列一元一次方程解應用題的幾種常見題型及其特點

劉書文

列一元一次方程解應用題既是七年級數學教學中的一大重點，又是學生從小學升入中學后第一次接觸用代數的方法處理應用題。列方程解應用題的關鍵是仔細審題，找出能正確表達整個題數量關系的一個相等關系，再設未知數，并將這個相等關系用含未知數的式子表示出來。因此，認真學好這一知識對于今后學習整個中學階段的列方程（組）解應用題大有幫助。因此，將列一元一次方程解應用題的幾種常見題型及其特點歸納下來，如下：

一、和、差、倍、分問題

此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等詞語體現等量關系。審題時要抓住關鍵詞，確定標準量與比校量，并注意每個詞的細微差別。

例題：汶川大地震發生后，各地人民紛紛捐款捐物支援災區。我市某企業向災區捐助價值94萬元的A，B兩種帳篷共600頂。已知A種帳篷每頂1700元，B種帳篷每頂1300元，問A，B兩種帳篷各多少頂？

解：設A帳篷有x頂，那么B帳篷有（600-x）頂，則

答：A帳篷有400頂，那么B帳篷有200頂。

二、等積變形問題

此類問題的關鍵在“等積”上，是等量關系的所在，必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式。“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提。常用等量關系為：①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積=成品體積。

三、調配問題

從調配后的數量關系中找等量關系，常見是“和、差、倍、分”關系，要注意調配對象流動的方向和數量。這類問題要搞清人數的變化，常見題型有：①既有調入又有調出；②只有調入沒有調出，調入部分變化，其余不變；③只有調出沒有調入，調出部分變化，其余不變。

例題：A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要把化肥運往C，D兩農村，如果從A城運往C，D兩地運費分別是20元/噸與25元/噸，從B城運往C，D兩地運費分別是15元/噸與22元/噸，現已知C地需要220噸，D地需要280噸。若某種調運方案的運費是10200元，那么從A、B兩城分別調運C、D兩農村各多少噸？

解：設A往C運了x噸，20x+25×（200-x）+15×（220-x）+22×[280-（200-x）]=10060，x=0。所以A往C運0噸。往D運200噸；B往C運220噸，往D運80噸。

四、行程問題

要掌握行程中的基本關系：路程=速度×時間。

相遇問題（相向而行），這類問題的相等關系是：各人走路之和等于總路程或同時走時兩人所走的時間相等為等量關系。甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（同向而行），這類問題的等量關系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時間為等量關系。①同時不同地：甲的時間=乙的時間，甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程；②同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差，甲的路程=乙的路程。

例題：甲、乙兩列火車長為144米和180米，甲車比乙車每秒多行4米，兩車相向而行從相遇到錯開需要9秒。問兩車速度各是多少？

解：設甲車的行駛速度為xm/s，乙車為（x-4）m/s，則列出方程為9（2x-4）=144+180，得x=20。

環形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關系是兩人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量關系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

例題：甲、乙兩人騎自行車從A、B兩地相向而行，甲比乙早出發15分鐘，甲、乙兩人速度比為2∶3，相遇時甲比乙少走6千米，已知乙走了1小時30分鐘，求甲、乙兩人的速度和兩地的距離。

解：15分鐘即1/4小時，1小時30分鐘即3/2小時。

設甲速度為x，則乙速度為（3/2）x，故相遇時甲走了（3/2+1/4）x=7x/4千米，乙走了3/2×（3/2）x=9x/4千米。

而相遇時甲比乙少走6千米，故列方程：9x/4-7x/4=6，x=12。

即甲速度為12千米/小時，乙速度為12×3/2=18千米/小時，兩地相距7/4×12+9/4×12=48千米。

船（飛機）航行問題：相對運動的合速度關系是：順水（風）速度=靜水（無風）中速度+水（風）流速度；逆水（風）速度=靜水（無風）中速度-水（風）流速度。車上（離）橋問題：①車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程，所走路程為一個車長。②車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程，所走的路程為一個車長+橋長。③車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程，所走路成為一個車長+橋長。④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程，所行路程為橋長-車長。行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發的時間和地點。

五、工程問題

其基本數量關系：工作總量=工作效率×工作時間；合作的效率=各單獨做的效率的和。當工作總量未給出具體數量時，常設總工作量為“1”，分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意。

例題：某件工作甲獨做3小時完成，乙獨做4小時完成。乙獨做了1小時，然后甲、乙共同完成余下的工作，求甲、乙合做時間為多少個小時？

解：設甲、乙合做x小時完成余下的工作，則

（作者單位：江西省吉安縣桐坪中學）