不等式證明方法選講

舒中杰

摘 要：不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本文系統(tǒng)介紹了九種不等式的證明方法，并通過一些特殊例題的講解使證明方法更易于學(xué)生接受。

關(guān)鍵詞：比較法；分析法；綜合法；反證法；放縮法；數(shù)學(xué)歸納法；換元法；基本不等式；導(dǎo)數(shù)法

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此在歷年高考復(fù)習(xí)中頗令師生們?yōu)橹^疼。由于不等式的形式各異，證明沒有固定的模式模仿，并且技巧多樣，方法靈活多變，因此熟練掌握不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)之一。這里精選了九種不同方法對(duì)不等式證明進(jìn)行了詳細(xì)講解和研究。

一、比較法

二、分析法

分析法的思路是逆向思維，用分析法證明必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充要條件。應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要嚴(yán)格按照分析法的語言表達(dá)，下一步是上一步的充要條件。

需要注意的是：運(yùn)用分析法時(shí)，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的不等式，常考慮用分析法。

三、綜合法

從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。

四、反證法

從命題否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法。用反證法證明不等式時(shí)，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一推出矛盾。

反證法證明一個(gè)命題的思路及步驟：

（1）假定命題的結(jié)論不成立。（2）從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以肯定原來的假設(shè)“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的。（4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。

如果待證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至多”“至少”等方式給出，一般要考慮用反證法。

五、放縮法

放縮法就是在證明過程中，利用不等式的傳遞性，作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明。放縮法的目的性強(qiáng)，必須恰到好處，同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。否則不能達(dá)到目的。

在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)，掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。

六、數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明，應(yīng)用其他辦法不容易證時(shí)，可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可以采用分析法、比較法、綜合法、放縮法等證明。

七、換元法

所謂“換元法”，就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，從而化繁為簡，或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化，以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

八、基本不等式

創(chuàng)造基本不等式的條件，護(hù)理拆分項(xiàng)或配湊項(xiàng)是常用技巧，其中拆與湊的目的在于滿足基本不等式條件，通常是考慮分母的代數(shù)式，考慮將整式拆分與配湊成與分母有關(guān)的式子與常數(shù)的和。

九、導(dǎo)數(shù)法

利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h（x）>0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h（x）什么時(shí)候可以等于0，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口。

總之，不等式在現(xiàn)實(shí)社會(huì)與高考數(shù)學(xué)中的重要性毋庸置疑，此外在不等式的研究中能讓我們鍛煉自己的解題能力，數(shù)學(xué)思維能力，體驗(yàn)解決問題的樂趣與成就感。上面介紹的九種方法都具有很強(qiáng)的針對(duì)性，不能普遍使用，因此選擇方法之前要慎重考慮，找出問題的顯著特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)對(duì)癥下藥，才能快速準(zhǔn)確地解決問題。這就要求學(xué)生平時(shí)多練多想，只有熟練了，才能夠信手拈來。

（作者單位：安徽省霍邱縣第一中學(xué)）