基于欠定盲源分離的結構模態參數識別

于 剛， 周以齊， 劉 磊， 米永振

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室 濟南，250061)

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基于欠定盲源分離的結構模態參數識別

于 剛， 周以齊， 劉 磊， 米永振

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室 濟南，250061)

針對欠定情況下傳統盲源分離(blind source separation, 簡稱BSS)算法無法有效識別結構模態參數的問題，研究了一種不受傳感器數量限制的BSS算法。算法主要分為振型矩陣估計與單模態信號分離兩步。首先，利用各階模態響應信號在時頻域中的聚類特性估計結構的模態振型；然后，在已知振型矩陣的基礎上，通過L1范數最小化算法分離出多個單模態信號；最后，利用單模態參數識別方法提取各階模態的頻率與阻尼比。經仿真與實驗驗證，本研究方法可以準確識別出結構的各階模態參數，同時對測量噪聲不敏感，具有很好的噪聲魯棒性，在工程實踐中具有一定的應用價值。

盲源分離； 模態參數識別； 欠定； 稀疏分量分析

引 言

僅通過測量信號提取源信號特征的盲源分離技術已成為振動信號分析的有力工具，在結構模態參數識別中得到了廣泛關注。文獻[1]首次提出將單模態信號視為BSS算法中的信號源，利用獨立分量分析(independent component analysis, 簡稱ICA)提取出多個單模態響應信號，同時得到了結構的各階模態振型。與傳統的時域識別方法相比，BSS算法具有非參數化、無需先驗信息以及計算簡單等優點。一些文獻利用BSS算法均得到了理想的結果，例如：二階盲辨識方法(second order blind identification，簡稱SOBI)[2-4]、多源提取方法(algorithm for multiple unknown signals extraction，簡稱AMUSE)[5-6]、二階非問題源辨識方法(second order non-steady source，簡稱SONS)[7]、時域解相關源分離算法(temporal decorrelation source separation algorithm，簡稱TDSEP)[8]及時域預測盲分離方法(temporal predictability blind source separation，簡稱TPBSS)[9]等。

BSS算法在模態參數識別中的應用主要分為兩步。首先，應用BSS算法將實驗測量信號分解為各階的模態響應，完成結構動力響應從物理空間到模態空間的變換，同時確定各階模態的結構振型；然后，利用單模態識別技術提取結構各階的模態頻率和模態阻尼比。模態響應代表了結構基本的振動形式，模態振型則反映了系統響應中各個基本振動形式的參與量[10]。文獻[1-9]中的方法都需要滿足測量傳感器數目(設為m)大于或者等于結構模態數目(設為n)，即BSS算法中的正定問題。當m

多個文獻研究了欠定BSS算法在模態參數識別中的應用。文獻[11]利用經驗模態分解方法將測量信號分解為具有不同特征尺度的時間序列，滿足正定BSS算法對通道數的要求，再利用互相關算法得到結構模態參數。文獻[12]引入欠定SOBI算法分析結構模態數據。文獻[13-15]分別利用小波變換、傅里葉變換以及短時傅里葉變換將測量信號變換到稀疏域內，利用主分量分析、L1范數最小化以及混合矩陣時頻比提取方法(time frequency ratio of mixtures，簡稱TIFROM)方法進行模態參數識別。可見，利用測量信號在變換域中的稀疏特性分離單模態信號是欠定情況下識別模態參數的熱點；但是文獻[13-15]采用的方法依然存在一定的不足。文獻[13]的方法需要人工設定閥值來去除干擾信號的影響，使其應用受到一定限制。存在阻尼的振動響應是一個衰減的非平穩過程，而傅里葉變換是全局的變換，對于阻尼較大的振動系統，文獻[14]的方法無法準確恢復出各階模態的時域信號。文獻[15]所用的TIFROM方法只能得到欠定情況下的混合矩陣，無法恢復出各階單模態信號，需要一定的先驗知識，并借助其他處理方法對頻率與阻尼比參數進行估計，增加了參數識別的復雜性，一定程度上背離了BSS算法的初衷。

筆者結合文獻[14-15]方法，提出了一種有效的解決方案。首先，通過短時傅里葉變換將測量信號變換到時頻域中，利用模態信號在時頻域中的聚類特性提出了一種新的振型矩陣估計方法；然后，利用L1范數最小化恢復出各階單模態信號；最后，利用單模態參數識別方法提取模態頻率與阻尼比參數。

1 盲源分離的基本概念

盲源分離是指在源信號與混合通道參數均未知的條件下，僅通過傳感器測量信號估計出各源信號的一種信號處理方法。BSS的數學模型表示為

(1)

其中：N個未知信號源Si(t)，i=1,2,…,n, 構成列向量S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T；t為離散時間；A為一個m×n矩陣，稱為混合矩陣；N(t)為m維觀測高斯噪聲信號；X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T為通過傳感器測量到的m維向量。

分離模型可以表示為

(2)

對于正定BSS，假設m=n。盲源分離的任務就是找到混合矩陣及其逆矩陣W=A-1，W稱為分離矩陣。源矢量可以從觀測信號X(t)中得到，即

(3)

2 模態參數識別基本概念

模態參數識別包括提取結構一系列的模態頻率、模態阻尼和模態振型。根據結構動力學理論，一個n自由度線性系統的自由振動方程為

(4)

其中：M,C,K分別表示系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

對于比例阻尼或小阻尼系統，系統的位移解為

(5)

其中：εi,ωi,φi分別為模態阻尼比、模態頻率和相位角；φi,ai為常數。

式(5)的矩陣形式為

(6)

其中：Φ為自由振動向量φi組成的振型矩陣；Q(t)為模態響應aiexp(-εit)cos(ωtt+φi)組成的向量。

模態參數識別就是從結構的響應輸出x(t)中提取振型矩陣Φ和包含在模態響應中的模態頻率ωi及模態阻尼εi。

對比式(2)與式(6)，時域的模態分析與盲源分離之間存在著一些相似之處。兩者都是從混合信號中估計潛在的組成分量，都是僅利用結構系統的輸出信息。模態響應Q(t)相當于源信號S的一種特例，混合矩陣A中包含著振型矩陣的信息，即Φ=A。因此，應用BSS算法提取系統的模態參數是可行的[1-3]。對于欠定情況，由于傳感器數目小于源數目，此時的混合矩陣A沒有逆矩陣，因此無法利用傳統BSS算法求解逆矩陣的思路得到源信號。

3 欠定盲源分離

3.1 基本原理

以兩通道測量信號為例說明本算法原理，假設有n個源存在，則可表示為

(7)

其中：x1(t)，x2(t)為兩觀測信號；a1i，a2i為第i個源信號到達兩通道的衰減系數；si(t)為第i個源信號。

利用時頻變換方法將式(7)變換到時頻域中

(8)

根據模態理論可知，各階模態坐標之間相互正交，即結構的各階模態在頻域或時頻域是不可通約的，則在某個時頻點僅有可能出現一個源信號。假設在時頻點(tk,fk)，只有源sj(tk,fk)取值非零(其他源幅值較小或為零)，則式(8)可表示為

(9)

3.2 混合矩陣(振型矩陣)估計

源分離過程分為兩步，第1步是估計源信號的混合矩陣，主要有勢函數法和聚類法。勢函數法是將聚類直線的角度展開到極坐標軸中，通過計算峰值點確定聚類直線與坐標軸夾角，以此來估計混合矩陣的各列向量[17]，但只能用于兩通道混合信號，具有一定的局限性。聚類方法主要有模糊C均值和K均值等，通過估計聚類直線的中心確定混合矩陣，不受通道數目限制，所以應用較廣[18]。但實際的測量信號受到多個源影響，使其在散點圖中聚類方向較多。當參與聚類的點數目較多時，增加計算時間的同時也會影響聚類精度，導致無法得到精確的混合矩陣。

針對傳統聚類方法的局限性，筆者提出了一種頻率能量峰值點的方法估計混合矩陣。對于模態響應信號，能量集中在某些頻率點處，而局部能量最大頻點處的聚類方向則代表源信號的聚類方向，僅通過計算這些頻率點處的聚類方向即可估計混合矩陣。具體過程為：在時頻域中先計算單個通道在頻域的能量分布，然后將多個通道能量在相同頻點相加，即

(10)

其中：E(f)為i個傳感器接收到的信號在各頻率點上的能量和;R(xi(t,f))與I(xi(t,f))為第i個傳感器信號在時頻變換后的實部與虛部；m為通道數目。

利用峰值檢測方法提取各峰值頻率點。通過估計這幾個峰值頻點處的散點聚類方向，可估計出混合矩陣，同時聚類算法的時間與精度得到明顯改善，可用于估計任意通道數目。

3.3 源信號恢復

源分離過程的第2步為源信號恢復。由于未知源個數大于方程式個數，方程沒有唯一確定解，引入限制條件，要求解的L1范數最小，則源恢復轉化為優化問題。對稀疏域中所有的點

(11)

其中：s(t,f)為源信號的最優估計。

以二維觀測信號為例說明算法原理。如圖1所示，a1，a2，a3為混合矩陣A的3個列向量。點Z為觀測信號的任意一點。此時的混合矩陣A沒有逆矩陣，L1范數最小的解就是滿足點Z到原點距離最短的解。將矩陣A進行降維，生成3個2*2的子矩陣(即混合矩陣A列向量的3個組合)。點Z在向量a1, a2之間，則a1, a2組成的子矩陣即為最優解矩陣，OA，OB即為點Z在a1, a2方向上的最優解。子矩陣的逆與觀測點相乘得到源信號的估計。L1范數最小化算法的具體步驟如下：

4) 重復步驟1～3，求出稀疏域中所有點的最優解；

5) 對得到的源信號進行逆稀疏變換，得到源信號的時域估計。

圖1 二維L1范數最小化示意圖Fig.1 L1-norm minimization for two-dimension

4 仿真驗證

考慮三自由度線性振動系統，系統模型如下

其中：M,K,C分別為系統的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。

圖2 觀測信號x1, x2, x3Fig.2 Measuring signals x1, x2, x3

采用模態置信準則 (modal assurance criterion，簡稱MAC)度量振型識別的準確性。模態置信系數為

(12)

為了說明本研究方法在欠定情況下的模態參數估計能力，取x2,x3作為兩通道的觀測信號。利用短時傅里葉變換將x2,x3變換到時頻域中，窗函數選擇矩形窗，長度為1 000，幀信號之間的混疊為998，即每次移動2個數據點截斷信號。圖3為觀測信號x2,x3的實部散點圖。可以看出，有3條明顯的聚類直線，說明存在有3階模態。

圖3 觀測信號x2, x3實部散點圖Fig.3 The scatter plot of measuring signals x2, x3

圖4 頻域能量峰值圖Fig.4 The peak plot in frequency domain

圖5 3個峰值對應的散點圖Fig.5 The scatter plot corresponding to three peak frequency bins

圖6為利用L1范數最小化方法得到的3個源信號，每個分離源都為單頻衰減信號，說明各階模態信號均實現了有效分離。盲源分離方法存在分離源信號排列次序不確定的問題。本研究方法通過檢測峰值得到的各點頻率是按照從低到高的順序，使最終估計出的振型矩陣與各階模態響應都是按照從低階到高階的順序排列，有效解決了分離信號的重排問題。

圖6 3個分離信號時頻域圖Fig.6 Three separating signals in time/frequency domain

利用單模態參數識別方法得到的模態頻率、阻尼比以及振型與理論值對比如表1所示。可以看出，本研究方法對于無噪聲信號具有很高的識別精度。在振動響應中加入不同信噪比的高斯白噪聲，各階振型的模態置信系數如表2所示。在混入信噪比較低的噪聲時，各階MAC均受到一定影響，最小值依然大于0.99。隨著信噪比的增加，各階MAC趨近于1，說明筆者提出的振型矩陣估計方法對白噪聲不敏感，具有很好的噪聲魯棒性。

表1 模態參數識別結果

Tab.1 The estimated results of modal parameters

模態本研究方法理論值本研究方法理論值f/Hz阻尼比/%本研究方法MAC1階0.64950.65870.610.641.00002階0.86260.88450.790.791.00003階1.10121.14760.610.631.0000

表2 不同信噪比下的MAC識別結果

Tab.2 MAC value under SNR cases

SNRMAC1MAC2MAC351.00000.99390.9926100.99990.99520.9956150.99990.99530.9979200.99970.99880.9968251.00001.00000.9974300.99990.99990.9996351.00001.00001.0000401.00001.00001.0000

5 實 驗

5.1 實測數據分析

實測數據來自文獻[15]中的懸臂梁錘擊測試方案，梁上布置有3個測點。采樣頻率為2 560 Hz，取0.5 s的數據。圖7為測點1，2，3信號的時域與頻域分布。圖8(a)為三通道測量信號x1,x2,x3經短時傅里葉變換后的實部散點圖。可以看出有明顯的5條聚類直線，說明有5階模態被激發出來。根據式(10)得到三通道在頻域上的能量分布，如圖8(b)所示。利用聚類方法得到5個歸一化的聚類中心，即為各階模態響應在3個測點的振型向量利用L1范數最小化方法恢復出各階模態響應信號，如圖9所示。可以看出，各階信號都為單頻衰減信號，利用單模態參數識別方法得到各階模態響應的頻率與阻尼參數。文獻[15]中的方法僅識別出了4階模態，第3階模態由于幅值較小而被忽略。表3為本研究方法所得參數與文獻[15]方法的對比。可以看出，本研究方法能夠準確識別出各階模態參數，同時對小幅值振動也有較好的識別效果。

圖7 3個測量信號時域與頻域分布Fig.7 Three measuring signals in time and frequency domain

圖8 實測信號處理結果Fig.8 The processing result of measurement signal

5.2 算法對比分析

對于正定BSS算法，測量通道的減少會直接影響到分離結果的準確性，從而無法對結構模態進行有效辨識。圖10為分別利用SOBI與ICA算法對三通道數據進行處理后的結果。可以看出，各分離信號中均包含了多個模態頻率，說明這兩種算法都沒有正確地分離出單模態信號。

圖9 5個單模態分離信號Fig.9 Five separating signals

模態本研究方法文獻[15]方法f/Hz誤差/%本研究方法文獻[15]方法阻尼比/%誤差/%MAC1階30.7131.281.812.35332.3610.320.99972階216.6216.50.040.50940.5110.311.00003階452.3——0.1119———4階585.9586.80.150.6030.6010.331.00005階1115111500.23370.2423.420.9999

為了說明本研究方法不受測量通道數目的影響，僅利用測量數據x1,x2進行分析，對應的散點圖及分離結果如圖11所示。從圖11(a)可以看出，散點圖中有4條明顯的聚類直線，第3階模態對應的聚類直線因為幅值較小而未被顯示出來。從圖11(b)可以看出，5階單模態信號均得到了有效分離，說明本研究方法在測量通道數目明顯少于源信號的情況下，也可以準確分離出源信號。

圖10 其他方法分離結果Fig.10 The separated results by other BSS methods

圖11 兩通道測試信號處理結果Fig.11 The separated results using two-dimensional channel

6 結束語

對于模態階數大于傳感器數目的情況，傳統的盲分離方法無法得到有效的單模態信號，從而無法正確識別模態參數。筆者將測量信號變換到時頻域，利用能量峰值頻點處的散點集估計各階模態振型，通過L1范數最小化方法分離出多個單模態響應信號。最后，利用單模態參數識別方法提取出模態頻率與阻尼比。仿真與實驗結果可以看出，本研究方法都能得到精確的結果，同時對噪聲不敏感，具有較好的噪聲魯棒性，為欠定情況下的模態參數識別問題提供了一種新的思路。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.017

國家科技支撐計劃資助項目(2015BAF07B04)；國家自然科學基金資助項目(51475277)

2014-09-27；

2014-11-05

TB123； TH17

于剛，男，1987年12月生，博士生。主要研究方向為信號處理、模態分析及振動噪聲控制。

E-mail: yugang2010@163.com