的方法提供線索，研究無限情況下的問題，常可設法先找出與此有聯(lián)系的有限情況下的問題，然后把有限情況下的方法、結(jié)論類比到無限情況中去。

（5）離散與連續(xù)類比：數(shù)學中許多離散型問題可通過這種類比形式推廣成連續(xù)型問題，而某些連續(xù)型問題的研究也可通過這種類比形式，借助相應的離散型問題的方法獲解。

三、類比的作用

1.類比是提出新問題和做出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉

類比法能提供一條線索，能幫助我們分析猜想，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，是擴大知識的范圍、獲得新知識的重要手段，在獲得科學和數(shù)學命題中有重要作用。類比是提出數(shù)學猜想的一種有效方法，數(shù)學發(fā)展史上曾經(jīng)運用類比方法提出不少猜想，并導致許多重大發(fā)現(xiàn)。

2.有助于探索解題思路

類比在求解數(shù)學問題中有著廣泛的應用。類比是解題時把問題引向我們熟悉的類型的重要手段。運用類比法發(fā)現(xiàn)解題思路，就是通過觀察和聯(lián)想尋找與待解決問題相相似的熟悉問題作為類比對象，由于相似問題的解法也有一定的相似性，從而可以借鑒熟悉問題的解題思想和方法，去發(fā)現(xiàn)待解決問題的解題途徑和方法。這樣通過類比達到啟發(fā)思路，提供線索，舉一反三，觸類旁通的效果。用類比法指導數(shù)學解題，關鍵在于尋找一個合適的類比對象。一搬來說，可根據(jù)數(shù)學題的不同特點，從題型結(jié)構(gòu)、圖形特征、有關性質(zhì)、解題方法等方面進行類比，以尋覓恰當?shù)念惐葘ο蟆?/p>

3.有助于掌握數(shù)學知識

許多數(shù)學知識之間可以進行類比，教師應在教學中努力發(fā)揮類比法的作用。譬如，初中生在學習“分式”內(nèi)容時，往往感到難學、難記，不會運用。如果學習這一內(nèi)容時將分式與分數(shù)類比，則可收到良好的學習效果。

四、類比的局限性

類比與歸納一樣，也是一種“合情理”推理，帶有必然性，其結(jié)論正確與否，必須經(jīng)過嚴格的證明。類比推理的結(jié)論判斷的可靠程度取決于兩事物的相似屬性以及它們之間的相關程度。相似屬性與相關程度越高，其可靠程度就越大。類比是一種猜測的方法，由此而得出的只是可能的結(jié)論，它既可能為真，也可能為假，因此不能不加證明地相信其為真。

五、類比與歸納、演繹的關系

類比與歸納的關系甚為密切，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別。從邏輯觀點看，他們都是合情理的推理，都具有創(chuàng)造潛能，而且在探索與發(fā)現(xiàn)真理的過程中，類比常與歸納綜合運用。當通過類比對已有結(jié)果加以推廣時，所從事的常常就是歸納的工作。

類比與歸納在意義上差別很大，是兩種不同的探索式思維形式。類比法的推理是從特殊到特殊，它是歸納法和演繹法的中間狀態(tài)。演繹法只要前提正確，推出的結(jié)論就一定正確，但是演繹法推出的結(jié)論并沒有超出前提的范圍，不會得到新的一般原理；歸納法推出的結(jié)論不一定可靠，但是歸納法可以從許多事實中概括出新的一般原理，它是富于創(chuàng)造性的方法；而類比法推出的結(jié)論其可靠程度更差，但卻是最富有創(chuàng)造性的方法。

（作者單位：河南省信陽市高級中學）