利用向量求解二面角大小

鄧虹

目前，立體幾何中學習的空間角有線線角、線面角、面面角，其中面面角又叫二面角，是高中立體幾何中的重點和難點，常常出現在高考的解答題中，難度屬于中等題。它的解法可以使用傳統的幾何方法（如定義法、三垂線定理法、垂面法、射影法等），但是這些解法在思維上難度都太大，往往思路明確，算無結果。

我們知道，向量是連接幾何與代數的橋梁，我們可以利用向量的方法把幾何問題轉化為代數問題，利用代數運算算出最終結果。這樣減少了思維按照一類方法計算下去，很多學生特別是中等生容易接受。

下面我將從空間向量方法的角度，談談怎樣利用空間向量求二面角。

二面角的文字語言：在兩個面內分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

二面角圖形語言：

二面角符號語言：α，β是兩個半平面，m，n是兩條直線，α∩β=l，m？奐α，n？奐β，m⊥l，n⊥l，且m∩l=D，n∩l=D，那么角θ叫α-l-β二面角，也是二面角的平面角。

綜上求二面角，就是求α-l-β二面角的平面角。

用向量法求二面角的步驟：

（1）建立空間直角坐標系，在坐標系內設點；

（2）求平面α的法向量為n1=（x1，y1，z1），平面β的法向量為n2=（x2，y2，z2）；

（3）求n1和n2的法向量的夾角的余弦值

（4）根據題目觀察，結合cos的值得出二面角θ的大小。

在這里需要注意的是：

因為平面的法向量的方向問題如圖1和圖2，容易知道在圖1中二面角θ的大小與Φ互補，在圖2中二面角θ的大小與Φ相等。

往往在實際解決問題時，題目會讓你求出銳二面角的角度或者余弦值。在實際中我們是要學生學會求二面角的方法，對于是鈍角還是銳角也沒有嚴格的要求。

下面我將用高考試題把求二面角的步驟應用一遍：

例題：如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C。

（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解：（Ⅰ）略

解決本題的關鍵主要有以下幾點：一是要建立空間直角坐標系，盡量把盡可能多的點放到坐標軸或坐標平面上，這樣有利于找點和后面的計算；二是法向量是非零向量，它是用不定方程組求出來的，解有無數組，找出最簡單的一組就好，一般是令x=1；三是二面角的大小有時是鈍角，有時是銳角，這要根據具體的題目來分析，觀察法也是個好方法。

求解二面角大小是高考中經常出現的題型，而用向量的方法求解也是我們常用的方法，要求學生有很強的計算能力和空間想象能力，平時教師就應該要求學生把計算進行到底，要用快速的計算來彌補思維的不足。

（作者單位：福建省沙縣金沙高級中學）