基于污染二維混沌動力系統的加密算法

王 麗 燕， 柳 揚

( 大連大學 信息工程學院， 遼寧 大連 116622 )

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基于污染二維混沌動力系統的加密算法

王 麗 燕*， 柳 揚

( 大連大學 信息工程學院， 遼寧 大連 116622 )

首先定義了污染動力系統，將二維Henon動力系統用二維Logistic動力系統進行污染，用這個污染的二維混沌動力系統構造序列密碼體系．這種算法可以產生兩列密鑰，從而有效地解決了輸出結果對密鑰低bit位變化敏感度較低的問題．計算機模擬實驗和游程測試、相關性分析、靈敏度分析、平衡度檢驗等安全實驗分析結果表明，密文、明文和密鑰之間具有高度的非線性和敏感性，算法的密鑰空間巨大，可以有效防止統計攻擊、唯密文攻擊和窮舉攻擊．

污染動力系統；二維Henon動力系統；二維Logistic動力系統；序列密碼

0 引 言

為增強混沌動力系統的敏感性，本文借用污染分布的思想，給出污染動力系統的定義，將二維Henon動力系統用二維Logistic動力系統進行污染，討論污染后動力系統的簡單性質．基于該污染的二維混沌系統產生兩列密鑰流對明文進行加密，通過游程測試、相關性分析、靈敏度分析、平衡度檢驗等計算機模擬實驗對安全性進行驗證．

1 混沌動力系統

1.1 污染混沌動力系統

定義1 設f1和f2是兩個動力系統，稱f=αf1+(1-α)f2為污染動力系統，其中α(0<α<1)稱為污染系數．

1.2 污染二維混沌動力系統

二維Logistic映射動力學方程為

xn+1=μλ1xn(1-xn)+γyn

yn+1=μλ2yn(1-yn)+γxn

(1)

其中λ1、λ2、γ、μ是參數．當μ=4時，表1列出了系統會出現混沌現象的不同條件[12]．

表1 二維Logistic映射混沌條件

圖1分別給出了兩種參數取值條件下的分叉情況．

二維Henon映射的動力學方程為

(2)

其中p、q為參數．圖2給出了p=1.4，q=0.3條件下的混沌狀態圖．

將二維Henon映射用二維Logistic映射進行污染，得到污染動力系統：

(3)

其中0<α<1．

(a) λ1, λ2=1-λ1, λ=0.3

(b)λ1=λ2,λ=1-λ1

圖1 Logistic映射分叉圖

Fig.1 Branch chart of Logistic mapping

圖2 Henon映射的吸引子

利用Matlab計算，得到Jacobi矩陣的特征值的絕對值為1.871 9>1，根據差分方程組計算Lyapunov指數定義[13]，可知式(3)的Lyapunov指數大于零，說明污染的二維動力系統(3)為混沌動力系統．系統輸出的x(n)和y(n)的值如圖3所示，容易看出輸出值服從均勻分布．

(a) x(n)

(b)y(n)

圖3x(n)和y(n)在其區間的分布

Fig.3 The distribution ofx(n) andy(n) in their domains

2 序列密碼的加密與解密算法

2.1 加密算法

加密過程如圖4所示．

圖4 加密過程

具體加密算法如下：

(1)通過ASCII碼把明文轉化為十六位二進制序列{m1m2m3…mn}，其中mi(i=1,2,3,…,n)為0或者1．

(2)確定密鑰．給二維污染混沌動力系統(3)中的參數μ、γ、λ1、λ2、p、q、α取值，選定迭代初始值x0、y0，迭代得到兩個混沌序列{x(i)}(i=1,2,3,…,n)和{y(j)}(j=1,2,3,…,n)．

(3)由離散化算子Tk(x(i))=[10kx(i)]mod 2和Tk(y(j))=[10ky(j)]mod 2，計算得到兩個密鑰序列{k(i)}和{k(j)}，其中k(i)=Tk(x(i))(i=1,2,3,…,n)，k(j)=Tk(y(j))(j=1,2,3,…,n)．

(4)比較兩個密鑰序列{k(i)}(i=1,2,3,…,n)和{k(j)}(j=1,2,3,…,n)中0的個數，個數多的取正序列，個數少的取逆序列，然后將這兩個序列異或，得到新的密鑰序列{k(l)}(l=1,2,3,…,n)．

(5)將密鑰序列{k(l)}(l=1,2,3,…,n)與明文序列{m1m2m3…mn}進行異或運算，得到密文二進制序列{c1c2c3…cn}．

(6)由密文序列C=c1c2c3…cn的ASCII值得到最終的密文．

類似地可以給出解密算法．

2.2 算法仿真

“二維污染混沌動力系統”明文的二進制序列為

01001110100011000111111011110100011011

00011000010110011111010011011011011111

01110110110010001100010100101010100001

01001010011011011111001111101101111110

11011111

不同條件下得到的密文如下：

(1)若取μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4，得到的密文為

(2)若取α=0.02+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(3)若取y0=0.112 3+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(4)若取x0=0.131 4+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(5)若取x0=0.131 4+10-11,y0=0.112 3+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(6)若取j=7，其他條件與(1)相同，密文為

(7)若取x0=0,y0=0，其他條件與(1)相同，密文為

(8)若取γ=0.52+10-7，x0=0，y0=0，j=4，其他條件與(1)相同，密文為

圖5給出了以上8種條件下密文用0-1序列的圖形化表示, 顯然，密鑰的細微改變將會導致密文的顯著改變．

3 安全性分析

3.1 游程測試[13]

游程是指序列中由相同bit所構成的不間斷的子序列．該測試可以判斷其是否為隨機序列．

具體測試方法如下：

步驟4 計算判斷標準P：

如果P<0.01，斷定測試的序列隨機性較差；反之，斷定序列具有較好的隨機性．

若選取μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4，n=160，計算得到x(n)序列和y(n) 序列的P都為1.99，遠大于0.01．因此，可以認為混沌序列是隨機序列．

3.2 相關性分析

本文選取長度n=10 000的0序列作為明文，以動力系統(3)參數值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對明文進行加密，相關度情況如圖6所示．

顯然隨著n的增大，相關度逐漸趨近于0，說明密文與明文幾乎不相關．

圖6 明文與密文的相關度

3.3 靈敏度分析

如果明文表示為{m1m2m3…mn}，密文表示為{s1s2s3…sn}，其中mi和si只取0或1，i=1,2,3,…,n，稱

為明文與密文間的靈敏度[27]．

仍以長度n=10 000的0序列作為明文，動力系統(3)參數值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對明文進行加密，密文與明文間的靈敏度情況如圖7所示．

圖7 靈敏度分析圖

圖7表明，相比明文，大致50%的密文序列將會改變．

3.4 密文的平衡度檢驗

仍以長度n=10 000的0序列作為明文，動力系統(3)參數值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對明文進行加密，密文序列中0-1平衡度如圖8所示．

圖8 平衡度分析圖

圖8的結果表明，序列位數越多，平衡度的值就越趨近于0，說明序列中1和0的個數幾乎相等．

3.5 密鑰空間分析

本文選取的密鑰是污染二維混沌動力系統隨機產生的初值x0、y0和離散化算子以及污染系數α，假設計算的精度為10-5，采用本算法形成的密鑰空間至少為1020．實際上，動力系統本身的參數μ、γ、λ1、λ2、p、q只要在可以形成混沌的范圍內取值，都可以作為密鑰．而且計算機的計算精度遠遠超過10-5，這樣密鑰空間將大大超過1020．本算法足夠抵抗由于密鑰空間不大而形成的窮舉攻擊．

4 結 語

本文給出污染混沌動力系統的概念，并用污染系數α將二維Henon動力系統用二維Logistic動力系統進行污染，并進一步用污染后的多參數動力系統構造序列密碼的加密算法．所進行的各項性能分析，如隨機性分析、相關性分析、靈敏度分析、0-1平衡度檢驗等都表明污染的混沌映射具有良好統計特性，而且密鑰空間巨大，可以有效防止統計攻擊、唯密文攻擊和窮舉攻擊．

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Encryption algorithm based on contaminated two-dimensional chaotic dynamic system

WANG Li-yan*, LIU Yang

( College of Information Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China )

An algorithm to construct a stream cipher system is presented by defining a contaminated dynamic system, in which the two-dimensional Henon dynamic system is contaminated by the two-dimensional Logistic dynamic system. By generating two columns of keys, this algorithm can effectively solve the problem that the output is not very sensitive to the change of the low bit of the input. The results of safety tests, such as computer simulation, runs test, correlation analysis, sensitivity analysis and balance test, etc. show the highly nonlinearity and sensitivity among ciphertext, plaintext and the key. Also the large key space of this algorithm can effectively prevent the statistical attacks, ciphertext only attacks and exhaustive attacks.

contaminated dynamic system; two-dimensional Henon dynamic system; two-dimensional Logistic dynamic system; stream cipher

2016-01-19；

2016-09-02．

國家自然科學基金資助項目(71072161)．

王麗燕*(1963-)，女，博士，教授，E-mail:wly1963@163.com；柳 揚(1979-)，女，博士生，E-mail:lykx2001@163.com.

1000-8608(2016)06-0650-07

TN918

A

10.7511/dllgxb201606014