以“靜”制“動”化“繁”為“簡”——有感于“垂線段最短”在數(shù)學(xué)動點問題中的運用

■王永鋒

以“靜”制“動”化“繁”為“簡”——有感于“垂線段最短”在數(shù)學(xué)動點問題中的運用

■王永鋒

垂線段是初中幾何的一個基礎(chǔ)知識。《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對這方面的內(nèi)容提出過明確要求：理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。在這里，必須要指出的是：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

2011年的蘇科版教材把這一內(nèi)容放在初一上學(xué)期第6章第5節(jié)，盡管考查的知識較為基礎(chǔ)，但由于七年級學(xué)生對幾何語言的表述不甚規(guī)范，仍然會出現(xiàn)一些認(rèn)知上的偏差。同時，由于教師對本節(jié)知識的重要性不夠重視，籠統(tǒng)地認(rèn)為這部分內(nèi)容考試考得太少，不需花大力氣去講，因而在引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖和表述上不甚到位，達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)水準(zhǔn)。實際上，八、年級教學(xué)時，常常會碰到許多讓廣大學(xué)生“動”色變的動點問題，這種問題形式上較為瑣，旨在考查學(xué)生的悟性，特別是經(jīng)常會利用“垂線段最短”把過程中的“動”轉(zhuǎn)化為某一時刻的“靜”，把一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較為簡單的問題。教師教學(xué)時可以嘗試從以下幾個方面來理解垂線段最短。

一、垂線段最短是一個知識點

垂線段最短是學(xué)生應(yīng)該掌握的重要知識，它本身是一個知識點。學(xué)生通過從身邊熟悉的事物中選取學(xué)習(xí)素材認(rèn)識了垂直，進(jìn)而了解了垂線段，并通過兩個定義的對比理解了垂線和垂線段的聯(lián)系和區(qū)別，最后再根據(jù)直線外一點和直線畫出垂線，并找出、標(biāo)記好垂線段。

圖1

例1如圖1，AC⊥BC，C為垂足，CD⊥AB，D為垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC=6，那么點C到AB的距離是_______，點A到BC的距離是_______，點B到CD的距離是_______，A、B兩點的距離是_______。

解：C到AB的距離是垂線段CD的長度，為4.8，同理，中間兩空分別為6和6.4，而A、B兩點的距離是線段AB的長度，即為10。

例2如圖2，污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝l，應(yīng)如何鋪設(shè)排水管道才能使排水溝最短，請你在圖紙上畫出鋪設(shè)管道的路線，并請你思考為什么這樣畫。

圖2

圖3

解：如圖3，過點A作垂線段AB交l于點B，理由是垂線段最短。

評析：例1主要是考查學(xué)生的辨析能力；點和線之間的距離是垂線段的長度，兩個端點是點和垂足，點和點之間的距離是兩點所連線段的長度；例2就是利用垂線段最短，但要注意畫垂線段的方法。

知識是能力的先導(dǎo)。只有把知識真正學(xué)到位，對概念和性質(zhì)理解通透，才能真正轉(zhuǎn)化為能力，為后續(xù)總結(jié)方法、提煉思想和形成經(jīng)驗做好鋪墊。

二、垂線段最短是一條方法線

在解決動點問題的過程中，垂線段就是好多學(xué)生一道繞不過的坎，許多疑難題目通過作垂線段，便能迎刃而解?？梢哉f，它為解決某些數(shù)學(xué)問題提供了一條明朗的方法線。

例3如圖4，⊙O的直徑為10cm，弦AB為8cm，點P是弦AB上的一動點。若OP的長為整數(shù)，則滿足條件的點P有（）

A.2個B.3個

C.4個D.5個

圖4

解：當(dāng)P與A或者B重合時，OP最大值為5，當(dāng)OP與AB垂直時，由垂徑定理和勾股定理，求得OP最小值為3，在3和5之間還有2個長度為4的點，從而選D。

例4據(jù)氣象臺預(yù)報，一股強臺風(fēng)的中心位于寧波（指城區(qū)，下同）東南方向千米的海面上，目前臺風(fēng)中心正以20千米/時的速度向北偏西60°的方向移動，距臺風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會受到強襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處。請問：寧波、寧海、象山是否會受這次臺風(fēng)的強襲擊？如果會，請求出受強襲擊的時間；如果不會，請說明理由。（為解決問題，需畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，如圖5，請根據(jù)需要，把圖形畫完整）

圖5

圖6

解：如圖6，過點P作水平直線與AB的延長線交于點O，延長臺風(fēng)中心移動射線PQ與AO交于M。在Rt△AOP中，求得AO=OP=36得BO=36+36；由∠OPM=30°，得MO=36+ 36=BO，故M與B重合，臺風(fēng)中心必經(jīng)過寧海，時間為5小時；C為象山，C到PQ距離CN=28，故象山會受到影響，求影響時間可以先求以C為圓心，50km為半徑的圓與PQ相交的弦長為，時間為h；A到PQ距離AD=AB，sin60°=36，故寧波不受影響。

評析：對于例3，學(xué)生能夠感受到在P從A到B運動的過程中，OP的長度先變小后變大，從而考慮到關(guān)鍵是求出最小長度與最大長度。部分學(xué)生對本題轉(zhuǎn)化的方法掌握不夠靈活，導(dǎo)致猜答案的現(xiàn)象較為普遍。教師在講解本題后，還可以設(shè)計以下問題：

（1）⊙O的直徑為10cm，OP=4cm，則過點P最長的弦長度是______，最短的弦長度是_____；

（2）⊙O的直徑為10cm，OP=4cm，過點P的弦中，長度為整數(shù)的弦有_____條。

例4考查學(xué)生的畫圖能力，同時也讓學(xué)生明確城市可作為圖形中的一個點，而臺風(fēng)走的是一條線，應(yīng)該把問題中的“是否會影響”轉(zhuǎn)化為求“最短距離問題”，從而想到比較垂線段和半徑的大小問題，于是把該題目轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解答。

由此可見，在數(shù)學(xué)的動點問題中，“垂線段最短”可以為解決問題提供一種有力工具。通過找尋“靜止”時符合要求的那一瞬間，便可提高解題的準(zhǔn)確率。

三、垂線段最短是一層思想面

我們平時的教學(xué)工作中一直存有這個問題：學(xué)生題目做得不少，可只要條件稍稍一變，一些學(xué)生考試時就會不知所措，特別是對蘊含在其中的規(guī)律，更是遲遲不能領(lǐng)會。其實，對于有些動點問題，可以利用題目中顯見的結(jié)論，找出其中蘊含的思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決。

例5如圖7，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為（）

C.3D.5

圖7

圖8

圖9

評析：上述兩個例題都是以切線為載體構(gòu)造直角三角形的動點問題，其三邊長度滿足勾股定理，而其中一邊已知大小，要求某一邊的最小值，便可轉(zhuǎn)化為求第三邊的最小值。如果想不到這種化歸思想，學(xué)生便不會找到利用“垂線段最短”得到滿足條件時的“靜止”的那一刻，也便不能圓滿解決問題。

在解決動點問題的過程中，教師應(yīng)把更多的精力花在誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想、怎樣去悟上來，要置數(shù)學(xué)思想方法的運用于解題的核心位置，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的解題功能。如果學(xué)生能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)功能，利用其中蘊含的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不僅可少走彎路，而且可以大大提高其數(shù)學(xué)能力。

四、垂線段最短是一種經(jīng)驗體

學(xué)生學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，領(lǐng)會一系列的思想方法后，便會在解決問題的過程中慢慢積累一些解題經(jīng)驗。這些經(jīng)驗既可以讓學(xué)生獨立解決一些常見的問題，又可以讓學(xué)生在具體情境下靈活分析問題，形成一種知識、方法與思想融匯的數(shù)學(xué)體系，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例7（2014·廣西貴港）如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線。若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

圖10

圖11

評析：本題隸屬于雙動點問題，要求學(xué)生在進(jìn)行思考時考慮到“將軍飲馬問題”和角的軸對稱性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為作對稱點E，于是便得到PC= PE，進(jìn)而求PE+PQ的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時有最小值為EQ，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求EQ的最小值，此時應(yīng)利用“垂線段最短”，再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等，最后再利用直角三角形面積求出答案?？梢哉f，圓滿解決本題需要學(xué)生具備一些必要的思想方法，并要有一定的解題經(jīng)驗，這種以靜制動的策略值得學(xué)生多回味思索。

（作者為江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)教師）