二次函數(shù)典型問題難點突破

張　麗

二次函數(shù)典型問題難點突破

張麗

一、二次函數(shù)圖像問題的處理策略

二次函數(shù)作為中學數(shù)學學習的核心版塊之一，需要同學們熟練地掌握基本性質(zhì)，能夠靈活應用.二次函數(shù)的圖像，給大家提供了解決問題的工具，熟練應用不僅能掌握本塊知識，也能在學習中自然獲得邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)變化等思想，從而為進一步學習奠定扎實的基礎.本文就二次函數(shù)圖像問題進行分類討論，以期找到解決這類問題的一般方法.

1.二次函數(shù)圖像的識圖

例1y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則點M（a，bc）在（）.稱軸在y軸右側(cè)?b＜0.由以上條件可知bc＞0.∴點M（a，bc）在第一象限，答案：A.

2.利用已知條件確定函數(shù)的圖像.

例2已知一次函數(shù)y=ax+c，二次函數(shù)y= ax2+bx+c（a≠0），它們在同一坐標系中的大致圖像是（）.

圖1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】由圖可知：拋物線開口向上?a＞0；拋物線與y軸的負半軸相交?c＜0；對

【分析】先討論a、c的符號情況，判斷直線的位置特征；再結(jié)合b的符號，考慮拋物線的位置特征.答案：D.

【點撥】一次函數(shù)與二次函數(shù)的系數(shù)用相同字母表示，意味著一次函數(shù)的直線圖像的傾斜方向與二次函數(shù)的開口方向有關聯(lián)，兩個圖像的橫縱軸的截距有了聯(lián)系，進而使二次函數(shù)對稱軸、頂點坐標有了確定的性質(zhì)，從而能夠確定圖像.

二、求解二次函數(shù)中的面積最值問題的策略

從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合，使解題具有一定難度.本文以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學們在解決這類問題時參考.

例3如圖2，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，在（1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由.

圖2

圖3

【解析】（1）拋物線解析式為y=-x2-2x+3；（2）Q（-1，2）.

下面著重探討求第（3）小題中面積最大值的幾種方法.

1.補形、割形法.

幾何圖形中常見的處理方式有分割、補形等，通過對圖形的這些直觀處理，一般能輔助解題，使解題過程簡捷、明快.此類方法的要點在于把所求圖形的面積進行適當?shù)难a或割，變成有利于表示面積的圖形.

方法一：如圖4，

圖4

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）.

∵S△PBC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-

若S四邊形BPCO有最大值，則S△PBC就最大.

∴S四邊形BPCO=SRt△BPE+S直角梯形PEOC

S四邊形BPCO最大值

∴S△BPC最大值

方法二：如圖5，

圖5

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）. S△PBC=S△OBP+S△OCP-S△OBC

2.“鉛垂高，水平寬”面積法.

如圖6，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h），我們可得出計算三角形面積的另一種方法，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

圖6

根據(jù)上述方法，本題解答如下：

解：如圖7，

圖7

作PE⊥x軸于點E，交BC于點F.

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）.

∵S△PBC=S△FBP+S△FCP

S△PBC最大

三、二次函數(shù)與一元二次方程問題的解題策略.

例4已知二次函數(shù)：y=（k2-1）x2-（3k-1）x+2.

（1）二次函數(shù)的頂點在x軸上，求k的值；

（2）若二次函數(shù)與x軸的兩個交點A、B均為整數(shù)點（坐標為整數(shù)的點），當k為整數(shù)時，求A、B兩點的坐標.

【解析】（1）∵二次函數(shù)頂點在x軸上，

∴b2-4ac=0，且a≠0.

即（3k-1）2-4×2（k2-1）=0，且k2-1≠0，

∴k=3.

（2）∵二次函數(shù)與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，且a≠0.

即（k-3）2＞0，且k≠±1.

當k≠3且k≠±1時，即可.

∵A、B兩點均為整數(shù)點，且k為整數(shù)，

當k=0時，可使x1，x2均為整數(shù)，

∴當k=0時，A、B兩點坐標為（-1，0）和（2，0）.

【點撥】本題著重考查一元二次方程和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，同學們要學會運用函數(shù)和方程之間的聯(lián)系來解決問題.

當然二次函數(shù)的典型問題很多，在這里介紹了幾種典型問題的解題策略，供同學們參考.如果我們能掌握一定的方法，做到舉一反三，那就可以得到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）